【情境】某课外兴趣小组在一次折纸活动课中.折叠一张带有条格的长方形的纸片ABCD(如图1),将点B分别与

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综合实践问题背景某课外兴趣小组在一次折纸活动中,折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD(如图1),将点B分~

(1)∵AB∥EQ,∴∠OMP=∠EPM,∵∠EPM=∠OPM,∴∠OMP=∠OPM,∴OM=OP,∵OM=EM,OP=EP,∴四边形OMEP是菱形.(2)∵E点的坐标为(x,m),OP=EP=m-y,∴(m-y)2=x2+y2.y=-x22m+m2(0<x<m2+n22n).(3)根据(2)知,点K的坐标为(x,-x216+4).设EC的长为x,DE=BE=12-x,DC=8,x2+82=(12-x)2x=103.同理:GH=103,DH=263,△ECF∽△DHF,∴ECDH=CFDF,即103263=CFCF+8,解得CF=5,∴△ECF的面积为:12CE?CF=12×103×5=253.△OCK的面积为:12×12(-x216+4).△KCF的面积:12×103(-x216+4)+253.根据△KCF的面积是△KOC面积得,53×12×12(-<td style="border-bottom:1p

连接AE
因为翻折,使顶点D落在BC边上的点F处
则,△AFE≌△ADE
DE=FE
AF=AD=10cm

Rt△AFB中
AF=10cm、AB=8cm
由勾股定理可得,BF=6cm
则,CF=BC-BF=10-6=4cm

设DE=FE=x
则,CE=DC-DE=8-x
Rt△FEC中,由勾股定理可得
CE²+CF²=EF²
即,(8-x)²+4²=x²
即,64-16x+16=0
解得,x=5
CE=8-x=3

所以,EC的长为3cm

(1)证明:如图3,由题意知:OM=ME,∠OMN=∠EMN,
∵OM∥EP,∴∠OMN=∠MPE.
∴∠EMN=∠MPE.
∴ME=EP.∴OM=EP.
∴四边形OMEP是平行四边形.
又∵ME=EP,∴四边形OMEP是菱形;

(2)解:∵四边形OMEP是菱形,
∴OP=PE,∴OP2=PE2
∵EQ=OA=m,PQ=y,
∴PE=m-y.∴PE2=(m-y)2=m2-2my+y2
∵OP2=x2+y2,PE2=m2-2my+y2
∴x2+y2=m2-2my+y2
y=?
1
2m
x2+
m
2
,(0≤x≤n)


(3)解:如图3,假设折叠曲线上存在点K满足条件.
当m=8时,y=-
1
16
x2+4.
作KG⊥DC于G,KH⊥OC于H.设K(x,y),
则KG=12-x,KH=y.
当x=12时,y=-5.
∴F(12,-5),
∴CF=5.
∴S△KCF=
1
2
CF×KG=
1
2
×5×(12-x)
S△KOC=
1
2
CO×KH=
1
2
×12y,
S△KCF
5
3
S△KOC

1
2
×5?(12?x)
=
5
3
×
1
2
×12?y

y=
12?x
4

∴K(x,
12?x
4
).
∵点K在y=?
1
16
x2+4
上,
12?x
4
=?
1
16
x2+4

化简得:x2-4x-16=0,
解得:x1=2+2



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