求二阶连续偏导数例题
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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z=f(u,v),u=xy,v=x^2-y^2 du\/dx=y,du\/dy=x dv\/dx=2x,dv\/dy=-2y dz\/dx=dz\/du*du\/dx+dz\/dv*dv\/dx =df\/du*y+df\/dv*2x dz\/dy=dz\/du*du\/dy+dz\/dv*dv\/dy =df\/du*x-df\/dv*2y
二阶连续偏导数怎么求啊,跪求大神,要步骤(
z=x2arctan(y\/x)+∫y\/(1+y2\/x2)dx-xy =x2arctan(y\/x)-xy+∫y-y3\/(x2+y2)dx =x2arctan(y\/x)-y2arctan(x\/y)+C
二阶偏导数连续取极大值为啥有等号
您好，二阶偏导数连续取极大值为啥有等号，具体情况如下：设函数Z＝f（x，y）在点（x。，y。）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（X。，y。）＝0，fy（X。，y。）＝0，令fxx（X。，y。）＝A，fxy（X。，y。）＝B，fyy（X。，y。）＝C，则f（x，y）在（x。，y。
很简单的二阶连续偏导数的题?
当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏...
二阶连续偏导数如何计算
二阶连续偏导数如何计算如下：首先，让我们回顾一下一阶连续偏导数的定义。对于一个二元函数f(x,y)，它的一阶连续偏导数可以通过对每个变量分别求导来计算。例如，对于函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2，我们可以通过分别对x和y求导来计算它的一阶连续偏导数。求导后，我们得到f对x的偏导数为2x+2y，f...
z=f(u,x,y),u=xe^y,其中f具有二阶连续偏导数,求z对x的二阶导
∂z\/∂x = f1' *∂u\/∂x + f2'= f1' * e^y +f2'所以z对x的二阶偏导数为 ∂^2 z\/∂x^2 = f11'' *e^y *e^y +f12'' *e^y +f21'' *e^y +f22''=f11'' *e^2y +(f12''+f21'') *e^y +f22''
设函数z=f(x,y)在某区域内有二阶连续偏导数,且f(x,2x)=x,f'x(x,2x...
关键在于将y=2x在求导中按复合函数来处理，首先在f(x,2x)=x两边对x求导数，根据复合函数求导法则，有f'x+f'y*(2x)'=1，即f'x+2f'y=1，由于f'x=x^2，所以f'y=(1-x^2)\/2，在上式两边对x求导，有f''yx+f''yy*(2x)'=-2x\/2，即f''yx+2f''yy=-x，由于f有二阶连续偏...
设f具有二阶连续偏导函数,求下列函数的二阶偏导数
假设f912件连续偏导数，求下列函数的二阶偏导数，那么根据一个求导的方法进行求导一层的求导
z=f(x+y,x)有连续的二阶偏导数,则a^2z\/ay^2=多少?
∂z\/∂y=f1(x+y,x)*∂(x+y)\/∂y+f2(x+y,x)*∂(x)\/∂y=f1(x+y,x)∂²z\/∂y²=∂f1(x+y,x)\/∂y=f11(x+y,x)
设函f数具有二阶连续偏导数, z=f(x2+y2,2xy),求∂z\/∂x,∂z\/...
求偏导数的时候 即将另一个未知数看着常数即可 那么这里求偏导数得到 ∂z\/∂x=f1'2x +f2'2y 同理∂z\/∂y=f1'2y +f2'2x
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 1.u=x+y,v=y^2-x^2,所以6u/6x=1,6v/6x=-2x.有二阶连续偏导数,故6^2f/6u6v-=6^2f/6v6u 6z/6x=6f/6u*6u/6x+6f/6v*6v/6x=6f/6u-2x*6f/6v; 二阶导数:6^2z/6x^2=6^2f/6u^2*6u/6x+6^2f/6u6v*6v/6x-2*6f/6v -2x(6^2f/6v6u*6u/6x+6^2f/6v^2*6v/6x) =6^2f/6u^2-2x*...
