已知三角形ABC,试求满足向量AP=向量AB+向量AC的点P的轨迹。（t属于R）

高中数学向量题~

【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，
∵O是内心
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则，得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心

OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，
即AP•BC=0，
P点轨迹过三角形的垂心

3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，
∴点P过三角形重心。

4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0，
所以向量AP与向量BC垂直，
P点的轨迹过垂心。

5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，
向量AB与AC的单位向量的和向量，
因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，
易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心。

三角形重心表达式: 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
证明：设AD为三角形ABC中BC边的中线，O为三角形的重心
延长OD到E,使OD=DE,连结BE,CE
且有BD=DC,所以四边形BOCE为平行四边形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o为重心，将AD分为2：1两部分，即AO=2OD=OE
综上向量OA=-向量OE=-（向量OB+向量OC）
即：向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心

O是三角形的垂心: 向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
证明：向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
即向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
即向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可证OA⊥CB，OB⊥AC。
所以O是三角形的垂心.
是否可以解决您的问题？

1 利用数形合结 点P1在圆x^2+y^2=1上 点P2在椭圆x^2+y^2/4=1 由图得向量P1P2的模的最大值为根号2-1

2 作图可得 根号2a

5作图可得AB＝AC 且向量AB的单位向量·向量AC的单位向量=1/2,
所以 ∠ABC=60
6 设M（x，y） 向量OM=m向量OA+n向量OB＝（2m－n，n－m）
则x=2m－n ， y=n－m 将m，n用x，y表示 代入2m^2 -n^2=2
可得M的轨迹方程
7设D（x，y） 则向量AD=（x-2，y+1）向量BC=（-6,-1）向量BC*向量AD=0
且D在BC上 则 y=1/6x+3/2 解方程组的D坐标和向量AD

8 移项得AB(AB-AC)=CB(AB-CA) 则 AB*CB=CB*AB-CB*CA 所以CB*CA =0
则△ABC为直角三角形

10 设AC,DP交于E 则 DP=1/5BC DE=1/4DE 则 DP:DE=4:5

△ADE=1/8△ABC S△APD=4/5S△ADE 所以S△APD/S△ABC=1:10

如果像高中时写作业时一样，我的答案是：该题有误。
t在哪里啊t在哪里……
不说什么了，尽快补充吧，我关注你的问题！

对不起，回来晚了。
两边减去向量AC，得到的是：向量CP=t向量AB。
原来CP和AB是平行的。
那么……P点的轨迹是……过C点且与AB平行的直线！
（自恋状……）
（可以给分了吗？）
P.S.我充分理解你……
P.P.S.正式过程：
两边同减向量AC，得向量CP=t向量AB。
∵AB不重合，所以向量AB不为0，那么CP为与AB平行的一切向量，
∴CP‖AB（或P与C重合），总之，P在过C点且与AB平行的直线上。

错题
AB和AC都是常向量，P为变量，P轨迹仅一个点

=。=貌似没有给坐标系 也没说三角形是什么样的呀 那就只有建立坐标系了 以A为坐标原点AC为X轴 过点A与X轴垂直的直线为Y轴建立平面直角坐标系 此时B点在X轴上 则设C(M,0）（C的纵坐标是数字零 不是英文字母 它在X轴上 所以纵坐标该为零嘛） 由于三角形形状不知道 则设B(P,Q） 最后设P(X,Y) 所以X=tP+M
Y=tQ 然后这2个式子联立消去t就得 (X-M)Q/P=Y 所以P的轨迹是条直线

=。=楼主别说还要我把M P Q分别解出来 我想还没人有那个能力

画图，很容易就可以得到。。

以AB所在直线为Y轴，C为其他任意象限任意一点，
只要A，B，C，3点确定，
不论t为何值，t向量AB总是在AB所在直线上，
即，t向量AB和AC相加所得向量的终点总是在： 过C点，平行与AB的那条直线上。。

所以P点轨迹为平行与AB所在直线的一条直线

这样

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宿豫县18355016037： 已知三角形ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足满足满足向量AP=入向量AB,向量AQ=(1__？
羽康复方： :∵AP=λ AB,AQ=(1-λ) AC,λ∈R ∴BQ= BA+ AQ= BA+(1-λ) AC根据向量加法的三角形法则求出 BQ= BA+ AQ= BA+(1-λ) AC, CP= CA+ AP= CA+λ AB进而根据数量级的定义求出 BQ• CP再根据 BQ• CP=- 32即可求出λ.,CP= CA+ AP= CA+λ AB...

宿豫县18355016037： 在三角形ABC中,角A=90度,AB=1.AC=2.设点P,Q满足向量AP=入向量AB,向量AQ=(1 - 入)向量AC,入属于R,若向...在三角形ABC中,角A=90度,AB=1.... - ？
羽康复方：[答案] 由已知得 |AB|=1 ,|AC|=2 ,所以 |AB|^2=1 ,|AC|^2=4 ,且 AB*AC=|AB|*|AC|*cos90°=0 ,那么 BQ*CP=(AQ-AB)*(AP-AC) =[(1-λ)*AC-AB]*(λ*AB-AC) = -(1-λ)*AC^2-λ*AB^2 ...

