扇形的面积公式是什么
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。显然, 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形:由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。
面积公式
S扇 = L R / 2 (L为扇形弧长,R为半径)或π(R^2)n/360(即扇形的度数)
扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、圆半径相关,圆心角为n°,半径为R的扇形面积为π(R^2)n/360。如果其顶角采用弧度单位,则可简化为1/2×弧长×(半径)
扇形还与三角形有相似之处,上述简化的面积公式亦可看成:1/2×弧长×(半径),与三角形面积:1/2×底×高相似。
弧长(L)=n/360·2πR=nπR/180,扇形的弧相似三角形的一条边。
9. (江苏省常州市2006年2分)已知扇形的圆心角为120°,半径为2 ,则扇形的弧长是 ▲ ,
扇形的面积是 ▲ 。
【答案】 ; 。
【考点】扇形面积的计算,弧长的计算。
【分析】利用弧长公式和扇形的面积公式即可计算:
扇形的弧长= ( )。扇形的面积 ( )。
10. (江苏省常州市2007年2分)已知扇形的半径为2cm,面积是 ,则扇形的弧长是 ▲ cm,扇形的圆心角为 ▲ ° .
【答案】 ;120。
【考点】扇形的计算。
【分析】由扇形的半径为2cm,面积是 可求得扇形的圆心角: ;从而求出扇形的弧长= (或用扇形面积= ×弧长×半径求得)。
11. (江苏省常州市2008年2分)已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是
▲ cm2,扇形的圆心角为 ▲ °.
【答案】 ;60。
【考点】扇形的计算。
【分析】直接用扇形的面积=弧长×半径÷2求得面积;代入用圆心角和半径表示的面积公式面积= 即可求得圆心角:
(cm2);
由 ,得扇形的圆心角为 。
12. (江苏省2009年3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD∥AB.若∠ABD=65°,则∠ADC= ▲ .
【答案】25°。
【考点】圆周角定理,平行线的性质,直角三角形两锐角的关系。
【分析】∵CD∥AB,∴∠ADC=∠BAD。
又∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。
又∵∠ABD=65°,∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°。
13. (江苏省2009年3分)已知正六边形的边长为1cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,1cm长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为 ▲ cm(结果保留 ).
【答案】 。
【考点】正六边形的性质,扇形弧长公式。
【分析】如图,连接AC,则由正六边形的性质知,扇形ABmC中,半径AB=1,圆心角∠BAC=600,∴弧长 。
由正六边形的对称性,知,所得到的三条弧的长度之和为弧长 的6倍,即 。
14. (江苏省常州市2010年2分)已知扇形的半径为3㎝,面积为3 ㎝2,则扇形的圆心角是 ▲ ,
扇形的弧长是 ▲ ㎝(结果保留 )。
【答案】120°; 。
【考点】扇形的计算。
【分析】由扇形的半径为3cm,面积是 可求得扇形的圆心角: ;从而求出扇形的弧长= (或用扇形面积= ×弧长×半径求得)。
16. (2011江苏常州2分)已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长 ,则此扇形的半径是 ▲ cm,面积是 ▲ cm2。
【答案】24, .
