等比数列所有性质

等比数列的性质是什么？~

等比数列的性质是什么

等比数列的性质是什么

等比数列性质：在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N_)m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N_），则am_an=ap_aq=a2kam_an=ap_aq=ak2。
《等比数列的性质》是连南瑶族自治县民族高级中学提供的微课课程，主讲老师是潘卫萍。
这个微课的内容首先是给出具体的等比数列来复习等比数列的定义、通项公式、等比中项的公式，然后让学生通过简单的运算。
由运算的结果得出等比数列的性质，小结时还把等差数列与等比数列从定义、通项公式、中项、重要性质这四个方面以表格的形式给出

一、 等差数列有关概念　　 等差数列
　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
　　 通项公式
　　等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)
　　 前n项和公式
　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
　　以上n均属于正整数。
　　 推论
　　
　　1.从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
　　2. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　3.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
　　若m+n=2p,则am+an=2ap
　　4.其他推论
　　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　末项=首项+（项数-1）×公差
　　推论3证明
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq
　　如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
　　=2a1+(m+n-2)d
　　同理得，
　　ap+aq=2a1+(p+q-2)d
　　又因为
　　m+n=p+q ;
　　a1,d均为常数
　　所以
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq
　　注：1.常数列不一定成立
　　2.m,p,q,n大于等于自然数
　　 等差中项
　　
　　在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。
　　且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式。 [编辑本段]二、等差数列的应用：　　日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
　　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
　　其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：
　　今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？
　　书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了Sn=（a1+an）/2×n的求和公式 [编辑本段]三、等差数列的基本性质　　⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
　　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
　　⑶若、为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
　　⑷对任何m、n ，在等差数列中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
　　⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
　　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．
　　⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
　　⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
　　⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
　　⑽设a 1，a 2，a 3为等差数列中的三项，且a1 与a2 ，a 2与a 3的项距差之比 = d（ d≠－1），则2a2 = a1+a3． [编辑本段]四、等差数列前n项和公式S 的基本性质　　⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
　　⑵在等差数列中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd， = ；当项数为(2n－1) (n )时，S －S = a ， = ．
　　⑶若数列为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为 ．
　　⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ．
　　⑸在等差数列中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．
　　⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．
　　⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小． [编辑本段]五、等差数列小故事　　高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。
　　高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。
　　高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。 [编辑本段]六、等差数列的特殊性质　　在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,
　　即，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=···=2a中
　　例：
　　数列：1，3，5，7，9，11中
　　a1+a6=12 ; a2+a5=12 ; a3+a4=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。
　　数列：1，3，5，7，9中
　　a1+a5=10 ; a2+a4=10 ; a3=5=a1+a5=a2+a4=10 ; 即，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,
　　另见，等差中项

等比数列 [编辑本段]简介与公式　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
　　（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　=(a1-a1q^n)/(1-q)
　　=(a1-an*q)/(1-q)
　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
　　(前提：q≠ 1)
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　（5）无穷递缩等比数列各项和公式：
　　无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列 的前n 项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。 [编辑本段]性质　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则
　　（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
　　（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
　　(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。 [编辑本段]等比数列的应用　　等比数列在生活中也是常常运用的。
　　如：银行有一种支付利息的方式——复利。
　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
　　在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

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等比数列的性质是什么

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阎良区15386449888： 等比数列(数学概念) - 搜狗百科？
承谦搏沃：[答案] 性质 ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq; ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”. ③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则 (a2n),(a3n)…是...

阎良区15386449888： 等比数列的具体性质有哪些? - ？
承谦搏沃：[答案] 等比数列的性质(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq; (2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(4)若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公...

阎良区15386449888： 等比数列的性质与公差 - ？
承谦搏沃：[答案] 等比数列性质: 1.对称积相等 2.序号等差项等比 3.相邻两项的和与积也组成等比数列; 4.前n项,中n项,后n项也组成等比数列 没有公差;

阎良区15386449888： 等比数列有哪些性质,具体点RT - ？
承谦搏沃：[答案] 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时...

阎良区15386449888： 等差数列和等比数列的性质 - ？
承谦搏沃： 等差数列的性质: 1)在有限等差数列中,与首末两项等距离的两项的和都等于首末两项的和: 2)各项同加一数所得数列仍是等差数列,并且公差不变; 3) 各项同乘以一不为零的数K,所得的数列仍是等差数列,并且公差是原公差的K倍; ...

阎良区15386449888： 等比数列的性质?？
承谦搏沃： (1) 等比数列:a (n+1)/an=q (n∈N). (2) 通项公式:an=a1*q^(n-1); 推广式: an=am*q^(n-m); (3) 求和公式:Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (n为比值,a为项数) (4)性质: ①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则...

阎良区15386449888： 等比数列的性质是什么高中的 - ？
承谦搏沃：[答案] 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列(geometric progression).这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示(q≠0).注:q=1时,an为常数列. ...

阎良区15386449888： 等比数列前n项和奇数项、偶数项的性质有些什么啊我想知道 当等比数列的项数是奇数或偶数时,奇数项和偶数项的前n项和分别有什么性质?注意:是等比... - ？
承谦搏沃：[答案] (1)项数为偶数2n时 S偶=a2+a4+a6+……+a2n S奇=a1+a3+a5+……+a(2n-1) S奇-S偶=nd= S奇+S偶=S(2n) S偶/S奇=a(n+1)/an (2)项数为奇数2n+1时 S偶=a2+a4+a6+……+a2n S奇=a1+a3+a5+……+a(2n+1) S奇-S偶=a1+nd=a(n+1) S奇+S偶=S(2n+...

阎良区15386449888： 等比数列有什么性质?？
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