宿豫县18355016037： 已知三角形ABC是边长为2的正三角形,点PG满足AP向量=1/2AB+1/2AC,AG=1/3AB+ - ？
羽康复方： AP=1/2向量AB+1/3向量AC AG=1/3向量AB+1/3向量AC 向量GP=向量AP-向量AG =1/6*向量AB |GP|=1/6|AB|=1/3 取BC中点为M,则,AB+AC=2AM 向量AG=1/3向量AB+1/3向量AC =1/3(AB+AC) =2/3*AM |AG|=2/3|AM|=2√3/3 G为等边三角形中心,那么<GA,GP>=150度 三角形APG的面积 S=1/2|AG||GPsin150º =1/2*2√3/3*1/3*1/2 =√3/18

宿豫县18355016037： 点p是三角形ABC所在平面内的一点,且满足向量AP=1/3AB﹢2/3AC,则三角形PAC面积与三角形ABC面积之比 - ？
羽康复方： 解:由向量AP=1/3AB﹢2/3AC可以得到,P在BC上,且PB=2PC三角形PAC面积与三角形ABC面积之比为1:3

宿豫县18355016037： 已知P点是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2BP+3CP=0.设Q为CP的延长线与AB的交点、令向量CP=p. - ？
羽康复方： 设向量CA=a,向量CB=b,向量CQ=λ*向量CP=λp,(λ为实数),则 向量AP=CP-CA=p-a,向量BP=CP-CB=p-b,代入已知条件AP+2BP+3CP=0得(p-a)+2(p-b)+3p=0.化简得a=6p-2b …………① 又向量AQ=CQ-CA=λp-a,向量BQ=CQ-CB=λp-b,因为向量AQ与BQ共线,所以令向量AQ=k*向量BQ,(k为实数),则有 λp-a=k(λp-b) …………② ①②联立消去向量a得(λ-kλ-6)p+(k+2)b=0 因为p与b均为不为0的向量,所以有 λ-kλ-6=0且k+2=0 两式联立解得λ=3.所以向量CQ=3*向量CP.

宿豫县18355016037： 已知P点是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2BP+3CP=0.设Q为CP的延长线与AB的交点、令向量CP=p.用p表示向量CQ. - ？
羽康复方：[答案] 设向量CA=a,向量CB=b,向量CQ=λ*向量CP=λp,(λ为实数),则 向量AP=CP-CA=p-a,向量BP=CP-CB=p-b, 代入已知条件AP+2BP+3CP=0得 (p-a)+2(p-b)+3p=0. 化简得a=6p-2b …………① 又向量AQ=CQ-CA=λp-a,向量BQ=CQ-CB=λp-b...

宿豫县18355016037： 已知P是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2向量BP+3向量CP=0向量 - ？
羽康复方： 解:设向量CQ=λ向量CP,则向量PQ=向量CQ-向量CP=(λ-1)向量CP.依题意,向量CP=-1/3(向量AP+2向量BP)=1/3(向量PA+2向量PB) 因为Q在AB上,所以A、B、Q三点共线,所以就有μ向量PA+(1-μ)向量PB=向量PQ==(λ-1)向量CP=1/3(向量PA+2向量PB),对应相等,所以就有等式3μ=λ-1和3(1-μ)=2λ-2,所以最终求得λ=2,所以向量CQ=2向量CP=2向量p,解答完毕.

宿豫县18355016037： 已知P是△ABC内任一点,且满足向量AP=X向量AB+y向量AC,x 、y是实数 ,则y+2x 的取值范围是什么？
羽康复方： 三角形ABC内一点,且向量AP=x向量AB+y向量AC, 当p点在BC上时,x+y=1, 因为P在三角形ABC内. ∴0&lt;x+y&lt;1 ==&gt;0&lt;x&lt;1,0&lt;y&lt;1} ==&gt;0&lt;x+x+y&lt;2 即: y+2x 的取值范围是(0,2)

宿豫县18355016037： P是三角形ABC的BC上的任意一点,满足向量AP=x向量AB+y向量AC,x.y属于R,求1/x+1/y最小值.要过程 - ？
羽康复方： 由于AP与三角形ABC共面,故x+y=11/x+1/y=(x+y)/x+(x+y)/y=1+y/x+x/y+1=2+(y/x+x/y)>=2+2根号(y/x*x/y)=4 即有最小值是:4

宿豫县18355016037： 已知三角形ABC的重心为P,若实数入满足:向量AB+向量AC=入向量AP,则入的值为 - ？
羽康复方： 我是根据等边三角形算的(这是个特例,不过别的只是算法不一样)2个向量AB+AC=AD,AD与BC的交点是F,那么对于等边三角形,2/3AF就是重心点,而AF=1/2AD,所以AP=1/3AD,既入=3