微分方程特解详细步骤
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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1、第七题,是二重积分,不是微分方程的特解问题。2.第七题,积分查拆开成两个积分,第一个积分用对称性,第二个积分用轮换对称性,然后,用极坐标系计算。具体的求第七题的步骤见上。3,第四题, 微分方程的特解算的方法,是将非齐次项拆开成两项,分别用微分方程的结论可得特解形式,然后相加...
最后一个微分方程求特解的题,请给出详细步骤,谢谢!!
设x^2=u,即原式化为dy\/du=y+u 设y+u=t,dy\/du=dt\/du-1 故dt\/du-1=t ln|t+1|=u+C 即通解为ln|y+x^2+1|=x^2+C 带入x=y=1,得C=ln3-1 故特解为ln|y+x^2+1|=x^2+ln3-1
...该微分方程满足所给初始条件的特解,希望步骤详细一点,谢谢
解:∵xlnxdy+(y-lnx)dx=0 ==>(lnxdy+ydx\/x)-lnxdx\/x=0 (等式两端同除x)==>d(ylnx)-lnxd(lnx)=0 ==>∫d(ylnx)-∫lnxd(lnx)=0 (积分)==>ylnx-(lnx)^2\/2=C (C是积分常数)==>y=C\/lnx+lnx\/2 ∴此方程的通解是y=C\/lnx+lnx\/2 ∵y(e)=1 ∴代入通解,得C=1...
解微分方程的步骤有哪些?
解微分方程的步骤可以分为以下几个主要步骤:1. 确定微分方程的类型:首先,需要识别所面对的是哪种类型的微分方程,比如是一阶、二阶,还是更高阶的方程,以及它是线性还是非线性的,常系数还是变系数。2. 求解对应的齐次方程:对于非齐次线性微分方程,先求解其对应的齐次方程(即不含非零常数的方程...
求微分方程的通解或在给定初始条件下的特解 求详细的解题过程 不要跳步...
∴原方程的通解是y=(e^x+C)x^2 ∵y(1)=0,则代入通解得C=-e ∴原方程满足所给初始条件的特解是y=(e^x-e)x^2。(6)∵y'+ycosx=sinxcosx ==>dy+ycosxdx=sinxcosxdx ==>e^(sinx)dy+ycosxe^(sinx)dx=sinxcosxe^(sinx)dx (等式两端同乘e^(sinx))==>e^(sinx)dy+yd(e...
微分方程如何求特解!
该微分方程的特征方程是:r^2-5r+6=0 解得:r=2或r=3 而λ=2是特征方程的单根,所以应设特解为:y*=x*(ax+b)e^(2x)总结:对于微分方程的等式右端中的f(x)=e^kx,1.若k不是特征放方程的根,则特接应设为y*=Qm(x)*e^kx,2.若m 是特征方程的单根,则特解应设y*=xQm(x)*...
求微分方程满足初始条件的特解,求详细步骤和过程分析,有什么定理公式吗...
解:∵dx\/y+dy\/x=0 ==>xdx+ydy=0 ==>∫xdx+∫ydy=0 ==>x^2\/2+y^2\/2=C\/2 (C是积分常数)==>x^2+y^2=C ∴此方程的通解是x^2+y^2=C ∵y(3)=4 ∴代入通解,得C=25 故所求特解是x^2+y^2=25。
微分方程的特解
例:λ^2-5λ+6=0,是为特征多项式。λ=2是相应齐次方程的特征方程的单根。所以非齐次方程的一个特解可以设为y=x(ax+b)e^(2x)。λ^2-5λ+6=0,是为特征多项式。 λ=2是相应齐次方程的特征方程的单根, (λ-3)(λ-2)=0 λ=3或λ=2 等式右端中的f(x)=e^kx=e^2x 其中k=...
求微分方程通解,要详细步骤
1)特征方程为r²-5r+6=0, 即(r-2)(r-3)=0, 得r=2, 3 设特解y*=a, 代入方程得:6a=7, 得a=7\/6 故通解y=C1e^(2x)+C2e^(3x)+7\/6 2) 特征方程为2r²+r-1=0, 即(2r-1)(r+1)=0, 得r=1\/2, -1 设特解y*=ae^x, 代入方程得:2a+a-a=2, 得a=...
f''(x)+f(x)=x^2特解怎么设?
