立体几何证明定理
有六种：
1.定义法。
2.垂面法。
3.射影定理。
4.三垂线定理。
5.向量法。
6.转化法。
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扩展资料：
三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)，AO(射影)，a(直线)之间的垂直关系。
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，二射，三证。即几何模型
第一，找平面(基准面)及平面垂线；
第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线；
第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
1.定理中四条线均针对同一平面而言；
2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系。
用向量证明三垂线定理。
1.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直OA，求证：b垂直PA
证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b向量PA=（向量PO+向量OA）
所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO乘以b）加（向量OA乘以b）=O，
所以PA垂直b。
2.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直PA，求证：b垂直OA
证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为PA垂直b，向量OA=（向量PA-向量PO）
所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA乘以b）减（向量PO乘以b）=0，
所以OA垂直b。
3.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。
向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。
一.直线与平面平行的（判定）
1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.
2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)
二.平面与平面平行的(判定)
1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
2.关键：判定两个平面是否有公共点
三．直线与平面平行的（性质）
1.性质：一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交,那么交线平行于这条直线
四．平面与平面平行的（性质）
1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么他们的交线平行
2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线,实现线线平行
五：直线与平面垂直的（定理）
1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
2.应用：如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线（线面垂直→线线垂直）
六.平面与平面的垂直(定理)
1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
(或者做二面角判定)
2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换
七.平面与平面垂直的(性质)
1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行
2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)
以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!
1.线面平行的判定定理和性质定理；
2.面面平行的判定定理和性质定理；
3.线面垂直的判定定理和性质定理（或定义）；
4.面面垂直的判定定理和性质定理。
立体几何证明主要考察空间中线与线、线与面、面与面的平行和垂直问题。随机组合之后，就产生了6种问题形式：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行和面面垂直。
平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例（三角形相似）、平行四边形等。
垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用办法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等。
向量法证明立体几何中的八大定理
面面垂直 说明：b⊥L不一定成立。如图，设直线a对应AB，则直线b对应BF或者BE都可以满足条件。而直线L则是对应CD。由此可知b⊥L不一定成立。证明α垂直于β实际上就是定理“如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”的证明。证明：（法向量证明）∵AB⊥β ∴向量AB即可作为...
高中数学 立体几何证明,如何用三垂线定理证这道题?
第一个垂直 连接MC，A1M，很容易得到MC=MA1,MN垂直CA1，一个垂线出来了，第二个垂直 取CB1的中点N1，连接BN1，NN1，可得到NMBN1是平行四边形（NN1与BM平行且相等），MN平行BN1，由题意可以很容易证明BB1C1C是正方形，对角线垂直，等到BN1垂直CB1，即MN1垂直CB1 到此你需要的三垂线定理条件够了...
在立体几何中,证明平行四边形有哪些定理?
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（6）一组对边平行一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边...
立体几何证明题 要详细过程 三垂线定理不能直接使用
因为是三棱柱，故 各棱平行且相等 即 A1A=B1B=C1C, A1A\/\/B1B\/\/C1C 又 ABC为等边三角形，且 A1A=AB=2√6 所以 三棱柱的3个侧面是边长为2√6的菱形 （1）设D是A1A的中点 连接A1B，A1C，DB，DC 因为 ∠A1AC=∠A1AB=60 所以 三角形A1AB, 和三角形A1AC 都是等边三角形 所以 ...
立体几何性质定理证明!!!
第一题。用反证法 设已知直线为L1，交线L2，已知直线所经过的平面为M ，它所平行的为N ，假设L1与L2不平行。则其相交B，又因为L2在N上。所以在N上，则推导出，L1与N交于B， 与题设中L1\/\/N矛盾 第二题，用同样的反证法 第三题。用过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ...
求初中所有几何证明的条件,定理
数学定理 同角（或等角）的余角相等。对顶角相等。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。同位角相等，两直线平行。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。在角平分线上的点...
适合小学生证明的几何定理
三角形的面积＝底×高÷2。公式S=a×h÷2 三角形具有稳定性 正方形的面积＝边长×边长公式S=a×a 长方形的面积＝长×宽公式S=a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S=a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。长方体的体积＝长×宽×...
