求二阶连续偏导数例题
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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z=f(u,v),u=xy,v=x^2-y^2 du\/dx=y,du\/dy=x dv\/dx=2x,dv\/dy=-2y dz\/dx=dz\/du*du\/dx+dz\/dv*dv\/dx =df\/du*y+df\/dv*2x dz\/dy=dz\/du*du\/dy+dz\/dv*dv\/dy =df\/du*x-df\/dv*2y
二阶连续偏导数怎么求啊,跪求大神,要步骤(
z=x2arctan(y\/x)+∫y\/(1+y2\/x2)dx-xy =x2arctan(y\/x)-xy+∫y-y3\/(x2+y2)dx =x2arctan(y\/x)-y2arctan(x\/y)+C
二阶偏导数连续取极大值为啥有等号
您好,二阶偏导数连续取极大值为啥有等号,具体情况如下:设函数Z=f(x,y)在点(x。,y。)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(X。,y。)=0,fy(X。,y。)=0,令fxx(X。,y。)=A,fxy(X。,y。)=B,fyy(X。,y。)=C,则f(x,y)在(x。,y。
很简单的二阶连续偏导数的题?
当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏...
二阶连续偏导数如何计算
二阶连续偏导数如何计算如下:首先,让我们回顾一下一阶连续偏导数的定义。对于一个二元函数f(x,y),它的一阶连续偏导数可以通过对每个变量分别求导来计算。例如,对于函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2,我们可以通过分别对x和y求导来计算它的一阶连续偏导数。求导后,我们得到f对x的偏导数为2x+2y,f...
z=f(u,x,y),u=xe^y,其中f具有二阶连续偏导数,求z对x的二阶导
∂z\/∂x = f1' *∂u\/∂x + f2'= f1' * e^y +f2'所以z对x的二阶偏导数为 ∂^2 z\/∂x^2 = f11'' *e^y *e^y +f12'' *e^y +f21'' *e^y +f22''=f11'' *e^2y +(f12''+f21'') *e^y +f22''
设函数z=f(x,y)在某区域内有二阶连续偏导数,且f(x,2x)=x,f'x(x,2x...
关键在于将y=2x在求导中按复合函数来处理,首先在f(x,2x)=x两边对x求导数,根据复合函数求导法则,有f'x+f'y*(2x)'=1,即f'x+2f'y=1,由于f'x=x^2,所以f'y=(1-x^2)\/2,在上式两边对x求导,有f''yx+f''yy*(2x)'=-2x\/2,即f''yx+2f''yy=-x,由于f有二阶连续偏...
设f具有二阶连续偏导函数,求下列函数的二阶偏导数
假设f912件连续偏导数,求下列函数的二阶偏导数,那么根据一个求导的方法进行求导一层的求导
z=f(x+y,x)有连续的二阶偏导数,则a^2z\/ay^2=多少?
∂z\/∂y=f1(x+y,x)*∂(x+y)\/∂y+f2(x+y,x)*∂(x)\/∂y=f1(x+y,x)∂²z\/∂y²=∂f1(x+y,x)\/∂y=f11(x+y,x)
设函f数具有二阶连续偏导数, z=f(x2+y2,2xy),求∂z\/∂x,∂z\/...
求偏导数的时候 即将另一个未知数看着常数即可 那么这里求偏导数得到 ∂z\/∂x=f1'2x +f2'2y 同理∂z\/∂y=f1'2y +f2'2x
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 1.u=x+y,v=y^2-x^2,所以6u/6x=1,6v/6x=-2x.有二阶连续偏导数,故6^2f/6u6v-=6^2f/6v6u 6z/6x=6f/6u*6u/6x+6f/6v*6v/6x=6f/6u-2x*6f/6v; 二阶导数:6^2z/6x^2=6^2f/6u^2*6u/6x+6^2f/6u6v*6v/6x-2*6f/6v -2x(6^2f/6v6u*6u/6x+6^2f/6v^2*6v/6x) =6^2f/6u^2-2x*...
