证明面面垂直的方法,普通定理,不要用向量,最好给道例题
(1)面面垂直的向量方法是:证明这两个平面的法向量互相垂直,即法向量的数量积等于0;(2)面面垂直的判定定理中:文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直”,符号语言是“若l⊥β,l?α,则α⊥β”.故答案为:垂直的;一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直;若l⊥β,l?α,则α⊥β.
求出两个面的法向量,法向量积=0
1。证明平面与平面垂直的方法:
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角;
(2)利用“面面垂直”判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。简述为:“若线面垂直,则面面垂直”。
2. 平面与平面垂直的性质:
(1)两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为:“若面面垂直,则线面垂直”。
(2)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用
3.“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系,若注意到这一联系,则既可加深对垂直关系概念的系统理解,又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。
例题:如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°。
求证:平面ABC⊥平面BSC。
作AD⊥平面BSC,D为垂足。
∵∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,则AS=AB=AC,
∴D为△BSC的外心。又∠BSC=90°,
∴D为BC的中点,即AD在平面ABC内。
∴平面ABC⊥平面BSC。
证法二:
取BC的中点D,连接AD、SD,易证AD⊥BC,又△ABS是正三角形,△BSC为等腰直角三角形,
∴BD=SD
∴AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2,由勾股定理的逆定理,知AD⊥SD,
∴AD⊥平面BSC。又AD 平面ABC,
∴平面ABC⊥平面BSC。
评注
本题是证明面面垂直的典型例题,关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内;方法二则是在一个平面内找一条线段,证明它与另一个平面垂直。
线线垂直 线面垂直 面面垂直,一步一步到位
已知PA⊥⊙O所在的平
1。证明平面与平面垂直的方法:
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角;
(2)利用“面面垂直”判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。简述为:“若线面垂直,则面面垂直”。
2. 平面与平面垂直的性质:
(1)两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为:“若面面垂直,则线面垂直”。
(2)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用
3.“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系,若注意到这一联系,则既可加深对垂直关系概念的系统理解,又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。
例题:如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°。
面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC
证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC
又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC
而PC∩AC=C,∴BC⊥平面PAC
又∵AE在平面PAC内,∴BC⊥AE
∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,
∴AE⊥平面PBC
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1,CD的中点
(1)求证:AD⊥D1F;(2)求AE与D1F所成的角;(3)证明平面AED⊥平面A1FD1
分析:涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题,建立空间直角坐标系来解,不仅容易找到解题方向,而且坐标也简单,此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题,当然也可用其它的证法
证明:建立空间直角坐标系如图,并设AB=2,
则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2)
D1(0,2,2),E(2,0,1), F(1,2,0)
(1)
=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F
(2) =(2,0,1) =(1,0,-2),| ,|
设AE与D1F的夹角为θ,则
cosθ=
所以,直线AE与D1F所成的角为90°
(3)由(1)知D1F⊥AD,
由(2)知D1F⊥AE,
又AD∩AE=A, D1F⊥平面AED,
∵D1F 平面A1FD1M
平面AED⊥平面A1FD1
已知 AB是圆 O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A'B 的任一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC.
分析:根据“面面垂直”的判定定理,要证明两平面互相垂直,只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可
解:∵ AB是圆O 的直径,∴AC⊥BC ,
又∵ PA垂直于圆O所在的平面,∴ PA⊥BC,
∴ BC⊥平面PAC ,又BC 在平面PBC 中,
所以,平面PAC⊥ 平面PBC .
点评:由于平面PAC 与平面 PBC相交于PC ,所以如果平面 PAC⊥平面PBC ,则在平面PBC 中,垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ,这是寻找两个平面的垂线的常用方法
要转化为线面垂直,证明一个面中的一条线垂直于另一个面 就是这个了
要转化为线面垂直,证明一个面中的一条线垂直于另一个面
证明面面垂直的条件是什么,得注意什么
证明面面垂直的基本方法有: (1)利用定义证明,即利用两平面相交成直二面角来证明; (2)利用面面垂直的判定定理证明,即若a⊥ ,a ,则 ⊥ 在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若没有这样的直线
如何证明面面垂直?
探索面面垂直的奥秘:证明之路 面对看似简单的“如何证明面面垂直”问题,其实蕴含着丰富的几何思维。首先,我们需熟悉其基本概念与判定法则:定义:两个平面若形成二面角为直角,那么它们必然互相垂直,这就是面面垂直的直观定义。判定定理:当一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面,那么这两个平面即为...
如何证面面垂直?
