如图,求Rt△ABC中BC边的长。(初二数学题,用勾股定理做!速度!)
1)因为PE⊥AC,所以Rt△ABC相似于Rt△APE,故:AE:EP=AC:CB .........(1)
由题意知,n=BC:AC ........(2)
联系(1)和(2),得到:AP:EP=AC:CB=1/(BC:AC)=1/n
2)分三步计算:
(i)在Rt△BFP和Rt△BDC中,角B是公共角,所以Rt△BFP相似于Rt△BDC
故:BF:BD=FP:CD............(3)
又四边形FPEC为矩形(四个角均为直角),所以:CE=FP(对边相等).........(4)
结合(3)与(4)可以得到:BF:BD=CE:CD .................(5)
(ii)在Rt△ABC和Rt△ADC中,角A是公共角,故:Rt△ABC相似于Rt△ADC
得到:角ACD=角B.......................(6)
(iii)在△CED和△BFD中,由(6)得到:角B=角ECD(有一个角相等)
由(5)得到:BF:BD=CE:CD(相邻的两个边成比例)
已经满足了两个三角形相似的条件,所以:△CED相似于△BFD
所以:角CDE=角BDF.................(7)
则:角FDE=角FDC+角CDE=角FDC+角BDF(此处用到结论(7))=角BDC=90度
所以:△EDF为直角三角形,且角FDE为直角...............(8)
(iv)在△AED和△CFD中,角A=角FCD,角ADE=角CDF(因为这两个角加上角CDE后都是直角),故得出△AED相似于△CFD,所以:AD:CD=ED:FD................(9)
(v)在Rt△ACD和Rt△FED中(此处利用了结论(8)),因为(9):AD:ED=CD:FD
即两个直角边对应成比例,所以:Rt△ACD相似于Rt△FED
当然,可以推出:Rt△BAC也相似于Rt△FED..........(10)
由(10),EF:DF=AB:BC.....................(11)
由题意:BC=n*AC,此题n=3,即BC=3AC
而AB的平方=BC的平方+AC的平方=(3AC)^2+(AC)^2=9(AC)^2+(AC)^2=10(AC)^2
故AB=(根号10)*AC
得:EF:DF=[(根号10)*AC]:[3*AC]=(根号10):3
3)由于需要求出EF:DF=2√3:3 ,根据(11)可知,此时必定AB:BC=EF:DF=2√3:3
也就是AB=2√3*BC/3
这时求:AC的平方=AB的平方-BC的平方=4*3*BC的平方/9-BC的平方
=4/3*BC的平方-BC的平方=1/3*BC的平方
AC=1/根号3*BC
所以BC:AC=根号3,由题目中所给,此值即为所求n的大小,即:n=BC:AC=根号3
解毕。
1.已知△ABC为等边三角形,P为△内任意一点,AP=4,CP=2,BP=2根号3,求S△ABC
如图,将△PAB绕点A逆时针旋转60°,得到△P'AC,连结P'B
则△P'AC≌△PAC,∴AP'=AP=4,CP'=BP=2√3,∠ACP'=∠ABP,∠P'AC=∠PAB
∵∠PAB+∠PAC=60°,∴∠P'AC+∠PAC=60°
∴∠PAP'=60°,∴△APP'是等边三角形
∴PP'=AP=4,∠APP'=60°
在△PCP'中,∵CP²+CP'²=2²+(2√3)²=16,PP'²=4²=16
∴CP²+CP'²=PP'²,∴△PCP'是直角三角形,∠PCP'=90°
又PP'=2CP,∴∠PP'C=30°,∠CPP'=60°
∴∠APC=120°
∵∠PCP'=90°,∴∠ACP+∠ACP'=90°
∴∠ABP+∠ACP=90°
又∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°,∠ACB=∠ACP+∠PCB=60°
∴∠PBC+∠PCB=30°,∴∠BPC=150°
∴∠APB=90°,∴AB²=AP²+BP²=4²+(2√3)²=28
∴S△ABC=1/2×AB×√3/2AB=√3/4AB²=√3/4×28=7√3
2.http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac34598292e4888e0cf4d21b.jpg
(1)过点C作CD垂直于AB
因为等腰三角形ABC所以CD平分AB
AD=BD=2/6=3
三角形ACD为直角三角形,根据勾股定理得CD=4
三角形ABC的面积=AB*CD/2=12
(2)设AE为x
根据题意得AB^2+AE^2=BE^2
AB^2+AE^2= (AD-AE)^2
