扇形的面积公式是什么

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一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然， 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。

面积公式

S扇 = L R / 2 （L为扇形弧长，R为半径）或π(R^2)n/360(即扇形的度数）

扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为n°，半径为R的扇形面积为π(R^2)n/360。如果其顶角采用弧度单位，则可简化为1/2×弧长×(半径)

扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成：1/2×弧长×(半径)，与三角形面积：1/2×底×高相似。

弧长（L)=n/360·2πR=nπR/180，扇形的弧相似三角形的一条边。

　　9. (江苏省常州市2006年2分)已知扇形的圆心角为120°，半径为2 ，则扇形的弧长是 ▲ ，

　　扇形的面积是 ▲ 。

　　【答案】 ; 。

　　【考点】扇形面积的计算，弧长的计算。

　　【分析】利用弧长公式和扇形的面积公式即可计算：

　　扇形的弧长= ( )。扇形的面积 ( )。

　　10. (江苏省常州市2007年2分)已知扇形的半径为2cm，面积是 ，则扇形的弧长是 ▲ cm，扇形的圆心角为 ▲ ° .

　　【答案】 ;120。

　　【考点】扇形的计算。

　　【分析】由扇形的半径为2cm，面积是 可求得扇形的圆心角： ;从而求出扇形的弧长= (或用扇形面积= ×弧长×半径求得)。

　　11. (江苏省常州市2008年2分)已知扇形的半径为3cm，扇形的弧长为πcm，则该扇形的面积是

　　▲ cm2，扇形的圆心角为 ▲ °.

　　【答案】 ;60。

　　【考点】扇形的计算。

　　【分析】直接用扇形的面积=弧长×半径÷2求得面积;代入用圆心角和半径表示的面积公式面积= 即可求得圆心角：

　　(cm2);

　　由 ，得扇形的圆心角为 。

　　12. (江苏省2009年3分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB.若∠ABD=65°，则∠ADC= ▲ .

　　【答案】25°。

　　【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。

　　【分析】∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD。

　　又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。

　　又∵∠ABD=65°，∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°。

　　13. (江苏省2009年3分)已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 ▲ cm(结果保留 ).

　　【答案】 。

　　【考点】正六边形的性质，扇形弧长公式。

　　【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角∠BAC=600，∴弧长 。

　　由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长 的6倍，即 。

　　14. (江苏省常州市2010年2分)已知扇形的半径为3㎝，面积为3 ㎝2，则扇形的圆心角是 ▲ ，

　　扇形的弧长是 ▲ ㎝(结果保留 )。

　　【答案】120°; 。

　　【考点】扇形的计算。

　　【分析】由扇形的半径为3cm，面积是 可求得扇形的圆心角： ;从而求出扇形的弧长= (或用扇形面积= ×弧长×半径求得)。

　　16. (2011江苏常州2分)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长 ，则此扇形的半径是 ▲ cm，面积是 ▲ cm2。

　　【答案】24， .

　　【考点】扇形弧长，扇形面积公式。

　　【分析】用扇形弧长和扇形面积公式直接求出：设扇形的半径是r，则由扇形弧长公式有， 。由扇形面积公式有，扇形面积为 。

　　17. (2011江苏常州2分)如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=

　　▲ CD= ▲ 。

　　【答案】4，9。

　　【考点】直径垂直平分弦，勾股定理。

　　【分析】 。

　　18. (2012江苏常州2分)已知扇形的半径为3 cm，圆心角为1200，则此扇形的的弧长是 ▲ cm，扇形的面积是 ▲ cm2(结果保留π)。

　　【答案】 ， 。

　　【考点】扇形的的弧长和面积。

　　【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可：

　　扇形的的弧长= (cm)，扇形的面积= (cm2)。

　 　三、解答题

　　1. (2001江苏常州6分)已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB2=AC•AD

　　【答案】证明：∵BD∥AE，∴∠EAD=∠D。

　　∵AE切⊙O于点A，∴∠EAD=∠ABC。∴∠ABC=∠D。

　　∵∠BAC=∠DAB，∴△ACB∽△ABD。∴AB：AD=AC：AB。∴AB2=AC•AD。

　　【考点】弦切角定理，相似三角形的判定和性质。

　　【分析】欲证AB2=AC•AD，即证AB：AD=AC：AB，可以通过证明△ABC∽△ABD得出.而已知∠BAD公共，又可以根据已知条件推出∠ABC=∠D，由两角对应相等的两个三角形相似，得出△ACB∽△ABD，从而得到结论。

