【高等代数】唯一因式分解定理
首先，引理1.2.4阐述了多项式间的最大公因式关系，指出它是逐步求得的，通过逐级分析，我们发现它是两个多项式共同的最大公因式。接着，我们遇到辗转相除法，它指出，从第二个多项式开始，存在特定商式和余式的关系，为我们理解整除提供了有力工具。
在数域的性质中，性质1.2.6强调了首一最大公因式在任何数域中的恒定性，而定义1.2.7定义了互素的概念，即两个多项式互素意味着它们的非零公因式仅限于零次多项式。紧接着，性质1.2.8揭示了互素的等价条件，指出在数域中，两多项式互素的实质。
定理层面，定理1.2.9明确了互素多项式的存在条件，以及定理1.2.11给出了不可约多项式和重因式的定义和特性，这些都是构建多项式理论大厦的基石。在扩展到复数域后，我们有了定理2.1.2，它揭示了不可约多项式的等价陈述，而唯一因式分解定理2.1.3则强调了在给定数域内，任一高于一次的多项式都能唯一地分解为不可约因式的乘积。
接下来，我们通过数学归纳法证明了这个定理，从不可约因式和重因式的分解开始，逐步推导出复数域上不可约多项式的特定形式。推论3.7和定理3.8进一步揭示了复数域上的一次多项式不可约性，以及二次因式的重要性。对于实数域，我们发现定理4.4揭示了实系数多项式的复根对出现规律，而定理4.6则明确了实数域上不可约多项式的具体特征。
在有理数域，定义5.1定义了本原多项式，其重要性在于其整系数和最大公因数为1的特性。推论5.5和定理5.7则深入探讨了本原多项式的分解和有理根的性质。最后，Eisenstein判别法提供了判断多项式在特定域上是否不可约的有力工具，通过反证法，我们得以确保这一结论的准确性。
总结来说，高等代数中的唯一因式分解定理是数域结构分析的关键，它展示了多项式在不同数域中的分解规律，以及这些规律如何随数域扩展而变化。通过引理、定理和推论的交织，我们对多项式的性质有了深入理解，这些都是构建现代数学大厦不可或缺的基石。
高等代数理论基础7:重因式
定义：给定不可约多项式p(x),若 ,则称p(x)为f(x)的k重因式 若k=0,则p(x)不是f(x)的因式,若k=1,则称p(x)为f(x)的单因式,若 ,则称p(x)为f(x)的重因式 定理：若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 ,则p(x)是f(x)的微商f'(x)的k-1重因式 证明：推论1：若不可...
高等代数理论基础9:复系数与实系数多项式
定理：每个次数 的复系数多项式在复数域中有一根 等价叙述：每个次数 的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式 注：由定理可知复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的,即不可约多项式只有一次多项式 定理：每个次数 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积 复系数多项式具有...
请教高等代数中关于多项式最大公因式的问题
设f（x），g（x）的最大公因式是m（x），那么f（x）=p（x）·m（x），g（x）=q（x）·m（x），p（x）、q（x）除1以外没有公因式，那么，f（x）-g（x）=（p（x）-q（x））·m（x），p（x）-q（x）与q（x）同样没有公因式，不然p（x）与q（x）必须要有公因式，所以，...
高等代数重因式
若q(x)|f'(x),f'(x)|f(x),则q(x)|f(x).于是可以反过来。
大学高等代数:如图,此为“求(x^n)-1在复数域和实数域上的标准分解式...
n为偶数时,只有两个实根1与-1,分解为：(x-1)(x+1)[x^(n-2)+x^(n-4)+...+1]在复数域上,恒有n个复根.记w=cos(2π\/n)+isin(2π\/n),分解为：(x-w)(x-w^2)...(x-w^n)因为有一个根为2-i，所以还有一个根为2+i，所以有个因式为(x-2+i)(x-2-i)=(x-2)^2+1...
高等代数重因式,判断X^4+4X^2-4X-3有无重因式
求它的导数式，再求f(x)与f'(x)之间是否有公因式，即可判断出f(x)是否有重因式
高等代数理论基础6:因式分解定理
定理：数域P上每一个次数 的多项式f(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积,且分解式唯一 证明：根据标准分解式可直接写出最大公因式：多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)即同时在f(x)与g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带方幂的指数取它在f(x)与g(x)中较小...
大学高等代数a,b满足什么条件时有重因式f(x)=x^3+2ax+b,我算了导数但 ...
