已知三角形ABC,试求满足向量AP=向量AB+向量AC的点P的轨迹。(t属于R)
【一些结论】:以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
(AP就表示AP向量 |AP|就是它的模)
5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性:
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得:
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性:
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P点轨迹过三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,
∴点P过三角形重心。
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP与向量BC垂直,
P点的轨迹过垂心。
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量,
向量AB与AC的单位向量的和向量,
因为是单位向量,模长都相等,构成菱形,
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,
易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心。
三角形重心表达式: 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
证明:设AD为三角形ABC中BC边的中线,O为三角形的重心
延长OD到E,使OD=DE,连结BE,CE
且有BD=DC,所以四边形BOCE为平行四边形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o为重心,将AD分为2:1两部分,即AO=2OD=OE
综上向量OA=-向量OE=-(向量OB+向量OC)
即:向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心
O是三角形的垂心: 向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
证明:向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即(向量OA-向量OB)(向量OA+向量OB)=(向量CA-向量BC)(向量CA+向量BC)
即向量BA•(向量OA+向量OB)=(向量CA-向量BC)•向量BA
即向量BA•(向量OA-向量CA+向量OB+向量BC)=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可证OA⊥CB,OB⊥AC。
所以O是三角形的垂心.
是否可以解决您的问题?
1 利用数形合结 点P1在圆x^2+y^2=1上 点P2在椭圆x^2+y^2/4=1 由图得向量P1P2的模的最大值为根号2-1
2 作图可得 根号2a
5作图可得AB=AC 且向量AB的单位向量·向量AC的单位向量=1/2,
所以 ∠ABC=60
6 设M(x,y) 向量OM=m向量OA+n向量OB=(2m-n,n-m)
则x=2m-n , y=n-m 将m,n用x,y表示 代入2m^2 -n^2=2
可得M的轨迹方程
7设D(x,y) 则向量AD=(x-2,y+1)向量BC=(-6,-1)向量BC*向量AD=0
且D在BC上 则 y=1/6x+3/2 解方程组的D坐标和向量AD
8 移项得AB(AB-AC)=CB(AB-CA) 则 AB*CB=CB*AB-CB*CA 所以CB*CA =0
则△ABC为直角三角形
10 设AC,DP交于E 则 DP=1/5BC DE=1/4DE 则 DP:DE=4:5
△ADE=1/8△ABC S△APD=4/5S△ADE 所以S△APD/S△ABC=1:10
t在哪里啊t在哪里……
不说什么了,尽快补充吧,我关注你的问题!
对不起,回来晚了。
两边减去向量AC,得到的是:向量CP=t向量AB。
原来CP和AB是平行的。
那么……P点的轨迹是……过C点且与AB平行的直线!
(自恋状……)
(可以给分了吗?)
P.S.我充分理解你……
P.P.S.正式过程:
两边同减向量AC,得向量CP=t向量AB。
∵AB不重合,所以向量AB不为0,那么CP为与AB平行的一切向量,
∴CP‖AB(或P与C重合),总之,P在过C点且与AB平行的直线上。
错题
AB和AC都是常向量,P为变量,P轨迹仅一个点
=。=貌似没有给坐标系 也没说三角形是什么样的呀 那就只有建立坐标系了 以A为坐标原点AC为X轴 过点A与X轴垂直的直线为Y轴建立平面直角坐标系 此时B点在X轴上 则设C(M,0)(C的纵坐标是数字零 不是英文字母 它在X轴上 所以纵坐标该为零嘛) 由于三角形形状不知道 则设B(P,Q) 最后设P(X,Y) 所以X=tP+M
Y=tQ 然后这2个式子联立消去t就得 (X-M)Q/P=Y 所以P的轨迹是条直线
=。=楼主别说还要我把M P Q分别解出来 我想还没人有那个能力
画图,很容易就可以得到。。
以AB所在直线为Y轴,C为其他任意象限任意一点,
只要A,B,C,3点确定,
不论t为何值,t向量AB总是在AB所在直线上,
即,t向量AB和AC相加所得向量的终点总是在: 过C点,平行与AB的那条直线上。。
所以P点轨迹为平行与AB所在直线的一条直线
这样
已知abc是三角形的三边,试比较a的平方+b的平方-c的平方与2ab的大小...