6^2+X^2=(8-X)^2
解得x=7/4
三角形ABE的面积为8*7/4/2=7
三角形ABD的面积为8*6/2=24
三角形BED的面积为24-7=17
3.http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6c81473af4f3bc3e1e38.jpg
根据三边长可以求得三角形的面积为12(海伦公式)
所以三角形ABC在AC上的高为24/5
所以MN=12/5
附海伦公式
已知三角形三边a,b,c,则 (p=(a+b+c)/2)
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
4.http://hiphotos.baidu.com/_%CE%D2%CA%C7%C6%F3%B6%EC/pic/item/7bbf26f23b4c57d20b46e036.jpg
作AH垂直于BC于H ,由于AB=AC,所以有BH=CH
有:AD^2=DH^2+AH^2
AB^2=BH^2+AH^2
所以AD^2-AB^2=DH^2-BH^2=(DH+BH)*(DH-BH)=(DH+CH)*BD=BD*CD
5.已知 ∠C=90°,M是AB中点 ,∠DME=90°
求证:DE²=AE²+BD²
图:http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8ad4b31c3e78c2b887d6b6c9.jpg
证明:从M点向BC作垂线,垂足是D';从M点向AC作垂线,垂足是E'
三角形BMD'与三角形ME'A全等,所以BD'=ME',D'M=E'A
三角形DD'M与三角形EE'M相似,所以DD'/EE'=D'M/E'M
即DD'*E'M=EE'*D'M
即DD'*BD'=EE'*E'A
AE²+BD²=(AE'+EE')²+(BD'-DD')²
=AE'²+EE'²+2AE'*EE'+BD'²+DD'²-2BD'*DD'
因为AE'*EE'=BD'*DD'(上面已证),
所以上式即 AE²+BD²=AE'²+EE'²+BD'²+DD'²
因AE'=D'M,BD'=ME'
所以 AE²+BD²=D'M²+EE'²+ME'²+DD'²
=DM²+ME²(勾股定理)
=DE²(勾股定理)
(证毕)
6.A,B是直线l同侧的两点,且点A和B到l的距离分别为4.5和10.5,且垂足C,D间的距离为8 若点P是l上一点 则AB=?
过A作AE⊥BD于E
则ACDE是矩形
AC=DE=4.5
AE=CD=8
那么BE=BD-DE=10.5-4.5=6
∠AEB=90°
AB=√(AE²+BE²)=√(8²+6²)=10
7.已知直角三角形一直边长为13,其余两条边长都是自然数,求此三角形的斜边长。
设令一条直角边为x 则斜边为y
可得 x^2+13^2=y^2
变形,得
13^2=(y+x)(y-x)
因为 y+x与y-x只能为自然数,则
y+x和y-x只能为 1 13^2和13 13两组数。
因此y-x=1 y+x=13^2
解得 y=85 x=84
8.如图所示,在四边形ABCD中,AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,∠B=90°,求∠BAD的度数。
图:http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f31fbe09cc645e076b60fb4f.jpg
连接AC,三角形ABC是等腰三角形,AB=2,BC=2,所以AC=2√2,∠BAC=45°.
因为AD=1,AC=2√2,DC=3,勾股定理:AD平方+AC平方=DC平方,所以∠DAC=90°.
所以,∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°
上传的那个图是第一题的图,我本来是第一个回答的,但是为了完善答案所以今天又来改了一下,回答者: 麒麟【◣龙 - 五级 2010-6-14 14:00 希望能帮到你,O(∩_∩)O~O(∩_∩)O~,要采纳我哦O(∩_∩)O~O(∩_∩)O~
因为∠B=30°,AB边长12.
所以AC=6
根据勾股定理BC=√(12²-6²)=6√3
截AB中点D,连接CD
截BC中点E,连接DE
∴CD=BD=AD=6
∵BD=DA BE=EC
∴DE=1/2AC=3
在RT△BDE中
BE=√BD2-DE2=3√3
∴BC=2BE=6√3
因为AB=12.∠B=30°
所以AC=6
在Rt△ABC中,∠C=90°
所以BC=根号下AB方-AC方=6√3
30°对的角是斜边一半。
ac等于6.
