高等代数…不可约多项式 x^4 +根号二 在实系数域中是不是四次不可约多项式 如果可约那么是
#define LEN sizeof(muleqt)typedef struct muleqt{ int a,n; struct muleqt *next;}muleqt;//a1x^n1+a2x^n2...muleqt *build(int n){ int i; muleqt *p1,*p2,*head; head=malloc(LEN); p1=p2=head; for (i=1; ia,&p1->n); p2=malloc(LEN); p1->next=p2; p1=p2; } if (n!=0) scanf("%d %d",&p1->a,&p1->n); p1->next=NULL; return head;}void print(muleqt *head){ muleqt *p=head; for (; p->a==0; p=p->next) ; if (p->a!=0 && p->n!=0) { if(p->a!=1)printf("%dx^%d",p->a,p->n); else printf("x^%d",p->n); } else if (p->n==0) printf("%d",p->a); p=p->next; while (p!=NULL) { if (p->a!=0) { if (p->aa); else if (p->a==1) { if (p->n!=0) printf("+x"); if (p->n==0) printf("+1"); } else if (p->a>1) printf("+%dx",p->a); if (p->n!=0 && p->n!=1) printf("^%d",p->n); } p=p->next; }}int main(){ int n; muleqt *head; scanf("%d",&n); head=build(n); print(head); return 0;}
这个问题建议你查看一下北大版高等代数的第一章内容是有这个问题的介绍的,这个问题是很明确的只有两种:一次多项式(如ax+b,其中a,b不全为0)和二次的(如x^2+1等形式)。
对于实数域上的多项式仅有一次、二次不可约多项式的证明可以用归纳法来证明的:
1)对于n次多项式,当n=1,2时显然成立。
2)假设在当小于等于n-1时成立(第二归纳法)(n≥2)
3)当等于n时,如果n是奇数,由于奇次多项式总是有实数根的,此时多项式化为了n-1次的,根据归纳假设显然此时是成立的。
如果n为偶数,先将此偶次多项式在复数域上进行分解,我们知道复数根都是共轭出现的并且我们知道(x-z)(x-\bar{z})=x^2-|^2|为一个实数域中二次多项式。因此此时变为一个n-2次多项式了,根据我们之前的归纳假设此时也是成立的。
∴x^4+√2在实系数域中是可约多项式.
-√2的4次方根是xk=2^(1/8)[cos(1+2k)π/4+isin(1+2k)/4],k=0,1,2,3,
其中x0与x3,x1与x2共轭,
∴x^4+√2=[(x-x0)(x-x3)][(x-x1)(x-x2)],
中括号中的因式是实系数多项式。
...例4为什么由画横线的部分可直接得出~f(x)在Z3上不可约
因为z3中只有那几个不可约一次多项式和二次多项式
高等代数多项式定理的逆定理证明没看懂?
你的想法是对的……(猜测是你书上那个整除符号印错位置了吧)正确做法:若p(x)可约,设p(x)=p1(x)p2(x),则p(x) | p1(x)p2(x),但p(x)既不整除p1(x)也不整除p2(x),矛盾,所以p(x)不可约。
【高等代数(笔记)】第一章 多项式
1.6 因式分解定理不可约多项式,即不能再分解为更低次多项式乘积的元素,是多项式世界中的重要角色。定理5强调了不可约多项式的整除特性,它们构成了多项式分解的基石。1.7 重因式与处理重复项重因式在分解多项式时起着特殊作用,它确保我们正确处理那些在分解中出现重复的因子。理解重因式,是深入理解...
高等代数可约不可约问题?
通过我所接触到的这类题目,用x=y+1,x=y-1其中之一能解决问题的占了100%。所以我的建议是只用试试x=y+1,x=y-1,如果都不成功,很可能说明本题不能用爱森斯坦判别法。尝试其他方法。顺便,如果你想刨根问底,可以在百度问 电灯剑客 ,他是高等代数高手!
【高等代数】唯一因式分解定理
定理层面,定理1.2.9明确了互素多项式的存在条件,以及定理1.2.11给出了不可约多项式和重因式的定义和特性,这些都是构建多项式理论大厦的基石。在扩展到复数域后,我们有了定理2.1.2,它揭示了不可约多项式的等价陈述,而唯一因式分解定理2.1.3则强调了在给定数域内,任一高于一次的多项式都能...
高等代数理论基础10:有理系数多项式
定理:给定整系数多项式f(x), ,若 是f(x)的一个有理根,其中r,s互素,则 ,特别地,若f(x)的首项系数 ,则f(x)的有理根都是整根,且是 的因子 证明:例:证明 在有理数域上不可约 证:定理:给定整系数多项式f(x), ,若有一素数p使得 1.2.3.则f(x)在有理数域上不...
代数式的概念和分类
几个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式...
