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勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．

《安妮日记》读后感





你大概也有记日记的习惯。少女的日记、本该是纪念日常的奇想、情窦初开的悸动。平凡而快乐的“流水帐”常是这年纪的文笔产品。但你见过这样的时刻处在死亡的威胁下的‘密室’里的少女的日记吗？《安妮日记》就是以一个小女孩的视角记述二战期间密室里的人的生活实录。《安妮日记》告诉我们的，就是一个成长期的少女如何面对战争、种族迫害、自我成长与定位，以及男女角色等问题。《安妮日记》的内容是:恐惧、不安、奴役与饥寒交迫。一个十六岁的少女，最大的愿望是做有一名记者和作家，却因为希特勒发动的一场邪恶的战争，于花季之龄死与纳粹集中营，阴冷、黑暗的集中营成为她生命的终点，真挚的情感与卑微的希望，贯通整本日记。写作时的孤独与秘密的保存，却转为世人的广大回响。善良、正直毕竟才是普世价值。《安妮日记》不仅仅是一名成长中的少女心灵世界的独白，更是德军占领下的任命苦难生活的目击报道。

战争的残酷远非我等未曾经历的日能想象。包括我在内，我们曾有一阵子期盼战争，以为那可以是我们现在的“痛苦”的结束。但事实上，如果真的爆发战争，那将是更痛苦的深渊。悲剧是把生命中有价值的东西撕碎给人看，战争就是一种悲剧，它会摧毁我们在生活中早已熟悉和习以为常的美好的东西。或许，在战争开始的时候，会是激动人心的，但兴奋过后，将是对和平的漫长而痛苦的等待。有人做过统计，自从人类社会有历史记载以来，绝对的和平时期只有不到200年。人类为了征服与反对征服而进行战争的时候，却往往忽略了人类生存的本义。

犹太民族的历史注定是悲剧。2000年的颠沛流离，他们被驱逐、被迫害、受尽屈辱、历尽磨难。二十世纪三四十年代，恐怖的厄运再次降临到这个民族的头上，他们不分男女老少，统统像羔羊一样被塞进奥斯威辛集中营，看着营中那堆积如山的各色毛发，听着幸存者用颤抖地声音控诉令人发指的罪行，所有良心未泯的心灵都在震颤。纳粹，人性的赤裸裸显现，感觉和动物无异。到处充满死亡的气息，到处是惊恐无助的眼神，到处是绝望的哭喊。为什么连生存也不允许呢？谁规定了在那个时期犹太人就是老鼠，纳粹就是猫呢？

战争永远是一个黑色的主题，二战无疑是其中沉重的一笔，数以千计的犹太人被成批的杀害，唯一的理由就是“他们是犹太人”！这中间，许多还是孩子，安妮.弗兰克就是其中一脉细微而柔韧的声音。正如欧思斯特·斯赫纳倍尔所说：“几百万人的声音被压制下去，这个低低的声音只不过是一个小孩子的悄悄话……它比杀人者的嚎叫更持久，比时代的一切声音更响亮。”