12 平方减6平方。就可以确定
设AC=X,则AB=2X,因AB=12,故X=6
所以BC=√(12 平方减6平方)=6√3
[`a_35`]
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=6,AB=8,D是AB上一动点,E是BC上一点,满 ...
CE的最小值=7.5 。
如图,在Rt△ABC中, ∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三间形,若A...
若AB=2,求△ABC的周长 解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC= 根号4^2-2^2=2√3.∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2√3.+4+2=6+2√3.答:△ABC的周长是6+2√3....
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是在Rt△ABC内一点,∠DAC=∠DCA...
以AC为边向△ABC外部作等边三角形ACE,连接DE,由∠DAC=∠DCA知DA=DC,又EA=EC,∴DE是AC的垂直平分线,ED∥AB;∴∠ADE=∠BAD=90°-15°=75°,而∠DAE=60°+15°=75°,故DE=AE=AC=AB,∴ABDE是平行四边形且是菱形,AB=BD。
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,且△ABD是等边三角形,若AB=...
解:∵△ABD是等边三角形,∠BAC=90°∴∠B=∠BAD=60°.∴∠C=∠DAC=30°.∴DC=AD=BD=AB=2.∴BC=4.又AB^2+AC^2=BC^2,∴AC^2=4^2-2^2=12,∴AC=2√3.∴△ABC的周长=2+4+2√3=6+2√3.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=5\/13,点D在BC上,且∠ADC=45°,AC=5...
解:假如没有学过三角函数,那么一步步来。从点D作DE⊥AB交AB于E。在直角三角形ACB中 ∵∠C=90°、AC=5、sinB=5\/13。∴AB=13,∴BC=12。∵∠ADC=45°、AC=5,∴三角形ACD为等腰直角三角形,即CD=5,AD=5√2。∴ BD=7。∵sinB=5\/13 ∴在直角三角形BED中,DE\/BD=5\/13 ∴...
[求高手~!] 如图,在Rt△ABC中,,,
cotB=4\/3 BC\/AC=4\/3 合勾3股4弦5 AC=6 BC=8 AB=10 PC=CQ CP=CQ=8-BQ=8-AP cosA=AC\/AB=3\/5 CP^2=AC^2+AP^2-2ACAPcosA (8-AP)^2=6^2+AP^2-12AP*3\/5 AP=x (8-x)^2=36+x^2-36x\/5 64-16x+x^2=36+x^2-36x\/5 140-80x=-36x x=35\/11 ...
如图,在RT△ABC中,∠ABC=90,BD是斜边AC上的高,∠1=30,求∠2,∠A,∠C...
∵∠ABC=90° ∴∠2=∠ABC-∠1=90°-30°=60° ∵BD⊥AC即∠BDA=∠BDC=90° ∴∠A=90°-∠2=90°-60°=30° ∠C=90°-∠A=90°-30°=60°
在Rt三角形ABC中,角BCA=90度,CD是高,已知Rt三角形ABC的三边都是整数...
问题:如图所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是高,已知Rt△ABC的三边长都是整数且BD=11^3,求Rt△ABC与Rt△ACD的周长之比。解答:由题意可知:Rt△BCD ∽Rt△CDA ∴BD\/CD=CD\/AD=BC\/AC, 则CD^2=BD×AD ,已知BD=11^3=11×11^2, 现需求出AD之值,才能求出CD之值。设 AB=11×...
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,求△ABC的内切圆⊙O的半径
∵圆O内切于三角形ABC ∴点O到三角形OAB、三角形OBC、三角形OAC三个三角形AB、BC、AC三边的距离均为r 又∠C=90°。S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC 即有:ab\/2=根号下(a^2+b^2)*r\/2+ar\/2+br\/2 解该方程得r=[a+b-根号下(a^2+b^2)]\/2.2,证明:根据题意画出两个图来,...
图1,Rt△ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm。点P由B出发沿A移动,同时点Q由A...
(1)在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理可得,AB=10cm 点P从A到C需要6s,点Q从C到B需要8\/2=4s,从B到A需要10\/2=5s 由题意可知,0≤t≤6 所以当0≤t≤4时,Q点在BC上,如左图 此时AP=t,CQ=2t ∴S△APQ=1\/2×AP×CQ=t²当4<t≤6时,Q点在AB上,如右图 此时...
