高阶无穷小的运算法则

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高阶无穷小的运算法则是一组用于处理极限运算中高阶无穷小的规则和性质。

1、高阶无穷小的乘法法则：

当两个无穷小量h和g，且g是比h高阶的无穷小时，我们有以下等式：h*g=0，这意味着两个不同阶数的无穷小量的乘积总是趋近于零。

2、高阶无穷小的加法法则：

当两个无穷小量h和g相加时，我们有以下等式：h+g=g+h，这符合实数的交换律，无论无穷小量在何处交换位置，结果保持不变。

3、高阶无穷小与有界函数的乘积法则：

如果无穷小量h是比g更高阶的无穷小，并且有界函数f(x)的极限存在，则有以下等式：h*f(x)=0，这意味着在乘积中，高阶无穷小量将主导结果，而有界函数的影响将变得微不足道。

4、高阶无穷小的乘方法则：

如果h是一个比g更高阶的无穷小量，并且n是一个正整数，则有以下等式：h^n=0，这也意味着在乘方中，高阶无穷小量的影响将被完全抵消。

5、高阶无穷小的代入法则：

如果函数f(x)和g(x)是两个在某个点a处的高阶无穷小量，并且f(x)=g(x)，则有以下等式：lim(x->a)f(x)=lim(x->a)g(x)，这意味着在计算极限时，我们可以将函数的高阶无穷小量替换为同一阶数的其他高阶无穷小量。

6、高阶无穷小的比较法则：

如果函数f(x)中的高阶无穷小量g(x)的阶数比函数g(x)中的高阶无穷小量h(x)的阶数高，且g(x)≠0，则有以下等式：lim(x->a)f(x)/g(x)=0，这表明在极限计算中，比较高阶无穷小量时，高阶无穷小量的影响将趋近于零。

7、高阶无穷小的乘积法则的推广：

对于三个无穷小量h,g,和f，如果f是一个比g和h更高阶的无穷小量，则有以下等式：h*g*f=0，这可以逐步推广到更多个无穷小量的乘积。

总结：高阶无穷小的运算法则是一组用于处理极限运算中高阶无穷小的规则和性质。这些法则包括乘法法则、加法法则、与有界函数的乘积法则、乘方法则、代入法则、比较法则和乘积法则的推广。这些法则可以帮助我们简化和求解各种复杂的极限运算问题。

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无为县13161091356： 什么叫高阶无穷小?就是0么?还是负无穷? - ？
雷砖川贝：[答案] 无穷小之间的简单运算: 如果b是a的高阶无穷小,即lim(b/a)=0; 如果a与b为同阶无穷小,即lim(b/a)=c;(c≠0,c≠1) 如果a与b为等价无穷小,即lim(b/a)=1;

无为县13161091356： 高阶无穷小是什么意思?怎么用? - ？
雷砖川贝： 首先要搞清楚高阶无穷小的定义的一个知识点,即若x→某数,f(x)是g(x)的高阶无穷小,则 称f(x)=o(g(x)),例如:若o(x^2)+o(x^3)=o(x^2) 那等式左边即为f(x),等式右边的x^2即为g(x),lim f(x)/g(x)=0其次要明白 o(x^n)表示x^n的高阶无穷小,而且x^n...

无为县13161091356： 高阶无穷小相乘就比如x的4次方的高阶无穷小乘x的5次方的高阶无穷小等于什么 怎么算的 要是相除怎么算呢 谢 - ？
雷砖川贝：[答案] 由高阶无穷小的定义得 lim o(x^4)/x^4=0 lim o(x^5)/x^5=0 故lim o(x^4)*o(x^5)/x^9=0 1)即o(x^4)*o(x^5)是比x^9高阶的无穷小 2)而相除就不确定了. 其实o(x)表示的不是一个函数,而是一类函数(比如x^2,x^3...等等)

无为县13161091356： 能不能给一下高阶无穷小运算法则的证明 - ？
雷砖川贝： 同高阶无穷小加减.高阶无穷小与冥函数之乘积.高的高阶无穷小与低的高阶无穷小之商.有界函数与高阶无穷小乘积.常数与高阶无穷小乘积.在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述.微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的.设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内.如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小.

无为县13161091356： 高数无穷小运算规则证明 - ？
雷砖川贝： 严格的说,遇到小o的地方应理解为集合的运算, 比如o(f(x))+o(f(x))=o(f(x)),表示为 从第一个集合中任取一个元素,记为g1(x),即lim g1(x)/f(x)=0; 从第二个集合中任取一个元素,记为g2(x),即lim g2(x)/f(x)=0; 则g1(x)+g2(x)属于第三个集合,即 必有lim (g1(x)+g2(x))/f(x)=0. 因此o(x^2)=o(x)是正确的. 比如f(x)+o(g(x))=o(h(x))写法也是允许的,表示 从o(g(x))这个集合中取元素,记为f2(x),则 f(x)+f2(x)是位于o(h(x))这个集合.

无为县13161091356： 高阶无穷小在极限的加减运算中可以略去 - ？
雷砖川贝： 主要的依据是高阶无穷小的定义和极限运算的运算法则.举一个例子: 计算图片中的极限时,根据极限运算的运算法则,可以分成两个极限的式子相加,再根据高阶无穷小的定义,就有图片中等式的最右边了.这样的结果,其实可以直接理解为“高阶无穷小在极限的加减运算中可以略去”

无为县13161091356： 高阶无穷小中那个β(X)=o(α(x))中的o到底啥意思?包括在极限计算中,类似证明等价无穷小的充要条件是,说道β(X) - α(x)=o(α(x))这个的计算法则是什么?这... - ？
雷砖川贝：[答案] o(a)表示lim[x→a]f(x)=0,则说f(x)=o(a) 一般地说,o(a)表示一类趋于零的函数的集合,为了书写方便,通常直接写为f(x)=o(a).

无为县13161091356： 高阶无穷小相乘法则是o(x^m)*o(x^n)=o(x^(m+n)),请问为什么相乘的结果不是x^ - ？
雷砖川贝： o(x^m)可能是x^(m+0.1)的同阶无穷小, 同理, o(x^n)可能是x^(n+0.1)的同阶无穷小, 相乘后,得到的可能是x^(m+n+0.2)的同阶无穷小, 所以,不能想当然……

无为县13161091356： 高等数学等价无穷小的几个常用公式 - ？
雷砖川贝： 当x趋近于0的时候有以下几个常用的等价无穷小的公式: 1、sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1 2、(a^x)-1~x*lna [a^x-1)/x~lna] 3、(e^x)-1~x、ln(1+x)~x 4、(1+Bx)^a-1~aBx、[(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x、loga(1+x)~x/lna...