证明面面垂直的方法，普通定理，不要用向量，最好给道例题

面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是______；面面垂直的判定定理：文字语言：______，符号语言~

（1）面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；（2）面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l?α，则α⊥β”．故答案为：垂直的；一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；若l⊥β，l?α，则α⊥β．

求出两个面的法向量，法向量积=0

1。证明平面与平面垂直的方法：

    （1）利用定义：证明二面角的平面角为直角；

    （2）利用“面面垂直”判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。简述为：“若线面垂直，则面面垂直”。

2. 平面与平面垂直的性质：

    （1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。

    （2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用

3．“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系，若注意到这一联系，则既可加深对垂直关系概念的系统理解，又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。

例题：如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。

    求证：平面ABC⊥平面BSC。

作AD⊥平面BSC，D为垂足。    

    ∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，    

    ∴D为△BSC的外心。又∠BSC=90°，    

    ∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内。    

    ∴平面ABC⊥平面BSC。

    证法二：  

    取BC的中点D，连接AD、SD，易证AD⊥BC，又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，

    ∴BD=SD

    ∴AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，

    ∴AD⊥平面BSC。又AD 平面ABC，  

    ∴平面ABC⊥平面BSC。

    评注

    本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。

• 线线垂直    线面垂直   面面垂直，一步一步到位

• 已知PA⊥⊙O所在的平

  1。证明平面与平面垂直的方法：

      （1）利用定义：证明二面角的平面角为直角；

      （2）利用“面面垂直”判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。简述为：“若线面垂直，则面面垂直”。

  2. 平面与平面垂直的性质：

      （1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。

      （2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用

  3．“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系，若注意到这一联系，则既可加深对垂直关系概念的系统理解，又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。

  例题：如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。

  面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC 

  证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

  又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC 

  而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

  又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE

  ∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，

  ∴AE⊥平面PBC

• 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点

  （1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD1

  分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法

  证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，

  则A(0,0,0),  D(0,2,0),  A1(0,0,2) 

  D1(0,2,2)，E(2,0,1),  F(1,2,0)

  (1)   

    =0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F

  （2） =（2，0，1） =（1，0，-2），|  ，| 

  设AE与D1F的夹角为θ，则

  cosθ= 

  所以，直线AE与D1F所成的角为90°

  （3）由（1）知D1F⊥AD，

  由（2）知D1F⊥AE，

  又AD∩AE=A， D1F⊥平面AED，

  ∵D1F 平面A1FD1M

  平面AED⊥平面A1FD1

•  

  已知 AB是圆 O的直径,PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A'B 的任一点，求证：平面 PAC⊥平面 PBC．

  分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可

  解：∵ AB是圆O 的直径，∴AC⊥BC ，

  又∵ PA垂直于圆O所在的平面，∴ PA⊥BC，

  ∴ BC⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中，

  所以，平面PAC⊥ 平面PBC ．

  点评：由于平面PAC 与平面 PBC相交于PC ，所以如果平面 PAC⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法

   

   

   

要转化为线面垂直,证明一个面中的一条线垂直于另一个面 就是这个了

要转化为线面垂直,证明一个面中的一条线垂直于另一个面

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实俩参附： 1.证明平面与平面垂直的方法: (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角; (2)利用“面面垂直”判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线...

文县18146112026： 证明平面与平面垂直有哪些方法 - ？
实俩参附：[答案] 一、几何法 面面垂直的定义 证明两个面所成的二面角是直二面角 面面垂直的判断定理 证明一个面中有一条直线,垂直另一个平面 二、向量法 证明两个平面的法向量互相垂直

文县18146112026： 面面垂直的证明方法有哪些? - ？
实俩参附：[答案] 法向量垂直;某线垂交叉线→某线垂面→面(某线在该面内)垂面;平行传递法(线面均适用);

文县18146112026： 证明面面垂直的判定定理 - ？
实俩参附：[答案] 判定定理:一个面如果过另外一个面的垂线,那么这两个面相互垂直.即一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. 面面垂直的性质定理 在一个面中做一条垂直于两面交线的直线,则这条直线垂直于另一个面.

文县18146112026： 面面垂直的证明方法? - ？
实俩参附：[答案] 由线面垂直推面面垂直,注意要写明线属于一个面并且不在另外个面里两个平面相交应该得到一条交点,在具体的几何体中可能会是一个点,延长部分直线会得到交线的.设PA=PD=x,则AD=√2x,所以PA⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,...

文县18146112026： 面面垂直怎么证明? - ？
实俩参附： 解答: (一)几何法(1)证明两个平面所成的二面角为直角(不常用);(2)证明一个平面中经过另一平面的一条垂线. (二)向量法证明两个平面的法向量互相垂直.

文县18146112026： 证面面垂直的方法 - ？
实俩参附： 1.证明平面与平面垂直的方法:(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角;(2)利用“面面垂直”判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.简述为:“若线面垂直,则面面垂直”.2. 平面与平面垂直...

文县18146112026： 如何证明面面垂直? - ？
实俩参附： 可以通过证明一个面中的一条直线垂直于另一个面换句话说 如果直线l垂直于平面α 那么所有包含直线l的平面都垂直于α

文县18146112026： 如何证明面与面之间互相垂直?？
实俩参附： 如下三个定理1.在一个平面内做2条相交直线,另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线,则面面垂直.2.如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 面面垂直.3.如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直.

文县18146112026： 如何证明平面与平面垂直 除了判定定理以外的结论!急!!!!!!谢谢各位@! - ？
实俩参附： (1)定义法:如果两个平面所成的二面角为90°,那么这两个平面垂直(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互...