高阶无穷小的运算规律
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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无穷小之间的简单运算:如果b是a的高阶无穷小,即lim(b\/a)=0;如果a与b为同阶无穷小,即lim(b\/a)=c;(c≠0,c≠1)如果a与b为等价无穷小,即lim(b\/a)=1;
如何证明高阶无穷小之间的运算法则
同高阶无穷小加减。 高阶无穷小与冥函数之乘积。 高的高阶无穷小与低的高阶无穷小之商。 有界函数与高阶无穷小乘积。 常数与高阶无穷小乘积。 在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。 设函数y = f(x)在x0的邻域...
什么是同阶无穷小?
就是无论X取何值,结果都不会变 解题方法是将X的同阶项放到一起,令前面系数为零 举例:x^2+3x=6求3x^2+9x的值 3x^2+9x=3(x^2+3X)=3*6=18
高阶无穷小的运算怎么理解
在数学中,高阶无穷小的运算是一种理解函数极限和无穷概念的重要工具。当我们谈论无穷小时,指的是一个变量在趋近于某个值(如零或无穷大)时,其函数值接近于零,但并不等于零。例如,当x接近1时,函数f(x) = (x-1)^2就是无穷小,而当n趋向于无穷大时,f(n) = 1\/n也是无穷小。重要的...
什么叫高阶无穷小量?
若lim x→x0,f(x)\/g(x)=0,则称f为g的高阶无穷小量,或称g为f的低阶无穷小量。需要注意的是,这两个概念是相对的,不能说某个量是高阶无穷小量或是低阶无穷小量,应该是某个量是某个量的高阶无穷小量或低阶无穷小量。举例:当 x→0时,x、x平方、x三次方……都是无穷小量,且...
无穷小的运算性质
无穷小的运算性质如下:无穷小量与常数的乘积仍是无穷小量。如果两个无穷小量的阶相同,那么它们的和或差仍是无穷小量。无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量。在求极限时,有时可以将无穷小量进行等价替换,以便简化计算。这些性质在极限的计算和证明中非常重要,它们可以帮助我们更好地理解和处理无穷...
高阶无穷小之间加减怎么做?
高阶无穷小的加减法,结果等于较小阶数的无穷小,比如o(x^10)+o(x^5)=o(x^5)乘除法,结果就是阶数的加减,o(x^10)是可以写成o(x^5)的。o(x)表示比x更高阶的无穷小,假如x=0.1,那么o(x)可以看做是0.01,而o(x^2)=o(0.01)可以看做是0.001,那么0.01+0.001=0.011这...
如何证明高阶无穷小之间的运算法则?
同高阶无穷小加减。高阶无穷小与冥函数之乘积。高的高阶无穷小与低的高阶无穷小之商。有界函数与高阶无穷小乘积。常数与高阶无穷小乘积。在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。设函数y = f(x)在x0的...
无穷小阶运算性质证明
t t不为0 所以 lim (f(x)+g(x))\/(x-a)^n =lim f(x)\/(x-a)^n + lim g(x)\/(x-a)^n =s + lim g(x)\/(x-a)^m * (x-a)^m\/(x-a)^n =s +lim g(x)\/(x-a)^m * lim(x-a)^(m-n)=s + t*0 =s 所以由定义有,f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小 ...
两个高阶无穷小相加,要写2倍吗
要。通过查询高阶无穷小运算法则显示,在微积分中,当两个无穷小量相乘或相加时,高阶无穷小量可以忽略不计,同阶无穷小可相加,因此两个高阶无穷小相加,要写2倍。微积分是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
砚山县心通回答: 首先要搞清楚高阶无穷小的定义的一个知识点,即若x→某数,f(x)是g(x)的高阶无穷小,则 称f(x)=o(g(x)),例如:若o(x^2)+o(x^3)=o(x^2) 那等式左边即为f(x),等式右边的x^2即为g(x),lim f(x)/g(x)=0其次要明白 o(x^n)表示x^n的高阶无穷小,而且x^n...
望吕17145703149问: 高数无穷小运算规则证明 - ?