3、如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直。面面垂直的证明方法 1、定义法:如果两个平面所成的二面角为90deg;,那么这两个平面垂直。2、判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的...
如何证明两平面垂直?
证明两平面垂直的方法如下:一、线面垂直 如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知直线必须垂直于两平面的交线,才满足,如果平面内的这条直线与交线不是90度,那么它和另一平面也不是90度。二、面面垂直 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的...
如何求解面面垂直
证明面面垂直的基本方法有:(1)利用定义证明,即利用两平面相交成直二面角来证明;(2)利用面面垂直的判定定理证明(一个面中的一条直线垂直于另一个面)(3)两个面的法向量互相垂直.
证明面面垂直的方法及定理
证明面面垂直的方法 #CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.对角线的点积:#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD 两组对边平方和分别为:AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2...
证明面面垂直的方法(带图解的)
找B面里一条线,先证线垂直于A面,线又在B面内,所以A面垂直于B面!
面面垂直怎么证明呢?
面面垂直推线面垂直的方法:任选两个面中的一个,在其中做一条直线垂直于两面相交的直线,因为是同一个面内,所以一定能做出来,然后,因为线线垂直,相交线也在另一个面内,做的线在另一面外,所以线面垂直。直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此...
高中数学线面垂直与面面垂直证明方法有多少种
证线面垂直:面面垂直中垂直于两面相交的线 一条线垂直于另一个面的两条相交线 面面垂直:a面有两条相交直线垂直于b面 a面交b面的直线为C,a面中A垂直于C,b面中B垂直于C,证A垂直于B即正a面垂直于b面 打字不容易望采纳
证明线线垂直,线面垂直,面面垂直的方法和例题
异面直线垂直,证明方法:通常证明其中一条与另一条所在平面垂直。而直线与平面垂直的判定条件就那么几种:a、一直线与两相交直线分别垂直,则该直线与两条相交直线所确定的平面垂直 b、两平面垂直,其中一平面内一直线与两平面的交线垂直,则该直线与另一平面垂直,面面垂直,a、两个平面,一平面内有...
实俩参附: 1.证明平面与平面垂直的方法: (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角; (2)利用“面面垂直”判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线...
文县18146112026: 证明平面与平面垂直有哪些方法 - ?
实俩参附:[答案] 一、几何法 面面垂直的定义 证明两个面所成的二面角是直二面角 面面垂直的判断定理 证明一个面中有一条直线,垂直另一个平面 二、向量法 证明两个平面的法向量互相垂直
文县18146112026: 面面垂直的证明方法有哪些? - ?
实俩参附:[答案] 法向量垂直;某线垂交叉线→某线垂面→面(某线在该面内)垂面;平行传递法(线面均适用);
文县18146112026: 证明面面垂直的判定定理 - ?
实俩参附:[答案] 判定定理:一个面如果过另外一个面的垂线,那么这两个面相互垂直.即一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. 面面垂直的性质定理 在一个面中做一条垂直于两面交线的直线,则这条直线垂直于另一个面.
文县18146112026: 面面垂直的证明方法? - ?
实俩参附:[答案] 由线面垂直推面面垂直,注意要写明线属于一个面并且不在另外个面里两个平面相交应该得到一条交点,在具体的几何体中可能会是一个点,延长部分直线会得到交线的.设PA=PD=x,则AD=√2x,所以PA⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,...
文县18146112026: 面面垂直怎么证明? - ?
实俩参附: 解答: (一)几何法(1)证明两个平面所成的二面角为直角(不常用);(2)证明一个平面中经过另一平面的一条垂线. (二)向量法证明两个平面的法向量互相垂直.
文县18146112026: 证面面垂直的方法 - ?
实俩参附: 1.证明平面与平面垂直的方法:(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角;(2)利用“面面垂直”判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.简述为:“若线面垂直,则面面垂直”.2. 平面与平面垂直...
文县18146112026: 如何证明面面垂直? - ?
实俩参附: 可以通过证明一个面中的一条直线垂直于另一个面换句话说 如果直线l垂直于平面α 那么所有包含直线l的平面都垂直于α
文县18146112026: 如何证明面与面之间互相垂直??
实俩参附: 如下三个定理1.在一个平面内做2条相交直线,另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线,则面面垂直.2.如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 面面垂直.3.如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直.
文县18146112026: 如何证明平面与平面垂直 除了判定定理以外的结论!急!!!!!!谢谢各位@! - ?
实俩参附: (1)定义法:如果两个平面所成的二面角为90°,那么这两个平面垂直(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互...