高中数学的立体几何证明,学霸们是怎样分析、推理、如何写,怎样熟记那 ...
我是理解记忆，觉得蛮好记的，我也很喜欢这种几何证明题。一般在证明某个结论时，我会在旁边写下所有需要的条件，然后再去证明这些条件的存在。举个简单的例子，证明l垂直面ABCD,就在草稿纸上考虑它的条件：既然l垂直面ABCD，那肯定l也垂直其中的直线（假定a）就算垂直其中的一条直线，也不能完全满足...
高中几何证明选讲的定理及其证明方法
平行线平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线 上截得的线段也相等。 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成...
用梅涅劳斯定理证明立体几何
同理, 在平面ADC内考虑GH与AC的交点N, 由梅氏定理得AN\/NC = -a\/c.M, N分AC的比相等, 于是M, N重合, 即为EF与GH的交点P.而M = N = P在直线AC上, 即得A, C, P共线.实际上, 在立体几何中, EF与GH的交点P是平面ABC与ADC的公共点.因此P落在二者的交线AC上, 直接得到结论.实在...
穆岭阿司：[答案] 面面垂直说明:b⊥L不一定成立.如图,设直线a对应AB,则直线b对应BF或者BE都可以满足条件.而直线L则是对应CD.由此可知b⊥L不一定成立.证明α垂直于β实际上就是定理“如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,那么这两...
上蔡县17510154481： 向量法证明立体几何四个判定定理四个性质定理(共八个)答出来后加100分··· - ？
穆岭阿司：[答案] 四个判定定理: ① 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. ② 如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行. ③ 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直....
上蔡县17510154481： 立体几何的四个性质定理的证明 - ？
穆岭阿司： 1、反证法:假设存在一个过直线l1的平面B,使得平面B和平面A的交线l2与直线l1相交,设其交点为P,则 点P在平面B和平面A的交线上=>点P在平面A内 点P是直线l1和l2的交点=>点P在直线l1上 这说明平面A和直线l1有公共点P,这和直线l1和...
上蔡县17510154481： 立体几何中的定理? - ？
穆岭阿司： 基本概念 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个...
上蔡县17510154481： 高一数学立体几何的一道证明题平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该线与此平面平行.这个定理是怎么证明的? - ？
穆岭阿司：[答案] 反证法 设该直线与平面平行则 (1)直线在平面内(与已知平面外一条直线矛盾) (2)直线与平面相交 则设相交于点A,过直线外一点可做一条与平面内直线平行的直线. (过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)与已知矛盾 所以得证
上蔡县17510154481： 数学立体几何 线面垂直判定定理的证明 - ？
穆岭阿司：[答案] 证明:已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直,L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF, 分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB ...
上蔡县17510154481： 立体几何中的三余弦定理的证明? - ？
穆岭阿司：[答案] 如上图,自点O作OB⊥AB于点B,过B作BC⊥AC于C,连OC,则易知△ABC、△AOC、△ABO均为直角三角形.cosθ1=AB∶OA,cosθ2=AC∶AB,cosθ=AC∶OA,不难验证:cosθ=cosθ1*cosθ2.
上蔡县17510154481： 问一个常见的立体几何定理的证明 - ？
穆岭阿司： 反证法 L1属于平面a、b L2属于平面b、c L3属于平面c、a 如果L1不平行于L2,则L1与L2因为同属于平面b 则L1与L2必相交,设交点为O L2又属于a,c,则平面a、c与b都交于过O的直线 平面a、b、c将共交于一条直线L 这与“同过一条直线的两个半平面的截面”相矛盾 所以,L1//L2 同理,L1//L3 L2//L3
上蔡县17510154481： 老师,立体几何证明只能用判定定理么?那性质定理怎么办? - ？
穆岭阿司：[答案] 比如全等三角形的判定定理和性质定理. 判定定理是通过边角关系用来证明三角形全等的 性质定理是通过三角形全等来证明边角关系. 本身判定和性质定理就是两个方向.
上蔡县17510154481： 一个立体几何的公理推论证明？
穆岭阿司： ＂不在一条直线上的三点,可以确定一个平面＂这是公理,而＂经过两条相交直线,有且只有一个平面 ＂是上述公理的推论,是可以证明的,在立体几何伊始,也是必须证...
