极限tanx

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

","gnid":"927890e86171bc27a","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"549","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01a453a8c9c6122d99.jpg","width":"941"}]}],"original":0,"pat":"art_src_0,otherc,fts0,sts0","powerby":"cache","pub_time":1695293494000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/64bd8e98e83082513305002748ec4158","redirect":0,"rptid":"ec94807e0f0a764b","rss_ext":[],"s":"t","src":"学长爱升本","tag":[{"clk":"keducation_1:高等数学","k":"高等数学","u":""},{"clk":"keducation_1:天津","k":"天津","u":""}],"title":"2024年天津专升本文化课考试高等数学新大纲（2023年9月修订）

---

求极限,tanx可以用等量无穷小替换为x吗
可以啊。同样与x是等价无穷小的还有sin(x), ln(1+x)等。

tanx=kπ 2\/π,tanx的极限为什么是无穷?
这是因为 tanx＝(sinx)\/(cosx)，而 sin(kπ+π\/2)等于1或-1，不等于0，cos(kπ+π\/2)＝0，其中k∈Z，所以 lim(x->kπ+π\/2)tanx＝∞.

tanx的间断点的类型有哪些?
当x=0时，函数没有意义，但x→0时有极限为1，故是可去间断点。当x=nπ±π\/2，（n∈Z）tanx没有意义，也是间断点，是第二类间断点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃...

极限tanx\/x怎么求
极限 tanx\/x怎么求

x趋向于π\/2时,tanx的极限是无穷吗?结果是无穷极限还存在吗?左右极限分 ...
Ⅰim（x→兀\/2负）tanx=十∝ lim（x→兀\/2正）tanx=一∝ 无穷大（正无穷大、负无穷大）它表达的是无限大（正无穷大、负无穷大）的意思，它并不是一个确定的数，当然是极限不存。用∝（+∝，一∝）表示极限的值与用文字“不存在”来表示是一个意思，就是表示这个极限值不存在。完善 极限思想...

tanx为什么大于等于零
tanx是以2π为周期的函数，当k=偶数时，设k=2n 设x=2nπ+z，0≤z＜π\/2 tanx=tan(2nπ+z)=tanz z在第一象限，tanz＞0，所以tanx＞0 当k=奇数时，设k=2n+1 设x=2nπ+y+π，0≤y＜π\/2，y在第一象限 tanx=tan(2nπ+y+π)=tan(y+π）根据公式tan(A+B) = (tanA+tanB...

tanx不能取的值
不能取虚数值。正切函数，对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。形式是f(x)=tanx　正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性。定义域：｛x|x≠...

tanx当x趋于0时的极限是多少,怎么求
法一：改写成正余弦函数后，结合连续性求极限；法二：借助图像，观察左右极限得之；法三：由于正切函数在“0”的附近是连续的，由连续性直接将x=0代入tanx得极限值；4.前两种方法如图所示：

tanx~ x的极限存在吗?
解：lim(x→0)tanx\/x =lim(x→0)(sinx\/x)*1\/cosx sinx\/x极限是1,1\/cosx极限也是1 所以lim(x→0)tanx\/x=1 所以tanx~x 等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小...

tanx泰勒展开式是什么?
tanx的泰勒展开式：tanx=x+x^3\/3+（2x^5）\/15+（17 x^7）\/315+（62 x^9）\/2835+O[x]^11（|x|<π\/2）。泰勒公式为一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有...

彭钢13087331040问： 高数极限tanx怎么化解 - ？
番禺区利塞回答：[答案] y=(1/x)^tanxlny=tanxln(1/x)=-tanxlnx=-lnx/cotxx趋于0+则这是∞/∞型,可以用洛必达法则分子求导=-1/x分母求导=-csc²x所以=1/x*csc²x=sin²x/x是0/0型,继续用洛必达法则分子求导=2sinxcosx=sin2x分母...

彭钢13087331040问： X趋向于无穷大,TANx的极限是2分之派?或者是TAN2分之派? - ？
番禺区利塞回答：[答案] TAN(x)在x->+∞时是发散的,不存在极限.

彭钢13087331040问： 高等数学 极限(tanx)的sinx次方的极限是多少?X趋于无穷 - ？
番禺区利塞回答：[答案] 设y=(tanx)^sinx 则:lny=sinx*ln(tanx) lim(x->0)lny=lim(x->0)[ln(tanx)/(1/sinx)] =lim(x->0)[(1/tanx)*(1/(cosx)^2)/(-cosx/(sinx)^2)] =lim(x->0)[-(sinx)^2/tanx] =lim(x->0)[-sinxcosx] =0 ln[lim(x->0)y]=0 lim(x->0)y=1 (tanx)的sinx次方的极限=1

彭钢13087331040问： 当x趋于π/2时,tanx的极限是无穷,用极限的精确定义怎么证明 - ？
番禺区利塞回答：[答案] lim(x→a)f(x) = ∞ 对任意 G>0,存在 η>0,使得对任意 00,要使 |tanx| = |cot(π/2-x)| > G, 只需 |x-π/2|0,则对任意 |x-π/2||cot[arccotG]| = G, 故得证.

彭钢13087331040问： 极限tanx除以x等于1 - ？
番禺区利塞回答：[答案] x->0时,tanx,x都趋向于0 利用洛必达法则 上下求导 =1/(cosx)^2 x->0时,上式为1

彭钢13087331040问： 极限tanx除以x等于1 - ？
番禺区利塞回答： x->0时,tanx,x都趋向于0 利用洛必达法则 上下求导 =1/(cosx)^2 x->0时,上式为1

彭钢13087331040问： 请问如何求解这个极限?tanxLim(sinx) 其中x→∏/2就是求sinx的tanx次方的极限,其中的x趋于∏/2,请问如何求解? - ？
番禺区利塞回答：[答案] 答案是1 因为这是1^∞型,对(sinx)^(tanx)取对数的tanxlnsinx=y 这个是0*∞型,y=(lnsinx)/(cosx/sinx)用洛必达法则 lim(x->pi/2)y=lim(x->pi/2)d(lnsinx)/d[(cosx/sinx)] =lim(x->pi/2)-sin2x/2=0 所以lim(x->pi/2)(sinx)^(tanx)=e^0=1

彭钢13087331040问： 求lim(x→0)tanx/3x的极限 - ？
番禺区利塞回答：[答案] tanx=sinx/cosx x->0 cosx->1 tanx->sinx tanx/3x->sinx/3x sinx/x->1 所以 原式=1/3

彭钢13087331040问： 高数函数和极限y=x/tanx.在x=kπ,x=kπ+π/2 时是什么间断点?怎样判断? - ？
番禺区利塞回答：[答案] 判断方法:1、函数的左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点] 第一类间断点中,左右极限存在但不相等的成为跳跃间断点 左右极限存在,且相等的称为可去间断点 2、除了第一类间断点都称为第二类间断点 x=kπ时的x=0时函数的极限存在等于...

彭钢13087331040问： 求函数的极限tanx和sinx的差除以sinx的3次方 x趋近0 求极限 请给出解答方法! - ？
番禺区利塞回答：[答案] tanx=sinx/cosx tanx-sinx=sinx(1/cosx-1)上下同时除以sinx,再应用罗比达法则上下同时求导,可得结果为1/2

---