　　2. (2001江苏常州6分)已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且siaα= ， cosβ= ，AC=2，求(1)EC的.长;(2)AD的长。

　　3. (江苏省常州市2002年6分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD，BC的延长线相交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB×CD=AD×PC，求证：(1)△ABD∽△CPD; (2)AE∥BP。

　　【答案】证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD=∠DCP。

　　又∵AB•CD=AD•PC，∴ 。∴△ABD∽△CPD。

　　(2)由(1)得∠ABD=∠P。

　　又∵AE为切线，AD为弦，∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD。

　　∴AE∥BP。

　　【考点】圆内接四边形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定。

　　【分析】(1)已知AB•CD=AD•PC，即 ，所以要证△ABD∽△CPD，只需证得两组对应边的夹角相等即可，而这组角可通过圆内接四边形的性质求得。

　　(2)在(1)的基础上，可求得∠ABD=∠P;根据弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P;内错角相等，可证得两直线平行。

　　4. (江苏省常州市2003年6分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G。

　　求证：(1)∠ACD=∠F; (2)AC2=AG•AF。

　　【答案】证明：(1)连接BC，则∠ACB=90°，∠ABC=∠F。

　　∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，

　　∴∠ACD=∠ABC。∴∠ACD=∠F。 (2)由(1)得出的∠ACD=∠F，

　　又∵∠CAG=∠FAC，∴△ACG∽△AFC。

　　∴ 。∴AC2=AG•AF。

　　【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质

　　【分析】(1)本构建相等的中间角通过转换来求解，连接BC，根据圆周角定理得∠ABC=∠F，根据同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得证。

　　(2)要证AC2=AG•AF，即要AC：AG=AF：AC即可，只要△ACG∽△AFC。已知了一个公共角，而(1)中又证得了∠ACD=∠F，由此可得出两三角形相似，根据相似三角形即可得出所求的比例关系。

　　5. (江苏省常州市2003年8分)如图，正三角形ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1;将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2;将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3;将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4……。设 为扇形Dn的弧长(n=1，2，3……),

　　回答下列问题：

　　(1) 按照要求填表：

　　n 1 2 3 4

　　(2) 根据上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周?(设地球赤道

　　半径为6400km)。

　　【答案】解：(1)填表如下：

　　n 1 2 3 4

　　(2)根据上述规律可得： ，解得n=2.98×108。

　　∴估计n=2.98×108时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周。

　　【考点】分类归纳(图形的变化类)，弧长的计算，等边三角形的性质。

　　【分析】(1)从图中可以找出规律，弧长的圆心角不变都是120度，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然后按照弧长公式计算：

　　; 。

　　(2)由 和地球赤道半径为6400km列方程求解，注意单位一致。

　　6. (江苏省常州市2004年7分)如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长。

　　【答案】解：∵AB=AC，∴ 。∴∠ABC=∠D。

　　又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB。

　　∴ ，即AB2=AE•AD=2×6=12。

　　∴AB= 。

　　【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质

　　【分析】观察发现所求的线段和已知的线段能够放到两个三角形中，即△ABE和△ADB。根据等弧所对的圆周角相等和公共角即可证明两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边的比相等得到要求的线段的长。

　　7. (江苏省常州市2005年6分)如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板(斜边大于工艺品的直径)，请你用两种不同的方法确定点D的位置(画出图形表示)，并且分别说明理由.

