三角形内角和如何发现和证明？

~ 【前言】

三角形内角和是人教版四年级下册非常重要的一个课题，孩子们在学习了角的度量和角的性质以及按角的大小分类以后，就会学习三角形内角和。那么，三角形内角和是多少？怎样证明？有很多孩子听说过是180°，就像我们大人也都知道一样。但是，大多数孩子知其然不知其所以然。那么，我们就来说一说三角形内角和如何发现和证明。

【课堂设计】

一、引入

三角形内角和的引入有很多种方式：

比如：“你能画一个三个角加起来尽可能大的三角形吗？”

当孩子遭遇这样的问题时，就会思考，怎样才能画出内角和最大的三角形？画过几个之后就会猜测到：三角形的内角和可能一样大！

或者，这样引入：出示两个不一样的三角形，进行比较

二、证明

三角形的内角和是多少？你如何证明？当孩子遭遇这样的问题时，首先能想到的当然是测量！因为他们已经学过了测量，那就动手测量吧。很多组实验数据表明，测量的结果在180°±1°~2°之间，但我们仍然不能定性它是多少。于是，我们就进一步寻找方法，有的孩子会想到撕——拼，把三个角都撕下来，拼在一起，发现这三个角形成了一个平角，好像能说明三角形的内角和就是180°，但这仍然不是严明的数学逻辑推理，只能叫做实践验证。但这些方法孩子们都需要经历！像数学家当初尝试证明一样，去穿越这一个个过程。

那么，我们如何进行数学式证明呢？孩子将会在这里遭遇困难。

在这里，老师需要引导：

方法一：帕斯卡证明

（老师准备一个完整的长方形和同样大小的长方形沿对角线剪开成两个三角形），让学生进行观察和推理。

一个长方形的内角和是4×90°=360°，这是不证自明的。那么，将一个长方形沿对角线剪开，就会得到两个一模一样的直角三角形，从而我们可以证明一个直角三角形的内角和是360÷2=180°。

那么，锐角三角形和钝角三角形呢？

在证明了直角三角形内角和的前提下，进一步证明锐角和钝角三角形就要将其化为直角三角形来解决：

（老师帮助性提问：想一想，能不能将锐角和钝角三角形转化成直角三角形？）

将锐角三角形或钝角三角形分成两个直角三角形。我们又知道每个直角三角形的内角和是180°，那么，两个直角三角形的和就是360°。此时，我们又发现，我们计算的角中有两个直角不属于三角形的内角，减去这两个直角的度数，就可以证明三角形内角和是180°了！

到这里，我们就证明了三角形的内角和是180°。

方法二：

前置“同位角、对顶角”证明，当然，这里不需要定义什么叫“同位角”和“对顶角”。

通过延伸三角形的两条边，并把第三条边做一个平移到两条延长边的交点处。依据“角的大小和角的两边长短无关，只和两边的开合度有关，我们就可以直观得出：

∠2=∠5，

∠7=∠1，∠6=∠3

同样，∠1=∠4，得到∠7=∠4。

这样，我们就可以得到∠2+∠3+∠4=180°，从而得出∠5+∠6+∠7=180°。

（但是，这里需要老师一步步的引导，让学生一步步观察，哪些角一样大？为什么？）

【总结】

一个精彩数学概念怎样诞生？不是我们将所有的方法告诉学生，老师只是引导，要让学生创造和经历每一个概念诞生的过程，只有这样，才叫发明数学，创造数学，才叫像数学家一样思考。在南明，我们一只朝向这里，并不断探索，不断努力！

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子洲县13687014028： 三角形内角和定理怎么证明? - ？
吕岸安福：[答案] 证明三角形内角和等于180度的方法很多,现举其中一种较为简单的方法证明如下: 已知:三角形ABC中,角A、角B、角C为内角. 求证:角A+角B+角C=180度. 证明:延长BC到D,过点C作CE//BA, 则有:角A=角ACE(两直线平行,内错角相等...

子洲县13687014028： 三角形内角和的证明方法(20种) - ？
吕岸安福：[答案] .将一个三角形的三个角分别往内折,三个角刚好组成一平角,所以为180度.2.在一个顶点作他对边的平行线,用内错角证明.3.做三角形ABC 过点A作直线EF平行于BC 角EAB=角B 角FAC=角C 角EAB+角FAC+角BAC=180 角BAC+角B+角C=1...

