积分求旋转体体积推导
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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旋转体的体积= 64π\/5.联立方程组 x=2 y=x^3 解得两曲线的交点(2,8)所围成的平面图形绕y轴旋转的旋转体体积为 V = ∫(0,8) π[2^2 - [(³√y)^2] dy = π{4y - 3[y^(5\/3)]\/5}|(0,8)= 64π\/5 性质 ①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连...
旋转体的体积怎么求呢?
旋转体体积公式是通过对旋转体的截面面积进行积分来计算旋转体的体积的公式。这个公式适用于将一个平面图形绕一个直线旋转一周形成的旋转体。假设我们有一个平面图形，它的截面在x轴上的范围是[a,b]，并且在每个x处的截面面积为A(x)。我们想要计算这个图形绕一个直线旋转一周形成的旋转体的体积。首先...
如何计算旋转体的体积?
计算过程如下：参数方程为x = (cost)^3，y = (sint)^3。由对称性可知，所求旋转体的体积V是第一象限内曲线和坐标轴所围成的图形绕x轴旋转一周形成旋转体体积V1的2倍。则可以得到：
高数积分题,求旋转体体积
你好同学，具体解答过程如上图所示；本题是求旋转体体积的问题，步骤，先写出微元体的体积表达式 例如：当图形绕x轴旋转时 微元体体积 dV=π（y1的平方-y2的平方）dx，y1为上方切线，y2为下方曲线，有了微元体后就是确定积分范围，即 [0,1]，这样积分式就写好了；同理，当图形绕y轴旋转时，...
如何计算旋转体的体积?
一般都是绕x轴，若是y轴可以换为反函数求。公式为S=2π∫【a,b】|y|(1+y'^2)½dx 可以这样看，就是先把得到的旋转面沿着一条母线先剪开，然后再竖着平行y轴剪成条状，现在计算每个竖条子的面积就是π×2|y|(直径)×ds(条子的宽度)，其中 ds=(1+y'^2)½dx,用弧长近似...
微积分学习笔记21:求旋转体体积的一般公式(万能公式)
二、一般公式示意图 旋转体体积计算的万能公式为V=∫A(x)dx，其中A(x)为旋转轴x截面的面积，积分区间为旋转体的长度范围。以圆柱为例，其面积函数为A(x)=πr²，积分区间即为圆柱的长度。三、例题 例题1：求旋转轴为y轴，底面半径为2，高为4的圆柱体体积。分析：圆柱体的面积函数为A(...
如何利用微分法求旋转体的体积
好象是用定积分方法求体积的吧!绕Oy轴旋转 设x=ф(y)为[c,d]上单值连续函数,c≤y≤d,0≤x≤ф(y)绕Oy轴旋转转成旋转体的体积为 Vy=π∫(d)(c)(ф(y))^2dy <∫(d)(c)表示dc为积分的上下限>
第五大题的第三小题,定积分的应用,参数方程怎么算旋转体的体积。
因为摆线的方程为 x=a（t-sin t），y=a（1-cos t），0<t<2π。其中x的范围为0<x<2πa。令参数方程所围成的旋转体的体积为V。所以 V=∫π*(y^2）*dx，其中积分区域为[0，2πa]，且 dx=x′ dt=a（1-cos t）dt。即 V=π∫[a（1-cos t）]^2*a（1-cos t）dt=π*a^...
如何求旋转体的体积?
柱壳法求旋转体体积公式：V=∫*dV=2π∫*xsinxdx.旋转体柱壳法详解：（1）要知道旋转体的半径、高度和厚度；（2）写上柱壳法公式：V=∫*dV；（3）把公式dV=2πxydx代入到柱壳法公式中。（4）注意dV=2πxydx是求一层柱壳的体积的一个近似值；（5）求y=sinx的绕y轴旋转的体积；（6）...
如何求旋转体的体积?
解：联立方程组 x=y^2 y=x^2 解得两曲线的交点(0,0),(1,1)所围成的平面图形绕x轴旋转的旋转体体积为 v = ∫(0,1)π[x - (x^2)^2]dx = π[x^2\/2 - x^5\/5]|(0,1)= 3π\/10 所围成的平面图形绕y轴旋转的旋转体体积为 v = ∫(0,1)π[y - (y^2)^2]dy = ...