【考点】扇形弧长,扇形面积公式。
【分析】用扇形弧长和扇形面积公式直接求出:设扇形的半径是r,则由扇形弧长公式有, 。由扇形面积公式有,扇形面积为 。
17. (2011江苏常州2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=
▲ CD= ▲ 。
【答案】4,9。
【考点】直径垂直平分弦,勾股定理。
【分析】 。
18. (2012江苏常州2分)已知扇形的半径为3 cm,圆心角为1200,则此扇形的的弧长是 ▲ cm,扇形的面积是 ▲ cm2(结果保留π)。
【答案】 , 。
【考点】扇形的的弧长和面积。
【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可:
扇形的的弧长= (cm),扇形的面积= (cm2)。
三、解答题
1. (2001江苏常州6分)已知:如图,△ABC内接于⊙O,AE切⊙O于点A,BD∥AE交AC的延长线于点D,求证:AB2=AC•AD
【答案】证明:∵BD∥AE,∴∠EAD=∠D。
∵AE切⊙O于点A,∴∠EAD=∠ABC。∴∠ABC=∠D。
∵∠BAC=∠DAB,∴△ACB∽△ABD。∴AB:AD=AC:AB。∴AB2=AC•AD。
【考点】弦切角定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】欲证AB2=AC•AD,即证AB:AD=AC:AB,可以通过证明△ABC∽△ABD得出.而已知∠BAD公共,又可以根据已知条件推出∠ABC=∠D,由两角对应相等的两个三角形相似,得出△ACB∽△ABD,从而得到结论。
2. (2001江苏常州6分)已知:如图,⊙O的弦AD、BC互相垂直,垂足为E,∠BAD=∠α,∠CAD=∠β,且siaα= , cosβ= ,AC=2,求(1)EC的.长;(2)AD的长。
3. (江苏省常州市2002年6分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,边AD,BC的延长线相交于点P,直线AE切⊙O于点A,且AB×CD=AD×PC,求证:(1)△ABD∽△CPD; (2)AE∥BP。
【答案】证明:(1)∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAD=∠DCP。
又∵AB•CD=AD•PC,∴ 。∴△ABD∽△CPD。
(2)由(1)得∠ABD=∠P。
又∵AE为切线,AD为弦,∴∠EAD=∠ABP,即∠P=∠EAD。
∴AE∥BP。
【考点】圆内接四边形的性质,切线的性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定。
【分析】(1)已知AB•CD=AD•PC,即 ,所以要证△ABD∽△CPD,只需证得两组对应边的夹角相等即可,而这组角可通过圆内接四边形的性质求得。
(2)在(1)的基础上,可求得∠ABD=∠P;根据弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD,即∠EAD=∠P;内错角相等,可证得两直线平行。
4. (江苏省常州市2003年6分)如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,E是AB上一点,直线CE与⊙O交于点F,连结AF,与直线CD交于点G。
求证:(1)∠ACD=∠F; (2)AC2=AG•AF。
【答案】证明:(1)连接BC,则∠ACB=90°,∠ABC=∠F。
∵∠ACD+∠CAD=90°,∠CAD+∠ABC=90°,
∴∠ACD=∠ABC。∴∠ACD=∠F。 (2)由(1)得出的∠ACD=∠F,
又∵∠CAG=∠FAC,∴△ACG∽△AFC。
∴ 。∴AC2=AG•AF。
【考点】圆周角定理,相似三角形的判定和性质
【分析】(1)本构建相等的中间角通过转换来求解,连接BC,根据圆周角定理得∠ABC=∠F,根据同角的余角相等得∠ACD=∠ABC,由此可得证。
(2)要证AC2=AG•AF,即要AC:AG=AF:AC即可,只要△ACG∽△AFC。已知了一个公共角,而(1)中又证得了∠ACD=∠F,由此可得出两三角形相似,根据相似三角形即可得出所求的比例关系。
5. (江苏省常州市2003年8分)如图,正三角形ABC的边长为1cm,将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1,形成扇形D1;将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2,形成扇形D2;将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3,形成扇形D3;将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4,形成扇形D4……。设 为扇形Dn的弧长(n=1,2,3……),
回答下列问题:
(1) 按照要求填表:
n 1 2 3 4
(2) 根据上表所反映的规律,试估计n至少为何值时,扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周?(设地球赤道
半径为6400km)。
【答案】解:(1)填表如下:
n 1 2 3 4
(2)根据上述规律可得: ,解得n=2.98×108。
∴估计n=2.98×108时,扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周。
【考点】分类归纳(图形的变化类),弧长的计算,等边三角形的性质。
【分析】(1)从图中可以找出规律,弧长的圆心角不变都是120度,变化的是半径,而且第一次是1,第二次是2,第三次是3,依此下去,然后按照弧长公式计算:
; 。
(2)由 和地球赤道半径为6400km列方程求解,注意单位一致。
6. (江苏省常州市2004年7分)如图,点A、B、C、D在⊙O上,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长。
【答案】解:∵AB=AC,∴ 。∴∠ABC=∠D。
又∵∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB。
∴ ,即AB2=AE•AD=2×6=12。
∴AB= 。
【考点】圆周角定理,相似三角形的判定和性质
【分析】观察发现所求的线段和已知的线段能够放到两个三角形中,即△ABE和△ADB。根据等弧所对的圆周角相等和公共角即可证明两个三角形相似,再根据相似三角形的对应边的比相等得到要求的线段的长。
7. (江苏省常州市2005年6分)如图,有一木制圆形脸谱工艺品,H、T两点为脸谱的耳朵,打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板(斜边大于工艺品的直径),请你用两种不同的方法确定点D的位置(画出图形表示),并且分别说明理由.
