ln(1+x^2)等价无穷小

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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第4题,设 x_1,x_2...,x_(2023) 为两两不等的正实数,使得对每个n=...
根据您的描述，我们需要找到一组两两不相等的正实数 x₁, x₂, ..., x₂₀₂₃，使得对于每个 n ∈ {1, 2, ..., 2023}，以下式子成立：(x₁ + x₂ + ... + xₙ) \/ (√x₁ + √x₂ + ... + √x&#...

设X~N(-1 2),Y~N(1 3),且xy相互独立,则x+2y=
答案为X+2Y~N(1，14）。解题过程如下：E(X)=-1，D(X)=2，E(Y)=1，D(Y)=3 显然，X+2Y也服从正态分布，且 ①E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2×1=1 ②由于X与Y相互独立 D(X+2Y)=D(X)+D(2Y)=D(X)+2^2·D(Y)=2+4×3 =14 所以：X+2Y~N(1，14）...

请教x的n次方-1的展开公式。。。具体请见图谢谢
利用数学归纳法：N=1 x-1=(x-1)(1)N=2 x^2-1=(x-1)(x+1)N=3 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)...现假设 N=n x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]求证 N=n+1 x^(n+1)-1=(x-1)[x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]下面证明 x^(n+1)-1=x(...

请问:1^2+2^2+3^2+……+n^2 =n(n+1)(2n+1)\/6是如何推得的?
1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)\/6+（x+1）2 =（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]\/6 =（x+1）[2（x2）+7x+6]\/6 =（x+1）（2x+3）（x+2）\/6 =（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]\/6 也满足公式 4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n...

在线等~急!!!初二一元二次方程关于根的判别式和韦达定理的题目3题_百 ...
即：x1,x2是x^2-2x=1这个方程的两个不相等的实数根。根据韦达定理： x1+x2=-b\/a=2 ， x1x2=c\/a=-1 x1^2 + x2^2 =(x1+x2)^2 - 2x1x2 =6 2.△=b^2 - 4ac =[-(m-2n)]^2 - 4*1*(1\/4mn) =m^2 - 5mn + 4n^2 =(m-4n)(m-n)∵关于x的方程有两个相...

(1+x)的n次方展开式是什么?
1+x的n次方展开式公式是：（x-1)^n=Cn0x^n+Cn1x^（n-1）（-1）^1+Cn2x^（n-2）（-1）^2+……+Cn（n-1）x（-1）^（n-1）+Cnn（-1）^n（x+1）^n。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者，泰勒于书中还讨论...

设随机变量xt(n),其中n>1令y=1\/x^2,则( )
设随机变量xt(n),其中n>1令y=1\/x^2,则（Y~F(n,1)），具体方法如下：

计算定积分:∫0→1 (1-x^2)^n dx
具体回答如下：令x=sint ∫(0,π\/2) (cost)^(2n+1)dx ∫(0,π\/2) (sint)^n dx=∫(0,π\/2) (cost)^n dx=(n-1)!!\/n!!(2n)!!\/(2n+1)!!=(2n)*(2n-2)*……*2\/[(2n+1)*(2n-1)*……*1]=(2^n)*n!*(2n)!!\/(2n+1)!=2^(2n)*(n!)²\/(2n+1)!...

设X1,X2是取自正态总体X~N(0,σ^2)的一个样本,求P((X1+X2)^2\/(X1...
解：本题利用了正态分布的性质求解。因为N(0,σ^2)，则有：E(X1+X2)=EX1+EX2=0 D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2 X1+X2~N(0,2σ^2)同理可得：X1-X2~N(0,2σ^2)所以1\/√2σ(X1+X2)~N(0,1)1\/√2σ(X1-X2)~N(0,1)所以1\/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1) X^2(n)代表...

sin(x)=(1\/2)^ n的导数是什么??
(0,\/2)[sin(x)]^ndx sinx的n次方的积分公式 ∫(0,π\/2)[sin(x)]^ndx 扩展 基本积分表公式 1、∫kdx=kx+C(k是常数)2、x_∫xdx=_+1+C,(_≠_1)_+1dx 3、∫=ln|x|+Cx1 4、∫dx=arctanx+C21+x1 5、∫dx=arcsinx+C21_x 6、∫cosxdx=sinx+C 7、∫sinxdx=_cosx+C 8...

乔瑞13824067778问： ln(1+x)的平方的等价无穷小ln(1+x)^2的等价无穷小是什么啊 - ？
加查县筋伤回答：[答案] 利用ln(1+x)~x,得到 ln(1+x)^2 x^2+2x

乔瑞13824067778问： ln(1+x平方)的等价无穷小 - ？
加查县筋伤回答：[答案] x→0 ln(1+x^2)~x^2

乔瑞13824067778问： ln(1+x^2)和什么等价 - ？
加查县筋伤回答： 对数ln(1+x^2)的等价无穷小什么?

乔瑞13824067778问： 用洛必达法则求lim(x - >0)ln(1+x^2)\(secx - cosx), - ？
加查县筋伤回答：[答案] 这题用等价无穷小代换要简单些 lim(x->0)ln(1+x^2)/(secx-cosx) =lim(x->0)ln(1+x^2)/(1/cosx-cosx) =lim(x->0)ln(1+x^2)cosx/(1-(cosx)^2) =lim(x->0)ln(1+x^2)cosx/((sinx)^2) 等价无穷小代换 =lim(x->0) x^2cosx/x^2 =1 如果非要用洛必达法则,那从倒数第三步...

乔瑞13824067778问： 高数中的等价无穷小在什么情况下可以使用 - ？
加查县筋伤回答：[答案] 在计算极限的时候,可以将复杂的式子用它的等价无穷小代替 比如,当x→0时, lim ln(1+x)/x =1,即是ln(1+x) 和 x 在x→0为等价无穷小 则 x→0时, lim ln(1+x^2)/(x^2+1)=lim x^2/(x^2+1) =0 但是等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时...

乔瑞13824067778问： 当x趋近于0时,与函数f(x)=x^2是等价无穷小的是 - ？
加查县筋伤回答：[选项] A. ln(1+x^2) B. sinx C. tanx D. 1-cosx

乔瑞13824067778问： ln(x+1)+x^2和x等价无穷小的证明过程 - ？
加查县筋伤回答： 具体回答如下: lim(x→0) ln(1+x)/x =lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]由两个重要极限知lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e所以原式=lne=1,所以ln(1+x)和x是等价无穷小. 求极限时,使用等价无穷小的条件: 1、被代换的量,在取极限的时候极限值为0. 2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以.

乔瑞13824067778问： 为啥limln(1+x^2)~x^2? - ？
加查县筋伤回答： 注: ln(1+x)~x 当 x趋向0时.故 ln(1+x^2)~x^2 当 x趋向0时,此时 x^2也是趋向0的.

乔瑞13824067778问： ln(1 - x)的等价无穷小 - ？
加查县筋伤回答： 综述:x→0,ln(1+x)~x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1;故ln(1-x)~(-x)~sin(-x)~tan(-x)~arcsin(-x)~arctan(-x)~(e^(-x))-1. 等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易. 各种极限问题才有了切实可行...

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