3、对特解表达式求二阶导数,并代入f"(x)+f(x)=x²方程中,并比较其对应的系数 4、解由系数组成的方程组,解得系数A、B、C 5、最后求得f"(x)+f(x)=x²方程的通解 【求解过程】【本题知识点】1、二阶微分方程。对于一元函数来说,如果在该方程中出现因变量的二阶导数,我们...
崇义县诺沛回答: 用待定系数法:对应齐次方程的特征方程:t^2-2t=0 特征根为:t1=0 t2=2 f(x)为:e^(tx)P(x)型,t=0 t=0是特征方程的单根 设 y*=x(ax+b)=ax^2+bx y*'=2ax+b y*''=2a2a-4ax-2b=3x+1-4a=3 2a-2b=1 a=-3/4 b=-5/4 ∴特解为:y*=-3/4 x^2-5/4 x
允质15914978457问: 求微分方程的特解 y' - y=cosx x=0,y=0 要过程.... - ?
崇义县诺沛回答: 设特解y=asinx+bcosx y'=acosx-bsinx y'-y=(acosx-bsinx)-(asinx+bcosx)=(-a-b)sinx+(a-b)cosx=cosx 比较对应项系数,得-a-b=0,a-b=1 解得a=1/2,b=-1/2 所以特解y=(1/2)*sinx-(1/2)*cosx
允质15914978457问: 微分方程这个特解是怎么求出来的 - ?
崇义县诺沛回答: 求特解常用的方法是变系数法.将齐次方程通解的常数,也看成自变量的函数,求导,代入原方程,解出这个由常数变成的函数,就可以得到特解.
允质15914978457问: 求微分方程 dx/y+dy/x=0 满足条件y(3)=4的特解? 求过程! - ?
崇义县诺沛回答:[答案] dx/y+dy/x=0 化为:x dx + y dy = 0 积分:x²/2 + y²/2 = C1 即 x² + y² = C y(3)=4,带入上式,得:C = 25 特解为:x² + y² = 25
允质15914978457问: 知道一阶微分方程的通解如何求特解 - ?
崇义县诺沛回答:[答案] 先设特解,根据等号右边的式子设出特解的形式,然后代入解就可以了. 做题时常见的几种是: 右边是ccosx或csinx型,设特解为y=acosx+bsinx 右边是ce^x型,设特解为y=ae^x 右边是xe^x型,设特解为y=x(ax+b)e^x
允质15914978457问: 微分方程通解特解 - ?
崇义县诺沛回答: 1.求y'+y/x=sinx/x的通解解:∵y'+y/x=sinx/x==>xdy+ydx=sinxdx==>d(xy)+d(cosx)=0==>xy+cosx=C (C是常数)∴原方程的通解是xy+cosx=C. 2.求x^2+xy'=y,y(1)=0的特解解:∵x^2+xy'=y==>x^2dx+xdy-ydx=0==>dx+(xdy-ydx)/x^2=0==>dx+d(y/x)=0==>x+y/x=C==>y=Cx-x^2∴原方程的通解是y=Cx-x^2∵把y(1)=0代入通解,得C=1∴原方程满足所给初始条件的特解是y=x-x^2.
允质15914978457问: 非线性齐次微分方程的特解怎么求的?? - ?
崇义县诺沛回答: 把y=Cxe^(-x)的一阶导数与二阶导数代入非齐次方程,求得C=-2.这个求导的过程一般不用完全写出来,只写代入方程后得到的等式即可
允质15914978457问: 微分方程满足初始条件的特解怎么求 - ?
崇义县诺沛回答:[答案] 分离变量: dy/(y-3)=-dx/x 积分:ln|y-3|=-ln|x|+C1 即y-3=C/x 代入y(1)=0,得:-3=C 因此特解为y=3-3/x
允质15914978457问: 微分方程满足初始条件的特解怎么求 - ?
崇义县诺沛回答: 先求出通解,之后把初始条件代入通解中,求出任意常数的值,把这个值替换到通解中的任意常数处,就得到特解了.
允质15914978457问: 如何求解下面的微分方程的特解y' - y=2cos2x,y(0)=0给出具体积分过程 - ?
崇义县诺沛回答:[答案] 先解 y'-y=0 得 y=C e^x 设 y'-y=2cos2x 的一个特解为 y1= a cos2x +bsin2x 代入方程: -2a sin2x +2b cos2x - acos2x - b sin2x =2cos2x 2a+b =0 ,2b-a =2 a= - 2/5 b= 4/5 y=Ce^x -(2/5) cos2x + (4/5)sin2x y(0)=0 => C=2/5 y=(2/5)e^x -(2/5) cos2x + (4/5)sin2x