僪盲18928004912问： 设f具有二阶连续偏导数,z=f(x+y,xy),求zxx,zxy. - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 由z=f(x+y, x y),得zx=f′1+ 1 yf′2 因此 zxx=(f′1+ 1 yf′2)x=f″11+ 1 yf″12+ 1 yf″21+ 1 y2f″22=f″11+ 2 yf″12+ 1 y2f″22 zxy=(f′1+ 1 yf′2)y=f″11- x y2f″12- 1 y2f′2+ 1 yf″21- x y3f″22=f″11+ y-x y2f″12- 1 y2f′2- x y3f″22
僪盲18928004912问： 求二阶连续偏导数设z=f(xy,y),f的二阶偏导数连续,求其所有二阶连续偏导数求大神详细解答 谢谢 - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 1、本题的求导方法是链式求导法则; 2、具体解答如下,如有疑问,欢迎追问;有问必答、有疑必释、有错必纠;3、若看不清楚,请点击放大,图片将更加清晰.
僪盲18928004912问： 一道关于二阶连续偏导数的题若:Z乘以[α(z)]^2/α(x)α(y)=α(z)/α(x)乘以α(z)/α(y) 成立证明Z=Z(x,y)是两个一元函数的乘积?设u=α(z)/α(x) 则原式为 Z乘α(u)/α(y)=u乘α(z)... - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 对于第一个疑问,我认为确实不必两个都为0 但是它讨论的情况就是z=0,我觉得这就可以看成两个一元函数啊f(x)=0和f(y)或者是f(x)和f(y)=0 反正还是两个一元函数的乘积啊 对于第二个疑问,我们这里一般不用那么严密,这里u不能为0也不必单独考...
僪盲18928004912问： 设z=f(xy,x - y),其中f具有二阶连续偏导数,求(əz^2)/(əxəy) - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] əz/əy=xf1(xy,x-y)-f2(xy,x-y) a^2z/(əxəy)=ə(əz/əy)/əx =f1(xy,x-y)+x(yf11(xy.x-y)+f12(xy,x-y))-yf21(xy,x-y)-f22(xy,x-y) =f1(xy,x-y)+xyf11(xy,x-y)+xf12(xy,x-y)-yf21(xy,x-y)-f22(xy,x-y)
僪盲18928004912问： 一道二阶偏导数的题!设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求二阶混合偏导 在x=1,y=1处的值.如图所... - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 手机看不清楚,我作一遍.设u=xy,v=yg(x),那么:z'(x)=f'u*y+f'v*yg'(x) z＂(xy)=f'u+f＂u*yx+g'(x)(f'v+yf＂v*g(x)).代入得:z＂xy(1)=f'u(1)+f＂u(1) 注:x=1为极值g'(1)=0.
僪盲18928004912问： 大学高数二阶连续偏导数求解啊!设函数f(x,y)有二阶连续偏导数,且f(0.0)=0 当x的平方加上y的平方小于等于9时有gradf(x,y)的绝对值小于等于1 证明:f(1,2)... - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 解决方案: 令z =反正切(U / V),U = X + Y,V = 1-XY 部分Z / X =部分部分的z /ü部分部分U / X +部分部分 /部分部分VV /一部分的X = 1 /(1 +(U / V)^ 2)(1 / V)+(1 /(1 +(U / V)^ 2))(-U / V ^ 2)(-Y) = V /(V ^ 2 + U ^ 2)+乌伊/(U ^ 2 + V ^ 2) = 1 /(1 + X ^ 2) ①部...
僪盲18928004912问： 设f具有连续的二阶偏导函数,求下列函数的二阶偏导数 Z=f(xy^2,x^2y) - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 设u=xy^2 ;v=x^2y ; 二阶偏导数:(f'u)*y^2 + 2(f'u)xy + 2(f'v)xy + (f'v)x^2 不好好学习啊同志
僪盲18928004912问： 求偏导数z=f(xy,x^2+y^2)具有二阶连续偏导数求a^2z/ax^2 a^2z/axay - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] Dz/Dx = f1*y + f2*(2x) = y*f1 + 2x*f2,D²z/Dx² = (D/Dx)(y*f1 + 2x*f2) = [y*(y*f11 + 2x*f12)+ 2*f2 + 2x*(y*f21 +2x*f22)] = ……,D²z/DxDy = (D/Dy)(y*f1 +2x*f2) = [f1 + y*(x*f11 + 2y*f12)+ ...
僪盲18928004912问： 设Z=f(x - y,xsiny),其中f具有二阶连续偏导函数,求(δ^2乘z)/δxδy - ？
青龙满族自治县艾麦回答：[答案] 先令u=x-y,v=xsiny,则z对x,y的二阶偏导就是先对U、V求解对X的一阶偏导,再对一阶偏里的U、V对Y求二阶偏导.
