求下列级数的收敛域

求下列级数的收敛域~

求收敛域一般利用达朗贝尔判别法，先求收敛半径，再判断端点，然后写出收敛域，端点的判断可以用莱布尼茨判别法等各种方法

在展式Ln(1+t)=∑〔n=1到∞〕(-1)^n*t^(n+1)/(n+1)中，
令t=-x，可以得到一个展式，记为※
则本题级数=-x※=-xLn(1-x)。
因为上述-1<t《1，所以-1《x<1。

方法二，求和函数：
令S(x)=∑x^(n+1)/n=x*∑x^n/n
则S'(x)=【∑x^n/n】+【x*∑x^(n-1)】
其中第二个【…】=∑x^n=x/(1-x)★
令第一个【…】=h(x)
则h ' (x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)
故h(x)=∫〔0到x〕h ' (x)dx=-Ln(1-x)☆
于是得到S'(x)=☆+★
则S(x)=∫〔0到x〕（☆+★）dx
=-xLn(1-x)。

三道题都是用比值判别法，过程如下：

以上，请采纳。

3小题，∵ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)(3^n)/3^(n+1)=1/3，∴其收敛半径R=1/ρ=3。又，lim(n→∞)丨(Un+1)/Un丨=x²/R<1，∴其收敛区间为，丨x丨<√3。当x=±√3，级数发散。∴其收敛域为，丨x丨<√3。
4小题，∵ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)1/[(2n)(2n+1)]=0，∴其收敛半径R=1/ρ=∞。∴其收敛域为，x∈R。
5小题，∵ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)1/[(2n)(2n-1)]=0，∴其收敛半径R=1/ρ=∞。∴其收敛域为，x∈R。
供参考。

3. 隔项级数， 收敛半径的平方
R^2 = lin<n→∞>a<n>/a<n+1>
= lin<n→∞>3^(n+1)/3^n = 3, R = √3.
x = √3 时变为 ∑<n=0,∞> √3 ，级数发散；
x = -√3 时变为 - ∑<n=0,∞> √3 ，级数发散。
得收敛域 x∈(-√3, √3)
4. 隔项级数， 收敛半径的平方
R^2 = lin<n→∞>|a<n>/a<n+1>|
= lin<n→∞>(2n+1)(2n+1)!/[(2n-1)(2n-1)!] = +∞, R = +∞.
得收敛域 x∈(-∞, +∞).
5. 隔项级数， 收敛半径的平方
R^2 = lin<n→∞>|a<n>/a<n+1>|
= lin<n→∞>(2n)!/(2n-2)! = +∞, R = +∞.
得收敛域 x∈(-∞, +∞).

如图所示：

你好，如图。

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文昌市17347952558： 求下列幂级数的收敛域 第三题 - ？
丛芳爱德： (3) 收敛半径 R = lim<n→∞>a<n>/a<n+1> = lim<n→∞>[2(n+1)]!!/(2n)!! = lim<n→∞>(2n+2)(2n)!!/(2n)!! = +∞ 收敛域 (-∞, +∞)

文昌市17347952558： 级数收敛域的求法(给出过程)级数∑(n从1到∞)x^2n/n! 的收敛域是() 我想知道缺少奇数项或者偶数项的级数的收敛域该如何求? - ？
丛芳爱德：[答案] 这道题可以化成标准的级数,就是(x^2)^n/n!,所以答案是R. 方法么,要么用普通级数的判定方法(Cauchy,d'Alembert之类的),要么加上缺的项,可以求出收敛域的下界(非负数列),再试着证明也就是上界. 方便的就知道这些了.有时化...

文昌市17347952558： 级数收敛域 - ？
丛芳爱德： 解:∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1,∴收敛半径R=1/ρ=1. 又,lim(n→∞)丨Un+1/Un|=(x^2)/R<1,∴x^2<R=1,-1<x<1. 当x=1时,级数是交错级数,满足莱布尼兹判别法条件,∑[(-1)^n]/(2n+1)收敛;x=-1时,级数∑1/(2n+1)~(1/2)∑1/n,是p=1的p-级数,发散. 故,其收敛域为,-1<x≤1. 供参考.

文昌市17347952558： 求下列函数级数的收敛域 - ？
丛芳爱德： 因为 |coskz/k²|≤1/k² 而 Σ1/k²收敛 所以 原级数绝对收敛,即对任何实数都收敛 所以 收敛域为一切实数.

文昌市17347952558： 数学求幂级数的收敛域,如图,第1题的(3) - ？
丛芳爱德： 收敛半径容易求得,求出极限lim a[n] / a[n+1]即可.解出半径为R=1 所以-1<x+1<1-2<x<0 所以当x=-2时显然收敛,当x=0时当且仅当p<1时收敛.若有疑问请追问,若有错误请指正~

文昌市17347952558： 求下列函数展开成x - 1的幂级数,并求其收敛域 ln(x+2) - ？
丛芳爱德： 令t=x-1 则x=t+1 ln(x+2) =ln(t+3) =ln3+ln(1+t/3) 由ln(1+x)=x-x²/2+x^3/3-, 收敛域-1<x<=1 得上式=ln3+t/3-t²/18+t^3/81-....-(-1)^n*t^n/(n*3^n)+.... , 收敛域-1<t/3<=1, 即-2<x<=4 这就是关于x-1的幂级数.

文昌市17347952558： 求级数的收敛域 - ？
丛芳爱德： 原式=∑x^n+∑[1/2^n]/x^n. 对∑x^n,是首项为x、公比q=x的等比级数,∴丨q丨<1,即丨x丨<1时,级数∑x^n收敛.x=±1时,∑x^n发散.∴其收敛域丨x丨<1①. 对∑[1/2^n]/x^n,ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1/2.∴收敛半径R=1/ρ=2. 又,lim((n→∞)丨un+1/un丨=丨1/x丨/R<1,∴丨1/x丨<R=2,即丨x丨>1/2.当x=±1/2时,∑[1/2^n]/x^n发散.∴其收敛域为丨x丨>1/2②. ∴级数∑[x^n+1/(2x)^n]的收敛域为①和②的交集,即{x丨-1<x<-1/2}∪{x丨1/2<x<1}. 供参考.

文昌市17347952558： 求级数x^(2n - 1)/(2n - 1)的收敛半径和收敛域 - ？
丛芳爱德：[答案] lim(n→∞)|a(n+1)/an|=lim(n→∞)|(2n-1)/(2n+1)|=1,所以该级数的收敛半径为1.当x=-1时,级数为∑-1/(2n-1),是发散的;当x=1时,级数为∑1/(2n-1),是发散的.所以原级数收敛域为(-1,1)

文昌市17347952558： 求下列幂级数的收敛区间及其在收敛区间内的和函数 - ？
丛芳爱德：[答案] 记原式=f(x)=∑x^(2n)/(2n+1) 则g(x)=xf(x)=∑x^(2n+1)/(2n+1) 求导:g'(x)=∑x^(2n) 求和:g'(x)=x^2/(1-x^2)=-1+0.5[1/(1-x)+1/(1+x)], 收敛域为|x|

文昌市17347952558： 求下列级数的收敛区间 - ？
丛芳爱德： 没考虑收敛圆的边界问题!当X=2时,为交错级数,绝对收敛,但不收敛.X=4时,为正项级数,收敛.