理由是:
【答案】解:画图如下
方法一:如图①,过点O作TH的垂线L交TH于D,则点D就是TH的中点。
依据是垂径定理。
方法二:如图②,分别过点T、H画HC⊥TO,TE⊥HO,HC与TE相交于点F,过点O、F作直线L交HT于点D,则点D就是HT的中点。
由画图知,Rt△HOC≌Rt△TOE(AAS),易得HF=TF。
又∵OH=OT,
∴点O、F在HT的中垂线上,所以HD=TD 。
【考点】垂径定理,全等三角形的判定和性质,线段中垂线的判定和性质。
【分析】可以根据垂径定理:垂直于弦的直径平分弦;也可以根据和线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。还可过点T,H作圆O的切线,两切线的交点G,连接OG的直线L与HT的交点D,也是HT的中点(如图3)。
8. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心, 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。
(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);
(2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?
(3)连接BC,求∠DBC-∠DBE的度数。
【答案】解:(1)B(3m,0),E(m,4m)。
(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下:
由(1)知B(3m,0),E(m,4m),
∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,
∴D(0,3m)。
∴ , ,
。
∴ 。∴△BDE是直角三角形。
∴BE是△BDE的外接圆的直径。
设△BDE的外接圆的圆心为点G,则由B(3m,0),E(m,4m)得G(2m,2m)。
过点G作GI⊥DG于点I,则I(0,2m)。
根据垂径定理,得DI=IQ ,∴Q(0,m)。
∴ 。
∴BQ=EQ。
(3)延长EP交x轴于点H,则EP⊥AB,BH=2m。
根据垂径定理,得AH=BH=2m,AO= m。
根据圆的对称性,OC=OA= m。
又∵OB=3m, , ,
∴ 。 。
又∵∠COB=∠EDB=900,∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。
∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。
又∵OB=OC,∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。
扇形的面积公式有三个:
1、S=圆心角的角度(角度制) × π × r² / 360°
2、S=L×r/ 2
(L为弧长,r为扇形半径)
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长方形或正方形的面积公式是什么?
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广安区13020255875: 扇形周长和面积公式是什么? - ?
文全依琼:[答案] 扇形:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 若设圆的半径为R,圆心角为n°的扇形的面积为S扇形,则 S扇形=nπR2/360 (扇形面积公式) 若设圆的半径为R,n°圆心角所对弧长为l,则l=nπR/180 (弧长公式) 则,扇形的周...
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文全依琼: 扇形周长公式为:扇形周长=扇形半径*2+弧长,即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180)πr.扇形面积公式是S=(lR)/2 或S=(1/2)θR²,R是底圆的半径,l为扇形弧长,θ为圆心角.一...
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文全依琼: :圆面积=半径*半径*圆周率 公式是:S=πR2 (π是圆周率约等于3.14、R2是半径的平方) 扇形是圆的一部分,所以扇形面积=半径*半径*圆周率*圆心角度数÷360 公式是:S=n/360πR2
广安区13020255875: 扇形面积有两个公式 - ?
文全依琼:[答案] 是的. 第一个计算公式:S扇形=(nπr²)/360,其中的n是扇形的圆心角,r是扇形的半径. 第二个计算公式:S扇形=(lr)/2,其中的 l 是扇形的弧长,r 是扇形的半径.
广安区13020255875: 扇形的面积公式是什么? - ?
文全依琼: 扇形的面积公式 : S扇=(lR)/2 (l为扇形弧长) 即 弧长*半径/2 或者为 S扇=(n/360)πR^2 (n为圆心角的度数) 即 扇形的面积=圆的面积*圆心角的度数/360
广安区13020255875: 扇形的面积公式是多少?最简单的扇形面积公式(除了扇形的角度) - ?
文全依琼:[答案] 扇形面积公式 =π*r^2*角度/360 ,角度如30度 如果已知弧度θ,则 =θ*r^2/2
广安区13020255875: 扇形的面积公式有3个吗? - ?
文全依琼: 一个,S=LR/2. 公式描述:公式中L为扇形的弧长,R为扇形的半径,S为扇形的面积.一条弧和经过这隐察亏条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形).显然, 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成.扇形面积计算公式:可以扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n,如下:S=nπr/360.扇形面积S=圆心角的角度(角度制)*圆周率π3.14*半没老径r/360°.灶神
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