余弦公式:cosC=(a2+b2-c2)\/2ab,由于,cosC的值是【-1,1】,所以,一定满足(a2+b2-c2)小于等于2ab
已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=根号十四,试判断三 ...
a+b=4,ab=1 所以得到 a^2+b^2 =(a+b)^2-2ab =16 -2=14 而c=根号十四 即a^2+b^2=c^2,故三角形为直角三角形
...分别为a,b,c,若a+c=2b,∠B=60°,试确定三角形ABC的形状
b�0�5=a�0�5+c �0�5-2accos60�0�2=a�0�5+c �0�5-ac ②,将①代入②,并化简得:(a-c)�0�5=0,∴a=c ,根据①可得:a=b=c,所以三角形ABC是...
已知:三角形ABC的三变长分别为a,b,c,且a,b,c满足等式,试说明该三角形试...
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0 (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 所以(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(c-a)^2=0 a-b=0,b-c=0,c-a=0 所以a=b=c 等边三角形 ...
三角形ABC中,已知c=根号2,b=1,B=30度,试解这个三角形。
解:因为a\/sinA=b\/sinB=c\/sinC 因为c=根号2 b=1 角B=30度 所以sinC=根号2\/2 所以角C=135度,或角C=45度 所以角A=15度,或角A=105度 a=(根号6-根号2)\/2 所以:这个三角形的解是:a=(根号6-根号2)\/2 角A=15度,或角A=105度 角C=135度,或角C=45度 ...
已知三角形ABC的三边长满足a+b=6,ab=c²-4c+13,试判断三角形ABC的形 ...
由题意知a>=0,b>=0,c>=0 ab=(c-2)^2+9 因为(c-2)^2>=0,所以ab=(c-2)^2+9>=9 ab=a(6-a)=6a-a^2=-(a-3)^2+9>=9 所以(a-3)^2<=0 又因为(a-3)^2>=0所以(a-3)^2=0 所以a=3 b=6-a=6-3=3 ab=9=(c-2)^2+9 c=2 所以三角形ABC为等腰三角形 ...
...满足2B=A+C,若sin∧2B=sinAsinC,试判断三角形ABC的形状
1.(sinB)^2=(1-cos2B)\/2.sinAsinC=-(1\/2)(cos(A+C)-cos(A-C))所以:根据2B=A+C,得到:cos2B=cos(A+C).所以消去这个项,得到:1\/2=(1\/2)cos(A-C).所以cos(A-C)=1, A=C.所以又根据2B=A+C=A+A=2A,得到:A=B.所以A=B=C,所以这是等边三角形.2.大于2√3 ...
已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac,试判定三 ...
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac a^2+b^2-2ab+a^2++c^2-2ac+b^2+c^2-2bc=0 (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0 因为平方式大于等于0 若干个平方式的和等于0,则每个平方式都只能为0 所以a-b=0,a-c=0,b=c=0 a=b=c 所以该三角形为等边...
三角形ABC中,己知SinB+SinC=SinA(CosB+CosC),若A的对边a=1,试求三角...
∵sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB,∴2sinCcos A+B 2 •cos A-B 2 =2sin A+B 2 •cos A-B 2 .在△ABC中,- π 2 < A-B 2 < π 2 .∴cos A-B 2 ≠0.∴2sin 2 C 2 cos C 23 =cos C 2 ,(1-2sin 2 C 2 )cos C 2 =0.∴(1-2sin 2 C ...
在三角形ABC中,已知D为BC边上的中点,试问:向量AB+向量AC=2向量AD吗...
是的,用平行四边形法则就能得到 你把AB AC 当做平行四边形相邻的两条边,然后做平行四边形,BC是一条对角线,而AD就是另一条对角线的一半 然后就容易得到 向量AB+向量AC=2向量AD
羽康复方: :∵AP=λ AB,AQ=(1-λ) AC,λ∈R ∴BQ= BA+ AQ= BA+(1-λ) AC根据向量加法的三角形法则求出 BQ= BA+ AQ= BA+(1-λ) AC, CP= CA+ AP= CA+λ AB进而根据数量级的定义求出 BQ• CP再根据 BQ• CP=- 32即可求出λ.,CP= CA+ AP= CA+λ AB...
宿豫县18355016037: 在三角形ABC中,角A=90度,AB=1.AC=2.设点P,Q满足向量AP=入向量AB,向量AQ=(1 - 入)向量AC,入属于R,若向...在三角形ABC中,角A=90度,AB=1.... - ?
羽康复方:[答案] 由已知得 |AB|=1 ,|AC|=2 ,所以 |AB|^2=1 ,|AC|^2=4 ,且 AB*AC=|AB|*|AC|*cos90°=0 ,那么 BQ*CP=(AQ-AB)*(AP-AC) =[(1-λ)*AC-AB]*(λ*AB-AC) = -(1-λ)*AC^2-λ*AB^2 ...