蓟甄坤净: 因为是直角三角形,AB=12 ,∠C=90°,∠ABC=30°,所以BC对应的角度=60°,直接就用公式BC=12COS60°=6√3 6又根号3
上栗县18881687139: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,以AB为一边向三角形外作正方形ABEF,正方形的中心为O,OC=42,则BC边的长为______. - ?
蓟甄坤净:[答案] 作EQ⊥x轴, 以C为坐标原点建立直角坐标系,CB为x轴,CA为y轴,则A(0,3). 设B(x,0),由于O点为以AB一边向三角形外... ∴可得△ACB≌△BQE, ∴AC=BQ=3, ∴O为AE中点, ∴OM为梯形ACQE的中位线, ∴OM= 3+x 2, 又因为CM= 1 2CQ= 3+...
上栗县18881687139: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=1633,求∠B的度数及边BC、AB的长. - ?
蓟甄坤净:[答案] 在Rt△ACD中 ∵cos∠CAD= AC AD= 8 1633= 3 2,∠CAD为锐角. ∴∠CAD=30°,∠BAD=∠CAD=30°,即∠CAB=60°. ∴∠B=90°-∠CAB=30°. ∵sinB= AC AB, ∴AB= AC sinB= 8 sin30°=16. 又∵cosB= BC AB, ∴BC=AB•cosB=16• 3 2=8 3.
上栗县18881687139: 在Rt三角形ABC 中,角C等于九十度,AC 等于12,边BC 上的中线AD长为13,求边BC的长 - ?
蓟甄坤净: 在RT△ABD中,由勾股定理,得 DC=5 因为AD为BC的中线 所以BC=2DC=10
上栗县18881687139: 如图,在Rt三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12cm,求AB和BC的长 - ?
蓟甄坤净: BC=ABsin30° AB+BC=AB(1+sin30°)=1.5AB=12 AB=8cm BC=4cm
上栗县18881687139: 如图,已知在RT△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E是边BC的中点,BF//AC,EF//AB,求AB得长 - ?
蓟甄坤净: ∵∠EBF=90°,∠F=30°,EF=4,∴BE= 1/2 EF=2. ∵E是边BC的中点,∴BC=4. ∵∠C=90°,∠A=30°,∴AB=2BC=8.
上栗县18881687139: 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上的一点,∠DAC=30°,如果BD=2根号3求AC的长 - ?
蓟甄坤净: 在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC边上的一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2√3,则AC等于 设CD=X ∵∠C=90, ∠DAC=30,CD=X ∴AC=√3X,BC=BD+CD=2+X 又∵∠C=90 ∴AC²+BC²=AB² ∴(√3X)²+(2+X)²=(2√3)²3X²+X²+4X+4=12 X²+X-2=0 (X+2)(X-1)=0 ∴X1=-2(小于0舍去),X2=1 ∴AC=√3X=√3
上栗县18881687139: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=根号三.点D为BC边上一点,且BD=2AD.∠ADC=60°.求△ABC的周长. - ?
蓟甄坤净: ∵∠ADC=60° AC=√3 ∴AD=2 CD=1 ∴BD=4,BC=5 ∵Rt△ABC ∴AB=2√7 △ABC周长=5+2√7+√3
上栗县18881687139: 已知如图RT△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AE平分∠BAC,且CE=2CM.求⑴.BC的长⑵.三角形ABE的边AE上的高的长.. - ?
蓟甄坤净:[答案] 角CAB=90度-∠B=60度 角CAE=角EAB=30度=角B 所以:BE=AE=2*CE=4 cm BC=BE+CE=4+2=6 cm 三角形ABE的边AE上的高=AB/2=(BC/cos30度)/2=2(根号3)
上栗县18881687139: 如图RT△ABC中,∠C=90°,D是BC边上的一点,∠DAC=30°,如果BD=2,AB=2根号3,求AC的长 - ?
蓟甄坤净: 解:设CD=X ∵∠C=90, ∠DAC=30,CD=X ∴AC=√3X,BC=BD+CD=2+X 又∵∠C=90 ∴AC²+BC²=AB² ∴(√3X)²+(2+X)²=(2√3)²3X²+X²+4X+4=12 X²+X-2=0 (X+2)(X-1)=0 ∴X1=-2(小于0舍去),X2=1 ∴AC=√3X=√3 数学辅导团解答了你的提问,理解请及时采纳为最佳答案.