1和0.9999……9循环相等么？请附加证明

怎样证明0.9999……(9循环)=1？~

0.9的循环=0.3的循环×3=1／3×3=1

这是一道非常著名的问题。我想肯定有人会说不相等。但请相信我和那些说它们相等的同志，他们的的确确是相等的。
证明的方法有很多：

第一种，最简单的：
设x=0.9999999999999……，那么10x=9.99999999999……，得到
10x-x=9
得x=1

第二种，也很简单的：
设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得
x/3=1/3
x=1

第三种，稍微要绕一点脑筋：
你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

第四种，可以用极限来做：
等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.999999999……=1。

另外，我还可以明确地告诉你，以上的推理过程都是比较严密的，不要相信所谓的0.3333333333……只是约等于1/3，0.9999999999……<1。至少在我们所使用的数学中，0.999999999……=1。

你也可以在百度上查找有关的资料，特别是百度知道上有过这种争论。

最后，我再明确地告诉你，同时也是告诉所有看过这些话的人，0.999999999999999……=1。

是相等的

学习数学的学生往往拒绝接受0.999… = 1的等式，其原因有很多，从根本不相同的外观，到对极限概念的深度疑虑，乃至对无穷小的本性的异议。有不少贡献因素，造成了这种混淆；

* 学生们常常“坚信一个数能用一种且只能用一种小数的方法来表示”。看到两个明显不同的小数，表示的却是相同的实数，这似乎是一个悖论，而表面上熟悉的数1，更使这个悖论加深。
* 有些学生把“0.999…”（或类似的记法）理解为很长但有限的一串9，也许长度是可变的、未特别指出的。如果他们接受了有无穷多个9的事实，他们仍然可能认为“在无穷远处”“有最后的一个9”。[34]
* 直觉和模棱两可的教导，都让学生觉得数列的极限是一个无限的过程，而不是一个确定的值，因为一个数列不一定就有极限。如果他们明白了数列和它的极限的差别，他们就有可能把“0.999…”理解为数列，而不是它的极限。[35]
* 有些学生把0.999…视为一个定值，与1的差是无穷小，但不是零。
* 有些学生相信收敛级数的值最多只是一个估计，也就是0.999...约等于1

证明：
1.
1/3=0.33....
3*(1/3)=0.999...=1

2.
1.00000…
- 0.99999…
0.00000…

3.
一个特别的除法竖式
用竖式计算可得8.999…÷ 9=0.999…
设n=0.999…
则(8+n)/9=n
解此一元一次方程得n=1
所以0.999…=n=1

4.位数操作
另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10 × 0.999…等于9.999…，它比原来的数大9。
考虑从9.999…减去0.999…。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9 - 9，也就是0。但末尾的零并不能改变一个数，所以相差精确地是9。最后一个步骤用到了代数。设0.999… = c，则10c − c = 9，也就是9c = 9。等式两端除以9，便得证：c = 1。

5.无穷级数和数列

使用等比级数的有力的收敛定理：
如|r|<1,则ar+ar^2+ar^3.....=ar/(1-r)
0.99=9*10^(-1)+9*10^(-2)+9*10^(-3).....=(9*(1/10))/(1-(1/10))=1

1/3=0.3333......

3*1/3=0.999....

3*1/3=1

1=0.9999....

0.[9]中[9]表示9的循环！
0.[9]
=9×0.[1]
=9×[(1/10)+(1/100)+(1/1000)+···+(1/10^n)+···]
=9×[(1/10)+(1/10)^2+(1/10)^3+···+(1/10)^n+···]
=9×lim(n→＋∞)|[(1/10)×(1-(1/10)^n)/(1-(1/10))]
=9×lim(n→＋∞)|[(1-(1/10)^n)/9]
=9×(1/9)×lim(n→＋∞)|[1-(1/10)^n]
=lim(n→＋∞)|[1-(1/10)^n]
=1-lim(n→＋∞)|[(1/10)^n]
=1-0
=1

不相等。整数部分1大于0.

因为1/3=0.3333....
所以 3*1/3=0.999....

3*1/3=1

1=0.9999....

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乐陵市13281226311： 0.999...(0.9,9循环)与1相等么?还是谁大?并证明.不要用极限,要高等数学的证明. - ？
老黎氟比：[答案] 相等 0.333333.化成分数就是3/9 其余的同理

乐陵市13281226311： 0.9999……循环与1相等吗? 我觉得相等, 原因:0.9999……循环除以3等于0.33 - ？
老黎氟比： 这个应该是小学知识.在数学上,0.9(9循环)=1 除了极个别胡搅蛮缠,甚至搞出哲学意味的奇葩之外,应该没人再有疑问了.

乐陵市13281226311： 1和0.999……9循环哪个大? - ？
老黎氟比： 一样大 0.9999……=0.3333……+0.3333……+0.3333…… 0.3333……=1/3 所以0.9999……=1/3+1/3+1/3=1

乐陵市13281226311： 0.999...上的9循环,是否等于1 - ？
老黎氟比： 其实你不必用极限的思想去理解,我推荐一个方法: 设S=0.999...... 则10S=9.999...... 10S-S=9.999......-0.999...... 9S=9 S=1 现在明白了吧,虽然0.999......与1看上去不一样,实际上是一样的. 另外,这一题的做法与六年级奥数的错位相减求和有着异曲同工之妙. 祝楼主好好学习,天天向上,有空多交流交流!

乐陵市13281226311： 零点九九循环等不等于1 - ？
老黎氟比： 这个证明是错误的 不要被误导了... 零点九九循环小于1 一般考虑为约等于1 1除以3 永远不能被除尽, 说明存在一个小的不能再小的余数, 虽然可以忽略不计, 但是是存在的. 很多人说三分之一等于0.33333的无限循环,其实是不成立的.试想下...

乐陵市13281226311： 0.9,九的循环是否等于一?请说明自己的理由 ？
老黎氟比： 这个就是等于1的,中学还是小学讲过的. 设0.9999循环=x 则0.9999循环-0.9=0.0999循环,右边乘以10就是0.9999循环,即x x-0.9=0.1x 0.9x=0.9 x=1 所以设0.9999,九的循环等于1. 根据高中的等差数列求极限,也是一样得到1

乐陵市13281226311： 1在什么情况下等于0.9999....9循环？
老黎氟比： 1÷3=1/3 1/3等于0.3333333…… 1/3乘以3=1 而0.3333333……乘以3=0.999999…… 所以1=0.999999……

乐陵市13281226311： 0.9999循环=1吗????? - ？
老黎氟比： 说等于一的,嘿嘿……循环小数根本不是一个正式的,对数的表达形式0.99……9循环应该看做一个极限表达式,lim(n—>无穷) 1-10^n极限等于1,而不是这个“数”等于1

乐陵市13281226311： 1和0.9,9循环,相等 - ？
老黎氟比： 你好:他们是相等的. 理由如下: :∵ 0.9999....=0.3333....+0.3333....+0.3333....(1=1/3+1/3+1/3)=1/3+1/3+1/3=1 ∴ 1=0.9999......

乐陵市13281226311： 0.9的9循环与1哪一个大?说明理由! - ？
老黎氟比： 1大、这是必须的吧!