空间直线三种方程互换
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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两平行直线 第1个方程里的A,B和第二个方程里的A,B是一样的
直线的一般方程
学习直线的一般方程方法技巧 1、理解概念，掌握应用：直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0，该方程称为直线的一般式方程。直线的一般方程适用于任何直线，可以用来求直线方程，计算点到直线的距离、平行线间的距离，判断直线平行、垂直等。2、分解条件，建立方程：当A、B、C为0时，需要...
两点间的直线方程怎么求?
直线方程的公式有以下几种：斜截式:y=kx+b 截距式:x\/a+y\/b=1 两点式:(x-x1)\/(x2-x1)=(y-y1)\/(y2-y1)一般式:ax+by+c=0 只要知道两点坐标，代入任何一种公式，都可以求出直线的方程。由两点这样求直线方程 两个点坐标是：（x1，y1）（x2，y2）直线方程是(x-x1)\/(x2-x1)=(...
若两平行直线间的距离是根号5,其中一条直线方程是2x+y-2=0,另一条直...
所求直线是2x+y+a＝0 然后在2x+y-2=0上随便取一点，例如（1，0）那么（1，0）到2x+y+a＝0的距离为√5 利用公式 求
两直线间的距离公式是什么
两直线间的距离公式是：设两条直线方程为Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0。两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a,b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0,即Ab+Bb=-C1,由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为d=|Aa+Bb+C2|\/√(A^2+B^2)=|...
求两直线间距离的公式是什么
两平行线之间的距离公式 设两条直线方程为 Ax+By+C1=0 Ax+By+C2=0 则其距离公式为|C1-C2|\/√(A²+B²)推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=-C1，由点到直线距离公式，P到...
反函数应用
接下来，我们需要执行反解，即将函数中的x用y来表示，例如，对于函数y=2x+1，其值域为任意实数，反解步骤为：x=(y-1)\/2。然后，进行交换位置的转换，即将x替换为y，y替换为x，得到反函数的表达式：y=(x-1)\/2，其中x的取值范围是任意实数。特别地，对于直线方程kx+ky=b和反比例函数这类形式...
两直线间的距离公式
两直线间的距离公式如下：两直线间的距离公式是：设两条直线方程为Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0。P到直线Ax+By+C2=0距离为d=|Aa+Bb+C2|\/√(A^2+B^2)=|-C1+C2|\/√(A^2+B^2)=|C1-C2|\/√(A^2+B^2)。距离的介绍：在数学中，距离是泛函分析中最基本的概念之一。它所定义的距离空间...
对称点那公式是错的,两直线互相垂直k相乘为-1,你改下后面半个坐标。速度...
1。点（a,b）关于直线 y=kx m （k=1或-1）的 对称点为：（b\/k-m\/k,ka m）,实际上是将表达式中的x，y的值互换，因为直线方程 y=kx m 中有 x=y\/k-m\/k 且 y=kx m,这种方法只适用于 k=1或-1 的情况。还可以推广为 曲线 f（x，y）=0关于直线 y=kx m 的 对称曲线 为 f...
直线间的距离公式
Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0，设两平行直线是Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0。那么距离是d=lC1-C2|\/\/（A~2+B~2）。d=IC1-C21\/\/（A~2+B~2）。设两条直线方程为 Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。两点间...
福泉市益祺回答：[答案] 我记得是令对称式方程等着t,解出xyz,再想办法消掉t
麻易19531618453问： 空间直线的两种方程是否可以相互转化?比如:{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0}和(x - a)/A=(y - b)/B=(z - C)/c之间的转化 - ？
福泉市益祺回答：[答案] 当然可以,你说的是把直线的一般式化成点向式 设两平面分别是A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0, 先取点P,不妨令z=0,由这两方程联立求解,得x=a,y=b,因而点P(a,b,0) 再求直线的方向向量,算一个三阶行列式,第一行元素依次为I,J,...