子洲县13687014028： 证明三角形的内角和定理(最少三种方法) - ？
吕岸安福：[答案] 1,过三角形的一个顶点做对边的平行线,该顶点处有三个角,相加为180,然后把这三个角中的两个角通过平行关系代换成内角,从而得证 2,任意绘制一个平行四边形,将其分割成两个三角形,这两个三角形全等,然后平行四边形相邻两角相加为...

子洲县13687014028： 三角形内角和证明方法8种 - ？
吕岸安福： 三角形内角和证明方法: 1、. 将一个三角形的三个角分别往内折,三个角刚好组成一平角,所以为180度. 2、在一个顶点作他对边的平行线,用两直线平行,内错角相等证明. 3.做三角形ABC,过点A作直线EF平行于BC,角EAB=角B,角...

子洲县13687014028： 证明三角形内角和为180°,5种证明方法, - ？
吕岸安福：[答案] 1. 将一个三角形的三个角分别往内折,三个角刚好组成一平角,所以为180度.【也可用三个全等三角形来拼接】 2. 在一个顶点作对边的平行线,用内错角证明. 3. 内角和公式(n-2)*180

子洲县13687014028： 数学家克莱罗是如何发明证明三角形内角和? - ？
吕岸安福： 这方面不存在什么权威的数学家,因为证明方法有很多很多种. 证明三角形内角和等于180度的方法很多,现举其中一种较为简单的方法证明如下: 已知:三角形ABC中,角A、角B、角C为内角. 求证:角A+角B+角C=180度. 证明:延长BC到D,过点C作CE//BA, 则有:角A=角ACE(两直线平行,内错角相等) 角B=角ECD(两直线平行,同位角相等) 因为 角ACE+角ECD+角ACB=180度(平角的定义) 所以 角A+角B+角ACB=180度(等量代换). 若有用,望采纳,谢谢.

子洲县13687014028： 三角形内角和怎么证 - ？
吕岸安福： 过A作PQ//BC,根据平行线性质——内错角相等,有∠1=∠B,∠2=∠C,所以 ∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2=180°.希望可以帮到你~

子洲县13687014028： 怎样证明三角形内角和等于180度 - ？
吕岸安福： 第一种方法: 如图①,△ABC中,延长BC到D,过C作CE‖BA ∴∠B=∠ECD(同位角相等),且∠A=∠ACE(内错角相等) ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角) 把上述角代换,得: ∠ACB+∠B+∠A=180° ∴三角形内角和等于180度 第二种方法: 用拼图法,这也是证明题常用的方法.如图②,你一看就明白的. 第三种方法:如图③ 三角形都有外接圆,∠A对BC弧,∠B对AC弧,∠C对AB弧. 有个定理:圆周角的度数等于所对弧的度数的一半. ∴∠A+∠B+∠C=1/2 (BC弧+AC弧+AB弧) 就是:∠A+∠B+∠C=1/2 *360°=180° ∴三角形内角和等于180度

子洲县13687014028： 三角形的内角和的验证方法 - ？
吕岸安福： 我知识不多,只能说2种哦~ 剪一个三角形纸片,把3个角剪下拼在一起,正好是个平角,即180度. 1.内角和公式(n-2)*180 2.设三角形三个顶点为A、B、C,分别对应角A、角B、角C;过点A做直线l平行于直线BC,l与射线AB组成角为B',l与射线AC组成角为C',角B'与角B、角C'与角C分别构成内错角,根据平行线内错角相等定理,可得:三角形的内角和=角A+角B+角C=角A+角B'+角C'=180度 3.延长三角形ABC各边,DAB=C+B,EBA=A+C,FCA=A+B 所以DAB+EBA+FCA=2A+2B+2C=360(三角形外角和为360) 所以A+B+C=180 选我为满意答案哦!!!我是琳

子洲县13687014028： 如何证明三角形的内角和为180°? - ？
吕岸安福：[答案] 证明:如图所示,在△ABC中,过A引EF∥BC, ∵EF∥BC, ∴∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等). ∵∠1+∠BAC+∠2=180°, ∴∠A+∠B+∠C=180°. 即三角形的内角和为180°.