砚山县心通回答: 严格的说,遇到小o的地方应理解为集合的运算, 比如o(f(x))+o(f(x))=o(f(x)),表示为 从第一个集合中任取一个元素,记为g1(x),即lim g1(x)/f(x)=0; 从第二个集合中任取一个元素,记为g2(x),即lim g2(x)/f(x)=0; 则g1(x)+g2(x)属于第三个集合,即 必有lim (g1(x)+g2(x))/f(x)=0. 因此o(x^2)=o(x)是正确的. 比如f(x)+o(g(x))=o(h(x))写法也是允许的,表示 从o(g(x))这个集合中取元素,记为f2(x),则 f(x)+f2(x)是位于o(h(x))这个集合.
望吕17145703149问: 什么叫高阶无穷小?就是0么?还是负无穷? - ?
砚山县心通回答:[答案] 无穷小之间的简单运算: 如果b是a的高阶无穷小,即lim(b/a)=0; 如果a与b为同阶无穷小,即lim(b/a)=c;(c≠0,c≠1) 如果a与b为等价无穷小,即lim(b/a)=1;
望吕17145703149问: 解释一下下面无穷小为什么可以这样运算x的m次方乘以x的n次方的高 ?
砚山县心通回答: x的m次方的高阶无穷小(不妨记为a)含义是lima/x^m=0,同理x的n次方的高阶无穷小(不妨记为b)也满足limb/x^n=0根据极限四则运算法则limab/x^(m n)=0因此,有无穷小定义得到,ab(两个无穷小的积)=x的m n次方的高阶无穷小,数学辅导团为您提供各种数学问题解答
望吕17145703149问: 高阶无穷小 - ?
砚山县心通回答: o(x^3+o(x^3))= o(x^3)o(x^3)+o(x^4)等于多少? 近似计算时约等于o(x^3) 因为阶的高低是相对而言的,o(x^3)与本身是等阶无穷小,而较o(x^4)就是低阶无穷小了, 在近似计算时可保留低阶无穷小,舍去高阶无穷小.(原因:高阶无穷小趋近于0的速度更快,显得更小)
望吕17145703149问: 无穷小性质是什么 - ?
砚山县心通回答: 高阶无穷小的性质: ① 当x→0时,lim(x→0) a(x)/b(x) = 0; ② a(x)+b(x)和a(x)是同阶无穷校
望吕17145703149问: 什么叫高阶的无穷小??
砚山县心通回答: 词条:【高阶无穷小】无穷小就是以数零为极限的变量.确切地说,当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量.例如,f(x)=(x-1)2是当x→1时的无穷...
望吕17145703149问: 高阶无穷小相乘就比如x的4次方的高阶无穷小乘x的5次方的高阶无穷小等于什么 怎么算的 要是相除怎么算呢 谢 - ?
砚山县心通回答:[答案] 由高阶无穷小的定义得 lim o(x^4)/x^4=0 lim o(x^5)/x^5=0 故lim o(x^4)*o(x^5)/x^9=0 1)即o(x^4)*o(x^5)是比x^9高阶的无穷小 2)而相除就不确定了. 其实o(x)表示的不是一个函数,而是一类函数(比如x^2,x^3...等等)
望吕17145703149问: 请详细说出什么是高阶无穷小?什么是低阶无穷小?什么是同阶非等价无穷小? - ?
砚山县心通回答: 当lim A=0时, 如果lim B/A =0,就说B是比A高阶的无穷小,记作B=o(A); 如果lim B/A=无穷大,就说B是比A低阶的无穷小; 如果lim B/A=k(k为不等于0和1的常数),就说B是A的同阶非等价无穷小.
望吕17145703149问: 高阶无穷小在极限的加减运算中可以略去 - ?
砚山县心通回答: 主要的依据是高阶无穷小的定义和极限运算的运算法则.举一个例子: 计算图片中的极限时,根据极限运算的运算法则,可以分成两个极限的式子相加,再根据高阶无穷小的定义,就有图片中等式的最右边了.这样的结果,其实可以直接理解为“高阶无穷小在极限的加减运算中可以略去”