计算积分∫∫xydxdy,其中D是抛物线y^2=x和直线y=x-2所围成的闭区域

计算二重积分xydxdy,其中D是由直线y=x-2及抛物线y^2=x所围成的区域~

∫∫xydxdy=∫xdx∫ydy
=∫x(x²/2-x^4/2)dx
=∫(x³/2-x^5/2)dx
=(x^4/8-x^6/12)│
=1/8-1/12
=1/24

扩展资料：
二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。
性质2：（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外。
性质3：如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)。
性质4：如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

首先确定积分区间：
令x=x²
x(x-1)=0
x=0或x=1
积分区间[0，1]，在此区间上，x²≤x (只有两边界取等号)
∫∫(0 1)xydxdy
=∫(0 1)xdx∫(x² x)ydy
=∫(0 1)x[y²/2|(x² x)]dx
=(1/2)∫(0 1)x(x² -x⁴)dx
=(1/2)∫(0 1)(x³-x^5)dx
=(1/2)(x⁴/4 -x^6/6)|(0 1)
=(1/2)(1/4-1/6)
=1/24

百度知道上积分区间不好写，我就这么写了：(0 1)，其中，前面的是积分下限，后面的是积分上限，你书写的时候按正常写就可以了。

y1=-1，y2=2

把y=x-2变为x=y+2，①

代入y^2=x得y^2-y-2=0，解得y=-1或2，代入①，x=1或4，所以两线交于点(1,-1),(4,2)。

原式=∫dy∫xydx=(1/2)∫y[(y+2)^2-y^4]dy=(1/2)∫(4y+4y^2+y^3-y^5)dy=(1/2)[2y^2+(4/3)y^3+(1/4)y^4-(1/6)y^6]|=(1/2)[8-2+(4/3)(8+1)+(1/4)(16-1)-(1/6)(64-1)]。

扩展资料：

计算积分注意事项：

在应用上积分作用不仅如此，被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。

积分的性质主要有线性性，保号性，极大值极小值，绝对连续性，绝对值积分等。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

参考资料来源：百度百科-积分

参考资料来源：百度百科-抛物线

∫xydxdy

=∫[-1,2] dy∫[y^2,y+2] xy dx

=∫[-1,2] ydy {1/2*x^2|[y^2,y+2] }

= 1/2*∫[-1,2] [y^3+4y^2+4y-y^5] dy

= 45/8

例如：

∫∫xydxdy=∫xdx∫ydy

=∫x(x²/2-x^4/2)dx

=∫(x³/2-x^5/2)dx

=(x^4/8-x^6/12)│

=1/8-1/12

=1/24

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1。

②对称轴为坐标轴。

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。

②开口方向与x轴的正半轴相同时，焦点在x轴的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x的负半轴相同时，焦点在x轴的负半轴上，方程的右端取负号。

联立y²=x 和y=x-2求出积分上下限

y1=-1,y2=2

下面在y轴上积分。见图片。

∫∫xydxdy
=∫[-1,2] dy∫[y^2,y+2] xy dx
=∫[-1,2] ydy {1/2*x^2|[y^2,y+2] }
= 1/2*∫[-1,2] [y^3+4y^2+4y-y^5] dy
= 45/8

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永城市14772258913： 二重积分求D围成的图形面积如题:计算∫∫xydxdy,其中D是由y=x,y=x/2和y=2所围成的区域. - ？
爰昆择泰：[答案] 积分条件可化为: y=

永城市14772258913： 计算二重积分∫∫xydxdy,其中D是由y=x^2与y=x所围成 - ？
爰昆择泰：[答案] -1/24

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爰昆择泰：[答案] X区域:D:x = 2,y = 1,y = x ==> 1 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ x∫∫_D xy dxdy= ∫(1→2) dx ∫(1→x) xy dy= ∫(1→2) [xy²/2]:(1→x) dx= ∫(1→2) (x³/2 - x/2) dx= [x⁴/8 - x²/4]:(1→2)= (2...

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永城市14772258913： 计算二重积分∫∫ydxdy,其中D是由直线y=x,y=2 - x,y=2所围成的区域. - ？
爰昆择泰：[答案] 被积区域是个三角形 其范围可表示为 0则原式= ∫(0,1)dx∫(2-x,2)ydy + ∫(1,2)dx∫(x,2)ydy =∫(0,1)dx *[4-(2-x)²]/2 + ∫(1,2)dx *(4-x²)/2 =(x² - x³/6)|(0,1) + (2x - x³/6)|(1,2) =5/6 + 5/6 =5/3