空间直线及其方程

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

","gnid":"927890e86171bc27a","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"549","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01a453a8c9c6122d99.jpg","width":"941"}]}],"original":0,"pat":"art_src_0,otherc,fts0,sts0","powerby":"hbase","pub_time":1695293494000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/64bd8e98e83082513305002748ec4158","redirect":0,"rptid":"ec94807e0f0a764b","rss_ext":[],"s":"t","src":"学长爱升本","tag":[{"clk":"keducation_1:高等数学","k":"高等数学","u":""},{"clk":"keducation_1:天津","k":"天津","u":""}],"title":"2024年天津专升本文化课考试高等数学新大纲（2023年9月修订）

---

两点求直线方程
在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时，直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。3、直线一般式方程解释：适用于所有的二维空间直线。它的基本形式是Ax+By+C=0（A，B不全为零）。因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算...

两线段求直线方程的方法有哪些?
斜率-截距式（两点式）：如果两个线段有公共点，或者我们知道两个线段的端点坐标，我们可以使用这些点来确定直线的方程。首先，我们计算两点之间的斜率（m），然后使用其中一个点（x1, y1）来找到截距（b）。直线的方程可以表示为：y - y1 = m(x - x1)其中，m是斜率，b是y轴截距。点斜式：如果...

直线与直线的方程
直线与直线的方程如下：直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点，直线，平面间的关系研究几何图形的性质。我们就平面直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，如平行，垂直，两直线的交点，点到直线的距离等。解析几何由此成为近代数学的基础...

直线的方程式
截距式： x\/a+y\/b=1 (a是x轴截距，b是y轴截距）；做题过程中，点斜式和斜截式用得最多（两种合占90%以上），一般式属于中间过渡形态。在与圆及圆锥曲线结合的过程中，还要用到点到直线距离公式。2、直线方程的局限性：各种不同形式的直线方程的局限性。(1）点斜式和斜截式都不能表示斜率...

已知两点坐标 求直线方程怎么求
当需要求解两点坐标（x1, y1）和（x2, y2）之间的直线方程时，有两种主要的方法：首先，使用斜截式。计算斜率k，公式为k = (y2 - y1) \/ (x2 - x1)。然后，将斜率k代入直线方程的一般形式y - y1 = k(x - x1)，得到具体的直线方程。另一种方法是两点式，它基于两点的坐标，直线方程为...

交点直线系方程
(5)过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。三、方程 方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。通过方程求解可以...

直线的两点式方程
在经济学中，直线的两点式方程可以用来描述经济变量之间的关系。例如，我们可以用两点式方程来描述一条供给曲线或者需求曲线。八、交通规划 在交通规划中，直线的两点式方程可以用来描述道路的几何特征或者交通流量。例如，我们可以使用两点式方程来描述一条道路的坡度或者曲率，或者用来预测交通流量在不同路段...

求直线方程的常用公式汇总
斜截式：y=kx+b 点斜式：y-y1=k(x-x1)两点式：(y-y1)\/(x-x1)=(y-y2)\/(x-x2)截距式：x\/a+y\/b=1 点(x0,y0)到直线：Ax+By+C=0的距离：|AXo+BYo+C|\/√(A²+B²)直线的方向向量：(1,k)以上就是常用的公式，望采纳，谢谢 ...

直线的一般方程
学习直线的一般方程方法技巧 1、理解概念，掌握应用：直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0，该方程称为直线的一般式方程。直线的一般方程适用于任何直线，可以用来求直线方程，计算点到直线的距离、平行线间的距离，判断直线平行、垂直等。2、分解条件，建立方程：当A、B、C为0时，需要...

直线的点斜式、截距式、斜截式、一般式方程公式分别是什么?
1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】A1\/A2=B1\/B2≠C1\/C2←→两直线平行 A1\/A2=B1\/B2=C1\/C2←→两直线重合 2：点斜式:y-y0=k(x-x0) 【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线 3：截距式:x\/a+y\/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴...

劳瑶19126142397问： 空间直线的方程与平面的方程辨别 - ？
长阳土家族自治县易宁回答：[答案] 空间平面一般方程:Ax+By+Cz+D=0 ,截距式:x/a+y/b+z/c=1 空间直线方程一般方程为两个空间平面的联立方程,是个方程组,因为 空间直线是2个不平行空间平面的交线: 空间直线方程标准方程:(x-x0)/X=(y-y0)/Y=(z-z0)/Z 其中(x0,y0,z0...

劳瑶19126142397问： 空间直线及其方程 - 搜狗百科？
长阳土家族自治县易宁回答： 空间直角坐标系中平面方程为Ax+By+Cz+D=0空间直线的一般方程:两个平面方程联立,表示一条直线(交线)空间直角坐标系中平面方程为Ax+By+Cz+D=0 直线方程就是:A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0 联立(联立的结果可以表示...

劳瑶19126142397问： 已知空间两点(4, - 3,0),(3,1, - 2),怎么求空间直线方程 - ？
长阳土家族自治县易宁回答：[答案] 有公式:通过点(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)的直线为 (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)

劳瑶19126142397问： 什么是空间直线的向量参数方程 - ？
长阳土家族自治县易宁回答：[答案] 如果空间直线的方向向量是(m,n,p),则空间直线的向量参数方程是: x=x0+mt y=y0+nt z=z0+pt (x0,y0,z0)是空间直线上的一点. 它与直线方程: (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p 是等价的.

劳瑶19126142397问： 空间坐标空间上一条直线怎样用方程表示,比如过(0,0,0)和(1,1,1)的直线. - ？
长阳土家族自治县易宁回答：[答案] 空间直线通常有两种表示方式,既可以表示为两个平面的交线(通过方程组表示),也可以用参数方程表示. 如:经过点(0,0,0)和(1,1,1)的直线可以表示为: 1) x+y-z=0 x-y=0 或者2) x=y=z=t,(t是参数)

劳瑶19126142397问： 空间直线的方程 - ？
长阳土家族自治县易宁回答： 楼下的回答是平面的方程,不是直线的 设直线方程为 (x-1)/a=(y-2)/b=(z-3)/c 将(4,5,6)带入得 (4-1)/a=(5-2)/b=(6-3)/c 1/a=1/b=1/c a=b=c 所求直线为x-1=y-2=c-3 空间直线的标准方程是 (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c (x0,y0,z0)是直线上已知的一点的坐标 平面的标准方程是 ax+by+cz+d=0或 a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 (x0,y0,z0)是平面内已知一点的坐标

劳瑶19126142397问： 归纳空间直线方程的求法 - ？
长阳土家族自治县易宁回答： (1)交面式:A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.(2)参数式:x=x0+it,y=y0+mt,z=z0+nt. (3)对称式:(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n. (4)射影式:x=az+p,y=bz+q. (5)两点式:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1).

---