宿豫县18355016037: 已知三角形ABC是边长为2的正三角形,点PG满足AP向量=1/2AB+1/2AC,AG=1/3AB+ - ?
羽康复方: AP=1/2向量AB+1/3向量AC AG=1/3向量AB+1/3向量AC 向量GP=向量AP-向量AG =1/6*向量AB |GP|=1/6|AB|=1/3 取BC中点为M,则,AB+AC=2AM 向量AG=1/3向量AB+1/3向量AC =1/3(AB+AC) =2/3*AM |AG|=2/3|AM|=2√3/3 G为等边三角形中心,那么<GA,GP>=150度 三角形APG的面积 S=1/2|AG||GPsin150º =1/2*2√3/3*1/3*1/2 =√3/18
宿豫县18355016037: 点p是三角形ABC所在平面内的一点,且满足向量AP=1/3AB﹢2/3AC,则三角形PAC面积与三角形ABC面积之比 - ?
羽康复方: 解:由向量AP=1/3AB﹢2/3AC可以得到,P在BC上,且PB=2PC三角形PAC面积与三角形ABC面积之比为1:3
宿豫县18355016037: 已知P点是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2BP+3CP=0.设Q为CP的延长线与AB的交点、令向量CP=p. - ?
羽康复方: 设向量CA=a,向量CB=b,向量CQ=λ*向量CP=λp,(λ为实数),则 向量AP=CP-CA=p-a,向量BP=CP-CB=p-b,代入已知条件AP+2BP+3CP=0得(p-a)+2(p-b)+3p=0.化简得a=6p-2b …………① 又向量AQ=CQ-CA=λp-a,向量BQ=CQ-CB=λp-b,因为向量AQ与BQ共线,所以令向量AQ=k*向量BQ,(k为实数),则有 λp-a=k(λp-b) …………② ①②联立消去向量a得(λ-kλ-6)p+(k+2)b=0 因为p与b均为不为0的向量,所以有 λ-kλ-6=0且k+2=0 两式联立解得λ=3.所以向量CQ=3*向量CP.
宿豫县18355016037: 已知P点是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2BP+3CP=0.设Q为CP的延长线与AB的交点、令向量CP=p.用p表示向量CQ. - ?
羽康复方:[答案] 设向量CA=a,向量CB=b,向量CQ=λ*向量CP=λp,(λ为实数),则 向量AP=CP-CA=p-a,向量BP=CP-CB=p-b, 代入已知条件AP+2BP+3CP=0得 (p-a)+2(p-b)+3p=0. 化简得a=6p-2b …………① 又向量AQ=CQ-CA=λp-a,向量BQ=CQ-CB=λp-b...
宿豫县18355016037: 已知P是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2向量BP+3向量CP=0向量 - ?
羽康复方: 解:设向量CQ=λ向量CP,则向量PQ=向量CQ-向量CP=(λ-1)向量CP.依题意,向量CP=-1/3(向量AP+2向量BP)=1/3(向量PA+2向量PB) 因为Q在AB上,所以A、B、Q三点共线,所以就有μ向量PA+(1-μ)向量PB=向量PQ==(λ-1)向量CP=1/3(向量PA+2向量PB),对应相等,所以就有等式3μ=λ-1和3(1-μ)=2λ-2,所以最终求得λ=2,所以向量CQ=2向量CP=2向量p,解答完毕.
宿豫县18355016037: 已知P是△ABC内任一点,且满足向量AP=X向量AB+y向量AC,x 、y是实数 ,则y+2x 的取值范围是什么?
羽康复方: 三角形ABC内一点,且向量AP=x向量AB+y向量AC, 当p点在BC上时,x+y=1, 因为P在三角形ABC内. ∴0<x+y<1 ==>0<x<1,0<y<1} ==>0<x+x+y<2 即: y+2x 的取值范围是(0,2)
宿豫县18355016037: P是三角形ABC的BC上的任意一点,满足向量AP=x向量AB+y向量AC,x.y属于R,求1/x+1/y最小值.要过程 - ?
羽康复方: 由于AP与三角形ABC共面,故x+y=11/x+1/y=(x+y)/x+(x+y)/y=1+y/x+x/y+1=2+(y/x+x/y)>=2+2根号(y/x*x/y)=4 即有最小值是:4
宿豫县18355016037: 已知三角形ABC的重心为P,若实数入满足:向量AB+向量AC=入向量AP,则入的值为 - ?
羽康复方: 我是根据等边三角形算的(这是个特例,不过别的只是算法不一样)2个向量AB+AC=AD,AD与BC的交点是F,那么对于等边三角形,2/3AF就是重心点,而AF=1/2AD,所以AP=1/3AD,既入=3