普通高等学校规划教材:高等代数选讲目录
高等代数选讲目录涵盖了多个核心主题,从基础概念到高级理论,帮助读者深入理解代数的各个方面。以下是各章节的概要:第1章,多项式,探讨了多项式的次数、整除性、根以及各种类型的多项式,如整系数多项式、有理系数多项式和复、实系数多项式,以及不可约多项式和重因式等概念。第2章,行列式,介绍了行列式...
代数闭域的等价的刻划
给定一个域F,其代数封闭性与下列每一个性质等价: 域F是代数闭域,当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域,p(x)是F[x]的一个不可约多项式,那么它有某个根a,因此p(x)是x − a的一个倍...
问一个数学系高等代数方面的问题
由倒数第三行知,f,g要么没有公约数,要么公约数为g,既然f,g都有相同的根了,所以他们的公约数为g(在Q【x】上,g是不可约的)。但是,这个题目是不是有问题。因为在有理数域上,多项式可以任意次数不可约;只有在复数域上,才是一次不可约。所以,感觉f(x)应该属于C[x].如果题目改成这...
钟邵慢肝: 在实系数域中不可约多项式最高次数是2次, ∴x^4+√2在实系数域中是可约多项式. -√2的4次方根是xk=2^(1/8)[cos(1+2k)π/4+isin(1+2k)/4],k=0,1,2,3, 其中x0与x3,x1与x2共轭, ∴x^4+√2=[(x-x0)(x-x3)][(x-x1)(x-x2)], 中括号中的因式是实系数多项式.
宁化县15850619769: x^4+1在实数域上是否是不可约多项式?在高等代数第五版的第69页有这样一个定理:实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二... - ?
钟邵慢肝:[答案] x^4+1=x^4+2x²+1-2x²=(x²+1)²-2x²=(x²-√2x+1)(x²+√2x+1) 所以是可约的. 这个定理的意思是可以分解成一次多项式和二次三项式的乘积
宁化县15850619769: x^4+1在实数域上是否是不可约多项式? - ?
钟邵慢肝: x^4+1=x^4+2x²+1-2x²=(x²+1)²-2x²=(x²-√2x+1)(x²+√2x+1) 所以是可约的... 这个定理的意思是可以分解成一次多项式和二次三项式的乘积
宁化县15850619769: 求证下列多项式不可约.x^4+x+1=0,x^4+x^3+1=0单墫《因式分解技巧》最后一节的练习为什么两个是同理的? - ?
钟邵慢肝:[答案] 这个题目应该准确地说是多项式在有理数域上是不可约的.没有指明是哪个数域的话,就不能说它是不可约的.因为任何多项式(只要次数大于等于1)在复数上都 是可约的.至于证明: 设f(x)=x^4+x+1, 则显然1,-1不是它的解,...
宁化县15850619769: 判断多项式x^4+2x^3 - 16x^2+6x+2在有理数域上是否可约? 等待ing_?
钟邵慢肝: 解:令f(x)=x^4+2x^3-16x^2+6x+2 四次项系数为1,常数项为2,而2的因数为±1、±2 ∴在有理数域上可能因式x+1、x-1、x+2、x-2.∴f(-1)=-20≠0 f(1)=-6≠0 f(-2)=-74≠0 f(2)=-18≠0 ∴在有理数域上不可约
宁化县15850619769: 证:此整系数多项式不可约 x^4+1 - ?
钟邵慢肝:[答案] x^n+1,当n为偶数时不可分解因式.n为奇数时可以 待定系数法是最基本方法.这个式子用此方法得到的系数不是属于整数是复数.
宁化县15850619769: x^4+1在有理数域上分解成不可约多项式 - ?
钟邵慢肝:[答案] 只能在实数域上分 x^4+1 =x^4+2x^2+1-2x^2 =(x^2+1)^2-2x^2 =(x^2+2^(1/2)x+1)(x^2-2^(1/2)x+1) 有理数域上不可约(可以用Eisenstein判别法证明)
宁化县15850619769: x^4+1在有理数域上分解成不可约多项式 - ?
钟邵慢肝: 只能在实数域上分解: x^4+1 =x^4+2x^2+1-2x^2 =(x^2+1)^2-2x^2 =(x^2+2^(1/2)x+1)(x^2-2^(1/2)x+1) 有理数域上不可约(可以用Eisenstein判别法证明)
宁化县15850619769: 分别在复数域、实数域、有理数域上分解多项式x^4+1为不可约因式的乘积. - ?
钟邵慢肝: 在有理数域不能再分解了. 在实数域: x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+√2x+1)(x^2-√2x+1) 在复数域: x^4+1=(x+√2/2+i√2/2)(x+√2/2-i√2/2)(x-√2/2+i√2/2)(x-√2/2-i√2/2)
宁化县15850619769: 实数域上不可约多项式的类型有几种? - ?
钟邵慢肝: 这个问题建议你查看一下北大版高等代数的第一章内容是有这个问题的介绍的,这个问题是很明确的只有两种:一次多项式(如ax+b,其中a,b不全为0)和二次的(如x^2+1等形式). 对于实数域上的多项式仅有一次、二次不可约多项式的证明...