华容县康复回答：[答案] x=y^(1/3) y=1,x=1 y=0,x=0 V = [0,1] ∫ π x² dy = [0,1] ∫ π [y^(1/3)]² dy = [0,1] ∫ π y^(2/3) dy = 3π/5 y^(5/3) | [0,1] = 3π/5
兆垂18433802218问： 定积分的应用,旋转体的体积计算, - ？
华容县康复回答：[答案] 画草图,直线y=2x-1是曲线y=x^2在(1,1)点处的切线,y=2x-1与x轴交与(1/2,0).因为旋转体的横截面是圆形,体积微元dV=πy^2dx.所以,所求体积为∫(0,1)π(x^2)^2dx-∫(1/2,1)π(2x-1)^2dx=π/30((0,1)和(1/2,1)为积分上下限)选C
兆垂18433802218问： 定积分求旋转体体积的两个公式分别什么情况用?有点混T.T求解 - ？
华容县康复回答：[答案] 第一个是圆片法,无数个薄圆片叠加而成,高度方向积分,积分限柱底→柱顶; 第二个是柱壳法.无数个薄柱壳叠加而成,半径方向积分,积分限内径→外径.
兆垂18433802218问： 对角度积分求旋转体体积一般求旋转体体积用球壳法或圆盘法,但我想直接对角度积分不就行了吗,请指导对角度积分的方法,并以此推导出一个半径1高1的... - ？
华容县康复回答：[答案] 同学,我不知道你所说的对角度积分是什么意思,但是在体积分(三重积分)中,有坐标变换这个概念啊,常用的是柱坐标变换和球坐标变换.这两种变换就有你说的对角度的积分啊. 求一个圆柱体的体积就等于积分区域为这个圆柱体,对1求三重...
兆垂18433802218问： 两条曲线围成的图形微积分绕x轴旋转体体积怎么求 书上只有一条曲线的公式 - ？
华容县康复回答：[答案] 有一条曲线的求法足够了;有两条曲线的旋转体体积求法可以采用两种方式,①分别对单个曲线旋转体求积分,然后相减(注意两曲线中间不能有交叉重叠部分),②直接将积分半径(旋转体半径)平方后相减,然后对x积分:∫л[(y高)²-(y底)²]dx;
兆垂18433802218问： 定积分应用问题 旋转体体积 绕非轴直线像是f(x)绕x旋转就是积分πf(x)^2dx绕y旋转就是积分2πxf(x)那如果绕x=a以及绕y=b呢? - ？
华容县康复回答：[答案] 这种最好用图来解释!说出来真的很麻烦! 旋转法的基础是它在这个图像的范围内形成一个有代表性的立体图形,通过把x+dx 里面的 dx 趋近于无限小,我们可以把这个图形分成 无穷 个这样的小立体图形,然后通过计算他们体积的和来无限的趋近...
兆垂18433802218问： 积分中的旋转体求体积问题 y=(x^2)+1, y=0 , x=0, x=1, 绕着y轴转 - ？
华容县康复回答： 思路:画出积分区域,然后使用以前学过的计算体积的公式计算微元体积即可.如下图所示,取微元,绕y旋转后得到一个圆筒,圆筒的上底面展开后近似为长方形:长为圆周长 2πx,宽为dx,所以面积 2πxdx.而圆筒的高为 y,所以体积 dV = 2πxdx * y = 2πx(x^2+1)dx 过程:参考下图
兆垂18433802218问： 用定积分求旋转体的体积？
华容县康复回答： sinx的周期是2π x属于0到π就是半圆 绕Y轴旋转一周就是半球 体积就是以π为半径的球体积的一半
兆垂18433802218问： 积分求旋转体体积旋转体体积第一题:绕X轴y = x^2 + 4y = −x^2 + 2x + 8x = 0x = 3第二题:绕Y轴y = 36 − x^2y = 0x = 3x = 6第三题:绕X轴y = cos 3xy = 0x ... - ？
华容县康复回答：[答案] 新年好!Happy Chinese New Year !1、计算旋转体积的方法,通常有两种:圆盘法,壳层法.上面的三道题,运用壳层法将会计算麻烦.用圆盘法快捷.2、具体解答如下. 第一题解答如下: 第二题解答如下: 第三题解答如下:
兆垂18433802218问： 求圆盘(x - 2)2+y2≤1绕y轴旋转所成的旋转体体积 - ？
华容县康复回答： ^圆盘(x-2)^2+y^2≤1绕y轴旋转所成的旋转体体积为4π^2. 解:因为由(x-2)^2+y^2=1,可得, x=2±√(1-y^2). 又(x-2)^2+y^2≤1,那么可得1≤x≤3,-1≤y≤1. 那么根据定积分求旋转体体积公式,以y为积分变量,可得体积V为, V=∫(-1,1)(π*(...