安妮·弗兰克（AnneFrank），一个犹太少女，1929年6月12日生于德国法兰克福一犹太富裕家庭，其父为一公司总经理，母亲也是富家闺秀。安妮自幼备受父母的溺爱，上学后又得宠于老师，真可谓养尊处优。纳粹兴起后随家人避难到荷兰的阿姆斯特丹。1942年6月12日，她收到一个日记本作为生日礼物，从此开始写日记。在这一天中，她写道：“我对谁都不曾做到推心置腹，无所不言，但我希望在这里能对你如此，我也希望你能够成为我获得慰籍与支持的一个泉源。”迫于日益残酷的排犹浪潮，她的一家和另外四名犹太人共八人躲进她父亲公司的密室，八个人藏身阁楼密室25个月。白天他们不能说话不能穿鞋不能有任何动静包括严禁上厕所，只有到晚上才能打破禁忌，他们只能依靠父亲公司的同仁帮助供给食品生活用品，和获知外界的一切。在漫长的25个月内，唯有这位13岁犹太少女安妮用她的笔，用她要做个作家的梦想，支撑她记录下顶楼内每一天的事情和自己的成长。因为突然处于狭小的空间，突然面对每天被发现的恐惧，对死亡的恐惧，八个个性不一的人，对于继续生存的希望都有形形色色的表现，人在最困境下的真实的表现——这种真实本身所传达出的信息与意义就能让所有人感受到一种使人窒息的深刻。很少能见到阳光呢，因为阳光和实现并存。躲在秘密的阁楼里，就是为了让自己蒸发，起码在那些陌生人眼里。在密室度过了两三年的艰苦生活，她终于在16岁那年离开了，因为，盖世太保终于叩开了密室的门。1944年8月他们因被检举而遭到逮捕。安妮和其他七个人被送进集中营，经历不断恶化的苦难：艰苦的工作、严寒、饥饿、疾病以及随时面临的被送进焚尸炉的威胁！巨大的焚尸炉的烟囱总冒着浓浓的黑烟，安妮们不但要小心自己不被送进去，还要时刻关注着那里面是否会飘出自己挚爱的人的灰烬。八人中除她父亲外均遭不幸，安妮和姐姐玛各最终被转移到伯根－伯森集中营，在1945年3月初（被解放的几周前）因伤寒而死。安妮年仅16岁，尸骨难觅。据统计，超过一百万的十六岁以下的孩子死于大屠杀，安妮弗兰克是其中之一。

对十三岁的安妮来讲，这日记本就像打开一扇门，它通向成长，通向无限的希望。安妮说过“没有日记，也就无我。”然而，安妮不再有机会回味这一切了，因为同时拉开的，是战争的序幕，随着警报的拉响，恶梦就开始了。而她面对死亡的阴影，她的心灵一直是和平与真挚的。安妮说：“我常常沮丧，但从不绝望，我把这段躲藏的生活看作是有趣的冒险，它仅仅是趣味生活的美丽开端。当我抬头凝望天空，我总会感到事情会越变越好，残酷终将结束，和平与宁静会重新来临，我更加坚定自己的理想，也许有朝一日我能够实现所有的梦想：我最大的梦想是成为一名记者并最终成为享誉盛名的作家。我仍然坚信，人们的内心是善良而美好的。”所以，在阅读《安妮日记》时，大的战争背景下，我们将得到更多的是一种温暖人心的东西贯彻始终。有一种种欢快温暖的种子萦绕在每一个角落，细节随处可见，是安妮带给周围的每一个人。她可以说：“我必须承认，坐在天窗下面，感觉到阳光照在你的面颊上，拥抱着一个可爱的男孩，有什么比这更愉快吗？”

安妮经历了快乐，期望，隐匿，抑郁，意欲，悲愤，挣扎，死亡的人生历程。安妮在日记中如实记录了两年间隐秘、艰苦的生活状况，自己的寂寞、苦闷，对现实的恐惧、憎恶，对生的追求和期盼，对未来的向往和祝愿，对战争、人性的深入思考。她渴望用年轻的激情、勇气和天性的善良拥抱自然，拥抱世界，但是战争回报给她的却是苦难和死亡。安妮在写日记的两年多里，生活困窘，她多次写到阿姆斯特丹的被轰炸所造成的恐惧，也不断谴责种族歧视，而藏匿又充满了恐怖的日常生活，在平凡中深深地打动着人心。她在见证着战争与迫害。1947年，幸免遇难的安妮的父亲，将安妮的日记整理后出版。迄今为止，日记已被译成55种文字在全球发行三千万册，成为一笔人类共同的精神遗产。安妮真正地实现了自己的愿望：“我希望在我死后，仍能继续活着。” “走入世界，为人类尽一份力量。”

我想一定会有许多孩子像安妮一样，在法西斯疯狂怒吼中，微笑着说，“我相信善良。”永远无法忘记安妮赤裸身体被削发的空洞眼神，永远……

希望类似的悲剧再也不要发生了。祈求和平。

《勾股定理的证明方法探究》

勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。

1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a^2+b^2=c^2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。

容易看出，

△ABA’ ≌△AA'C 。

过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，

即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：

⑴ 全等形的面积相等；

⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。

这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：

如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

如图，

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2)， ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比较以上二式，便得

a2+b2=c2。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。

在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

我们发现，把①、②两式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有 BC2+AC2=AB2，这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：

设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，

因为∠C=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂

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