麻易19531618453问： 空间直线方程的转换如何将直线的标准方程转化为一般方程, - ？
福泉市益祺回答：[答案] 把一组【联立方程】拆换成两个方程,然后把分式型化为整式型——就OK了.
麻易19531618453问： 空间直线一般式方程怎么转换成参数式方程 - ？
福泉市益祺回答： (1)把联立方程改写成两个方程的形式;(2)把分式方程化为整式方程的形式.即完成转换.例:(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n(x-x0)/l=(y-y0)/m(y-y0)/m=(z-z0)/n => mx-ly+(ly0-mx0)=0ny-mz+(mz0-ny0)=0
麻易19531618453问： 求助空间直线怎么转换成对称式的方程? - ？
福泉市益祺回答： 原方程可以写成这种形式: x-2=z+1=0 于是,得《交面式》的一般型中 A1=1、B1=0、C1=0、D1=-2 A2=0、B2=0、C2=1、D2=1 推出,直线的方向系数 l=|(B1 C1),(B2 C2)|=B1C2-B2C1=0 m=0*0-1*1=-1 n=1*0-0*0=0 ∵点(2 ,0,-1)在直线上 ∴按《点向式》方程得出 (x-2)/0=(y-0)/(-1)=(z+1)/0 ∵ x-2=z+1=(0*y)/(-1)=0*y/1 ∴ 方程可以写成 (x-2)/0=y/1=(z+1)/0 【即:方向系数 (0,-1, 0)=(0 ,1, 0)】
麻易19531618453问： 直线方程五种形式之间的相互转换,速度啊!!! - ？
福泉市益祺回答： 直线方程的5种表现形式如图,可以通过化简调整进行互换,
麻易19531618453问： 如何将空间直线的对称式换为一般式 - ？
福泉市益祺回答： 空间直线的对称式方程为 (x-x_0)/l=(y-y_0)/m=(z-z_0)/n 写成一般式是 (x-x_0)/l=(y-y_0)/m (y-y_0)/m=(z-z_0)/n
麻易19531618453问： 如何将空间直线的对称式方程化为一般式方程 - ？
福泉市益祺回答： 对称式:(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n 转换成“交面式”,因所选用方程的不同可以有不同的形式. 由“左方程”:(x-x0)/l=(y-y0)/m => mx-mx0=ly-ly0 => mx-ly+ly0-mx0=0 同理,由“右方程” ny-mz+mz0-ny0=0 则,经转换后交面式方程的各系数分别为:A1=m,B1=-l,C1=0,D1=ly0-mx0;A2=0,B2=n,C2=-m,D2=mz0-ny0
麻易19531618453问： 怎么把空间直线标准方程化为一般方程 - ？
福泉市益祺回答： 对称式由直线上一点和直线的方向向量决定 (1)先求一个交点,将z随便取值解出x和y 不妨令z=0 由x+2y=7 -2x+y=7 解得x=-7/5,y=21/5 所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点 (2)求方向向量 因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-2,1,1) 所求直线的方向向量垂直于2个法向量 由外积可求 方向向量=(1,2,-1)*(-2,1,1) i j k 1 2 -1 -2 1 1 =3i+j+5k 所以直线方向向量为(3,1,5) 因此直线对称式为(x+7/5)/3=(y-21/5)/1=z/5
麻易19531618453问： 空间直线对称式方程如何转换成一般式方程? - ？
福泉市益祺回答： 7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x 2)-1; (5y 1) (1-y)= (9y 1) (1-3y); 20% (1-20%)(320-x)=320*40% 2(x-2) 2=x 1 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) x/3 -5 = (5-x)/2 2(x 1) /3=5(x 1) /6 -1 (1/5)x 1 =(2x 1)/4 (5-2)/2 - (4 x)/3 =1 x/3 -1 = (1-x)/2 (x-2)/2 - (3x-2)/4 =-1 11x 64-2x=100-9x 15-(...