Assume a,b are real numbers.Compute the derivative f'=3x^2+2a. The existence of multi-factor is equivalent to the condition that there exists x0 such that f(x0)=f'(x0)=0, i.e.,3x0^2+2a=0 (1)and x0^3+2ax0+b=0. (2)Substituting (1) into (2) gives -b=x...
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x...
有x1这个跟就一定能分离出（x-x1）这个因式 这是大学高等代数中讨论的内容，详见 http:\/\/www.lyun.edu.cn\/shujixueyuan\/jpkc\/gdds\/dzja\/chap1\/d7j.htm
高等代数:求多项式f(x)=x^3+2x^2+2x+1与g(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1的公 ...
首先简单尝试发现f(x)有一个根为x=-1, f(x)分解为(x+1)*(x^2+x+1)通过多项式除法发现g(x)可以分解为(x^2+x+1)*(x^2+1)所以它们的公共根为2次方程x^2+x+1=0 的2个根。(2次方程求根公式不用我告诉你了吧。。)
宠版盐酸：[答案] §5 因式分解定理 一、不可约多项式 . 定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. 根据定义,一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约...
恒山区19442897435： 因式分解定理 - ？
宠版盐酸： §5 因式分解定理 一、不可约多项式 .定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积.根据定义,一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可...
恒山区19442897435： 解释因式分解定理!!! - ？
宠版盐酸： 1 因式定理告诉我们:分解一次因式等价于求多项式的根.下面证明:对于多项式f(x),做带余除法,被除式为(x-a),则f(x)=(x-a)*q(x)+r,其中r是常数,若x=a是多项式的根,即f(a)=0,则r=0,所以f(x)=(x-a)*q(x),所以x-a是该多项式的一个因式2 将x=q/p带入得 an(q/p)n+an-1(q/p)n-1+....+a1(q/p)+a0=0,等式两边乘以p的n-1次方得an*qn/p+整数=0,则p时an的约数,若将原式乘以q的n次方再除以p得a0*pn/q+整数=0,所以q时a0的约数3 特别地,对于an=1,如果x-q是它的因式,那么q一定是常数项的约数
恒山区19442897435： 运用唯一因式分解定理结论证明若g(x)∧m整除f(x)∧m,则g(x)整除f(x) - ？
宠版盐酸： 、s} 因而,r(x)≠0 那么f(x)^m按二项式定理展开可得 f(x)^m=Σ(i从0到m)C(m,i)(s(x)g(x))^i*r(x)^(m-i) 注意到,也可用反证法. 假设f(x)=s(x)g(x)+r(x),g(x)|f(x)另外.ps(x)^m 于是,因而r(x)≡0, 也就是,g(x)|f(x)【经济数学团队为你解答设f(x)=p1(x)p2(x)p3...
恒山区19442897435： n次多项式能因式分解的条件(n>=2) - ？
宠版盐酸： 代数基本定理:任何一个系数为复数的多项式在复数域中至少有一个复数根.由此可以推知,n次多项式正好有n个复数根(其中重根要重复计算).因此,理论上,n次多项式可以分解成n个一次项的乘积,但是实际上,这种分解做不到,原因...
恒山区19442897435： 分解因式方法 - ？
宠版盐酸： .因式分解 即和差化积,其最后结果要分解到不能再分为止.而且可以肯定一个多项式要能分解因式,则结果唯一,因为:数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异,那么f(x)可以唯一的分解为以下形式: f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)...
恒山区19442897435： 急求2010年哈理工,哈工大,哈工程的数学专业的数学分析与高等代数的考试大纲,有其一也可,O(∩ - ∩)O谢谢 - ？
宠版盐酸： 2011年哈工大 理学院,数学系的,可以吗?2011年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试 [612] 数学分析考试大纲 考试科目名称: 数学分析 考试科目代码:[612] 一、 考试要求:1)要求考生熟练撑握数学分析的基本概念、基本理论和基...
恒山区19442897435： 因式分解公式及概念 - ？
宠版盐酸： 因式分解公式 公式描述: 式一为平方差公式,式二为完全平方公式,式三为立方差公式,式四为立方和公式,式五为十字相乘法公式. 因式分解的概念: 把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解,即所有项均为有理数)化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,也叫作分解因式.
恒山区19442897435： 数学专业考研,考统计方向.高等代数的考试范围,侧重点. - ？
宠版盐酸： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量). 二、主要复习内容: 1. 行列式 行列式的定义、性质和常用计算方法(如:三角化法、加边...
恒山区19442897435： 判断多项式在有理数域上是否可约.以下两种方法都可以用是吧? - ？
宠版盐酸： 第一个不可以,像x^4-4,无有理根,但在有理数域上可约,不可用根的有无来判断