　　理由是：

　　【答案】解：画图如下

　　方法一：如图①，过点O作TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点。

　　依据是垂径定理。

　　方法二：如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F作直线L交HT于点D，则点D就是HT的中点。

　　由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE(AAS)，易得HF=TF。

　　又∵OH=OT，

　　∴点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD 。

　　【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，线段中垂线的判定和性质。

　　【分析】可以根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦;也可以根据和线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。还可过点T，H作圆O的切线，两切线的交点G，连接OG的直线L与HT的交点D，也是HT的中点(如图3)。

　　8. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心， 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。

　　(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);

　　(2)连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D)，连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?

　　(3)连接BC，求∠DBC-∠DBE的度数。

　　【答案】解：(1)B(3m，0)，E(m，4m)。

　　(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：

　　由(1)知B(3m，0)，E(m，4m)，

　　∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，

　　∴D(0，3m)。

　　∴ ， ，

　　。

　　∴ 。∴△BDE是直角三角形。

　　∴BE是△BDE的外接圆的直径。

　　设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B(3m，0)，E(m，4m)得G(2m，2m)。

　　过点G作GI⊥DG于点I，则I(0，2m)。

　　根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q(0，m)。

　　∴ 。

　　∴BQ=EQ。

　　(3)延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。

　　根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。

　　根据圆的对称性，OC=OA= m。

　　又∵OB=3m， ， ，

　　∴ 。 。

　　又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。

　　∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。

　　又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。

扇形的面积公式有三个：
1、S=圆心角的角度(角度制) × π × r² / 360°
2、S=L×r/ 2
（L为弧长，r为扇形半径）

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文全依琼： 1、扇形面积S=圆心角(角度系统)的角度3.14半径r2/360.2、扇形面积S=弧长L半径/2.3、扇形面积S=pi 3.14半径r2弧长L/2 pi 3.14半径=弧长L半径/2.4、r是扇形的半径,n是弧对着的圆心角的度数,是圆周率,l是对应于扇形的弧长.5、也可以将扇形所在圆的面积除以360,再乘以扇形圆心角的角度n.

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文全依琼： :圆面积=半径*半径*圆周率 公式是:S=πR2 (π是圆周率约等于3.14、R2是半径的平方) 扇形是圆的一部分,所以扇形面积=半径*半径*圆周率*圆心角度数÷360 公式是:S=n/360πR2

广安区13020255875： 扇形面积有两个公式 - ？
文全依琼：[答案] 是的. 第一个计算公式:S扇形=(nπr²)/360,其中的n是扇形的圆心角,r是扇形的半径. 第二个计算公式:S扇形=(lr)/2,其中的 l 是扇形的弧长,r 是扇形的半径.

广安区13020255875： 扇形的面积公式是什么? - ？
文全依琼： 扇形的面积公式 : S扇=(lR)/2 (l为扇形弧长) 即 弧长*半径/2 或者为 S扇=(n/360)πR^2 (n为圆心角的度数) 即 扇形的面积=圆的面积*圆心角的度数/360

广安区13020255875： 扇形的面积公式是多少?最简单的扇形面积公式(除了扇形的角度) - ？
文全依琼：[答案] 扇形面积公式 =π*r^2*角度/360 ,角度如30度 如果已知弧度θ,则 =θ*r^2/2

广安区13020255875： 扇形的面积公式有3个吗? - ？
文全依琼： 一个,S=LR/2. 公式描述:公式中L为扇形的弧长,R为扇形的半径,S为扇形的面积.一条弧和经过这隐察亏条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形).显然, 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成.扇形面积计算公式:可以扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n,如下:S=nπr/360.扇形面积S=圆心角的角度(角度制)*圆周率π3.14*半没老径r/360°.灶神

广安区13020255875： 扇形的面积公式? - ？
文全依琼： 因为扇形=两条半径+弧长 若半径为R,扇形所对的圆心角为n°,那么扇形周长: C=2R+nπR÷180扇形面积公式 在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2,所以圆心角为n°的扇形面积: S=nπR^2÷360 比如:...