小学奥数关于行程问题的专项解析

~ 　　这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)，三个关系：

　　1.简单行程：路程=速度×时间

　　2.相遇问题：路程和=速度和×时间

　　3.追击问题：路程差=速度差×时间

　　牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

　　如“多人行程问题”，实际最常见的是“三人行程”

　　有这样一道应用题：“一辆汽车从A地开往B地，每小时行48千米，行了5小时到达B地。A、B两地相距多少千米？”我相信，同学们都能很快地列式解答，即48×5＝24O（千米），从而求得A、B两地相距24O千米。但遇到较复杂的行程问题，往往会觉得无从下手。其实，只要是行程问题，不管怎么复杂，都可以根据“路程＝速度×时间”这一基本数量关系来解答。下面我们一起来解答几道题目。

　　例：两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇。求A、B两地间的距离。

　　分析：求两地间的路程，就是两车原来相隔路程，也就是求两车在5小时里所走路程的和。根据“路程＝速度×时间”，可以先算出每小时两车一共行多少千米，再与相遇时间相乘，就可求得两地相距多少千米。

　　（48＋5O）×5＝490（千米）

　　答：A、B两地间相距是490千米。

　　现在我们就以这道题为基础来进行改编练习。

　　1．把原题的“5小时相遇”这一条件改为“5小时后还相距15千米”，问题不变。

　　我们可以按原题进行分析，所不同的是：这里两车没有相遇，还相距15千米。这样，两地间的路程就不仅仅是两车5小时里所走的路程和了，还必须加上没有走的15千米。可这样列式解答。

　　（48＋5O）×5＋15

　　＝49O＋15

　　＝5O5（千米）

　　答：A、B两地间相距5O5千米。

　　2．把原题的“两辆汽车同时从A、B两地相向开出”改为“甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1小时”，其它条件和问题不变。

　　分析：这一题与原题的解题思路还是一样的，不同的是原题两车是同时从两地出发，而这题是不“同时”了。要求A、B两地间的路程，就是求甲、乙两车所行的路程和。这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来。等式是，

　　48×（1＋5）＝288（千米）

　　5O×5＝25O（千米）

　　288＋25O＝538（千米）

　　也可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程。算式是，

　　（48＋5O）×5＝49O（千米）

　　49O＋48＝538（千米）

　　答：A、B两地间相距538千米。

　　到这里，我们已经对原题作了两次改编，原题是同时从两地出发，最后相遇的。经过第一次改编使它成为一道同时从两地出发，最后不相遇的应用题，经过第二次改编它又成了一道不同时从两地出发，最后相遇的应用题。但不管怎样变，我们都没有离开最基本的数量关系“路程＝速度×时间”来思考和解答，真可谓“万变不离其宗”。

　　3．把原题进行第三次改编，使它成为一道既不“同时”又不相遇的相向运动应用题。

　　两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后动车从B地出发，5小时后两车还相距15千米。甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米。求A、B两地间相距多少千米？

　　根据前几题的分析，可列式解答如下：

　　（48＋5O）×5＝49O（千米）

　　49O＋48＋15＝553（千米）

　　答：A、B两地间相距553千米。

　　此题已经解答完毕，我相信聪明的你一定能把它的解题思路讲给同学听。

　　例1甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？

　　分析出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.

　　解：30÷（6＋4）

　　＝30÷10

　　＝3（小时）

　　答：3小时后两人相遇.

　　例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：

　　路程＝速度和×时间.

　　例2一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？

　　分析货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.

　　解：①甲、乙两地之间的距离是：

　　45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

　　＝45×6＋60×4

　　＝510（千米）.

　　②客车行完全程所需的时间是：

　　510÷（45＋15）

　　＝510÷60

　　＝8.5（小时）.

　　③客车到甲地时，货车离乙地的距离：

　　510—45×（8.5＋2）

　　＝510－472.5

　　＝37.5（千米）.

　　答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.

　　例3两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.

　　分析首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.

　　解：（10＋15）×14

　　＝350（米）

　　答：乙车的车长为350米.

　　我们也可以把例3称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基本关系仍然成立.

　　例4甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

　　分析甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.

　　解：①AB间的距离是

　　64×3－48

　　＝192－48

　　＝144（千米）.

　　②两次相遇点的距离为

　　144—48－64

　　＝32（千米）.

　　答：两次相遇点的距离为32千米.

　　例5甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

　　分析甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度.

　　解：甲的速度为：

　　100÷（4－1＋4÷2）

　　＝10O÷5＝20（千米/小时）.

　　乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）.

　　答：甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时.

　　例6某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

　　分析解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和.

　　列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250—210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×25—250＝250（米），从而可求出错车时间.

　　解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：

　　72000÷3600＝20（米/秒），

　　某列车的速度为：

　　（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

　　某列车的车长为：

　　20×25-250＝500-250＝250（米），

　　两列车的错车时间为：

　　（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.

　　答：错车时间为10秒.

　　例7甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.

　　分析甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千米/小时）

　　卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）.

　　解：卡车的速度：

　　（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），

　　丙车的速度：

　　（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），

　　答：丙车的速度为每小时33千米.

　　注：在本讲中出现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位，如5米/秒表示为每秒钟走5米

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