僪盲18928004912问: 设f具有二阶连续偏导数,z=f(x+y,xy),求zxx,zxy. - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 由z=f(x+y, x y),得zx=f′1+ 1 yf′2 因此 zxx=(f′1+ 1 yf′2)x=f″11+ 1 yf″12+ 1 yf″21+ 1 y2f″22=f″11+ 2 yf″12+ 1 y2f″22 zxy=(f′1+ 1 yf′2)y=f″11- x y2f″12- 1 y2f′2+ 1 yf″21- x y3f″22=f″11+ y-x y2f″12- 1 y2f′2- x y3f″22
僪盲18928004912问: 求二阶连续偏导数设z=f(xy,y),f的二阶偏导数连续,求其所有二阶连续偏导数求大神详细解答 谢谢 - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 1、本题的求导方法是链式求导法则; 2、具体解答如下,如有疑问,欢迎追问;有问必答、有疑必释、有错必纠;3、若看不清楚,请点击放大,图片将更加清晰.
僪盲18928004912问: 一道关于二阶连续偏导数的题若:Z乘以[α(z)]^2/α(x)α(y)=α(z)/α(x)乘以α(z)/α(y) 成立证明Z=Z(x,y)是两个一元函数的乘积?设u=α(z)/α(x) 则原式为 Z乘α(u)/α(y)=u乘α(z)... - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 对于第一个疑问,我认为确实不必两个都为0 但是它讨论的情况就是z=0,我觉得这就可以看成两个一元函数啊f(x)=0和f(y)或者是f(x)和f(y)=0 反正还是两个一元函数的乘积啊 对于第二个疑问,我们这里一般不用那么严密,这里u不能为0也不必单独考...
僪盲18928004912问: 设z=f(xy,x - y),其中f具有二阶连续偏导数,求(əz^2)/(əxəy) - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] əz/əy=xf1(xy,x-y)-f2(xy,x-y) a^2z/(əxəy)=ə(əz/əy)/əx =f1(xy,x-y)+x(yf11(xy.x-y)+f12(xy,x-y))-yf21(xy,x-y)-f22(xy,x-y) =f1(xy,x-y)+xyf11(xy,x-y)+xf12(xy,x-y)-yf21(xy,x-y)-f22(xy,x-y)
僪盲18928004912问: 一道二阶偏导数的题!设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求二阶混合偏导 在x=1,y=1处的值.如图所... - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 手机看不清楚,我作一遍.设u=xy,v=yg(x),那么:z'(x)=f'u*y+f'v*yg'(x) z"(xy)=f'u+f"u*yx+g'(x)(f'v+yf"v*g(x)).代入得:z"xy(1)=f'u(1)+f"u(1) 注:x=1为极值g'(1)=0.
僪盲18928004912问: 大学高数二阶连续偏导数求解啊!设函数f(x,y)有二阶连续偏导数,且f(0.0)=0 当x的平方加上y的平方小于等于9时有gradf(x,y)的绝对值小于等于1 证明:f(1,2)... - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 解决方案: 令z =反正切(U / V),U = X + Y,V = 1-XY 部分Z / X =部分部分的z /ü部分部分U / X +部分部分 /部分部分VV /一部分的X = 1 /(1 +(U / V)^ 2)(1 / V)+(1 /(1 +(U / V)^ 2))(-U / V ^ 2)(-Y) = V /(V ^ 2 + U ^ 2)+乌伊/(U ^ 2 + V ^ 2) = 1 /(1 + X ^ 2) ①部...
僪盲18928004912问: 设f具有连续的二阶偏导函数,求下列函数的二阶偏导数 Z=f(xy^2,x^2y) - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 设u=xy^2 ;v=x^2y ; 二阶偏导数:(f'u)*y^2 + 2(f'u)xy + 2(f'v)xy + (f'v)x^2 不好好学习啊同志
僪盲18928004912问: 求偏导数z=f(xy,x^2+y^2)具有二阶连续偏导数求a^2z/ax^2 a^2z/axay - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] Dz/Dx = f1*y + f2*(2x) = y*f1 + 2x*f2,D²z/Dx² = (D/Dx)(y*f1 + 2x*f2) = [y*(y*f11 + 2x*f12)+ 2*f2 + 2x*(y*f21 +2x*f22)] = ……,D²z/DxDy = (D/Dy)(y*f1 +2x*f2) = [f1 + y*(x*f11 + 2y*f12)+ ...
僪盲18928004912问: 设Z=f(x - y,xsiny),其中f具有二阶连续偏导函数,求(δ^2乘z)/δxδy - ?
青龙满族自治县艾麦回答:[答案] 先令u=x-y,v=xsiny,则z对x,y的二阶偏导就是先对U、V求解对X的一阶偏导,再对一阶偏里的U、V对Y求二阶偏导.