已知数列{an}的Sn=3^n，求an。

已知数列（an）的前n项和Sn=3+2^n，求an~

Sn=3+2^n

a1=S1=3+2=5
n>=2时:
an=Sn-S(n-1)=3+2^n-(3+2^(n-1))=2^n-2^n/2=2^(n-1)
而a1=2^(1-1)=1不等于5
所以有:
a1=5,(n=1)
an=2^(n-1),(n>=2)

n=1时，a1=S1=3
n>1时
a(n)=s(n)-s(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) ;
求数列的常用方法如下：
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。

求数列通项公式常用以下几种方法：

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1 (n=1)

Sn-Sn-1 (n2)

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8选 (B)

此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，

再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，

- (n=1)

- (n2)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式(2)略

解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)

∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-

又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)

由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

n=1时，a1=S1=3
n>1时
a(n)=s(n)-s(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)
;
求数列的常用方法如下：
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。
求数列通项公式常用以下几种方法：
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1
(n=1)
Sn-Sn-1
(n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
(A)
9
(B)
8
(C)
7
(D)
6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8选
(B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=
-，Sn=
-，
再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式(2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)
，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

an=-2[n-(-1)^n]
-2*（2
1
4
3
6
5
8
7）
如排除-2
，则前偶数项和为自然数的和，
前奇数n项正好是n-1的自然数列加an
s(n)=-2[1+2+……n-((-1)^1+(-1)^2+……(-1)^n)]
=-2[n(n+1)/2-(-1+1-1+1-1+1……+(-1)^n)]
=-n(n+1)+2(-1+1-1+1-1+1……+(-1)^n)
n为奇数，an=-2(n+1)
，s(n)=s(n-1)+an=-n(n-1)-2(n+1)=-n^2-n-2=-n(n+1)-2
n为偶数，an=-2(n-1)
，s(n)=-n(n+1)
综合为s(n)=-n(n+1)-1+(-1)^n
方法二
令bn=-2n，cn=-2(-1)^n,则an=bn-cn
s(bn)=-2[n(n+1)/2]=-n(n+1)
s(cn)=-2[-1+1-1……(-1)^n]=1-(-1)^n
s(an)=s(bn)-s(cn)=-n(n+1)-1+(-1)^n

解：n=1时，a1=s(1)=3^1=3
n>=2时，
因为s(n)=3^n,所以s(n-1)=3^(n-1)
a(n)=s(n)-s(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)

所以a(n)=3 (n=1)
a(n)=2*3^(n-1) (n>=2)

n=1时，a1=S1=3
n>1时
a(n)=s(n)-s(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)

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开平市15197527636： 已知数列{an}的Sn=3^n,求an. - ？
别若海正： 当n=1 a1=3 当n≥2 an=Sn-S(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)

开平市15197527636： 已知数列{an}前n项和为 Sn=3^n - 2 求数列{an}的通项公% - ？
别若海正： Sn+1-Sn=3^(n+1)-2-(3^n-2)=3^(n+1)-3^n=3^n(3-1)=2*3^n 因为an=Sn+1-Sn 所以an=2*3^n

开平市15197527636： 已知数列{an}的前n项和Sn=3^n - 2,求数列{an}的通项公式.为什么要分情况讨论 - ？
别若海正： 因为根据S(n) - S(n-1)求a(n)的公式的时候,要保证S(n-1)有意义,即要保证n-1>=1,即n>=2,所以这一步求到的是n>=2的时候的公式.所以 a1 要另外求,其实很简单,只要将 n=1带入Sn求得a(1).算到这里要注意,数学讲究简洁美,这里要把n=1带入前面求得的an公式中看是否满足,若也满足,则两种情况可以合成一种情况.虽然最终答案可能是只有一种情况,但是过程中是必须分情况讨论的,因为不求到最后,你也不知道是不是一种情况.

开平市15197527636： 已知数列{an}的前项和为sn=3^n - 2,求数列{an}的通项公式, - ？
别若海正： ^你好,流星代月 !第一题 Sn=3^n-2 当那么,当n>=2时 S(n-1)=3^(n-1)-2 an=Sn-S(n-1)=3^n-2-3^(n-1)+2=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) 而当n=1时,S1=a1=1,不符合这个式子,所以分开写 综上所述 当n=1时,a1=S1=1.当n>=2时,an=2*3^(n-1),第...

开平市15197527636： 已知数列{an}的前n项和为Sn=3^n,数列{bn}满足b1= - 1,b(n+1)=bn+(2n - 1),求an和bn - ？
别若海正：[答案] a(1)=S(1)=3, n>=2时a(n)=S(n)-S(n-1)=2*3^(n-1). b(n+1)-n^2=b(n)-(n-1)^2, 记c(n)=b(n+1)-n^2, 则c(n)=c(n-1).故c(n)=c(0)=b(1)=-1. 所以b(n)=(n-1)^2-1=n^2-2n

开平市15197527636： 已知数列{an}的前n项和Sn,若Sn=3^n+b,求{an}的通项公式 - ？
别若海正： a1=s1=3^1+b=3+b an=Sn-S(n-1)=3^n+b-3^(n-1)-b=2*3^(n-1) (n>=2)

开平市15197527636： 已知数列{an}的前n项和为Sn=3^n - 1,求{an}的通项公式,并判断是否为等比数列. - ？
别若海正： 当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=[3^n-1]-[3^(n-1)-1]=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) (n≥2) 因n=1时,也满足an=2*3^(n-1) 则:an=2*3^(n-1) (n≥1) 当n≥2时,[an]/[a(n-1)]=3=常数 所以数列{an}是等比数列.

开平市15197527636： 已知数列{an}的前n项和sn=(3^n) - 2,求数列{an}的通项公式 - ？
别若海正： Sn=(3^n)-2 a1=S1=1 a2=(S2)-(S1)=[(3²)-2]-1=6 a3=(S3)-S2)=[3³-2]-[3²-2]=18.an={Sn}-[S(n-1)]=[(3^n)-2]-[-2+3^(n-1)]=2*3^(n-1) n≥2 ∴综上可知,通项 当n=1时,a1=1 当n≥2时,an=2*3^(n-1)

开平市15197527636： 已知数列an的前n项和sn=3^n+a,要使数列an成等比数列,求a - ？
别若海正： Sn=3^n-a.........(1) Sn-1=3^(n-1)-a....(2)(1)-(2): an=2*3^(n-1) Sn=2*(3^n-1)/(3-1)=3^n-1 所以a=-1

开平市15197527636： 已知数列{an}的前n项和为Sn=3^n - 1,求{an}的通项公式,并判断是否为等比数列. - ？
别若海正：[答案] 当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=[3^n-1]-[3^(n-1)-1]=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) (n≥2)因n=1时,也满足an=2*3^(n-1)则:an=2*3^(n-1) (n≥1)当n≥2时,[an]/[a(n-1)]=3=常数所以数列{an}是等比数...