微分方程如何求特解!
∵齐次方程y''-5y'+6y=0的特征方程是r²-5r+6=0,则r1=2,r2=3
∴齐次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=(Ax²+Bx)e^(2x)
代入原方程
==>A=-1/2,B=-1
∴原方程的一个解是y=-(x²/2+x)e^(2x)
于是,原方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x)-(x²/2+x)e^(2x) (C1,C2是积分常数
∴C1=3,C2=2
故原方程在初始条件y(0)=5,y'(0)=1下的特解是y=3e^(2x)+2e^(3x)-(x²/2+x)e^(2x)
即y=(3-x-x²/2)e^(2x)+2e^(3x)。
扩展资料:
微分方程的约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
唯一性
存在性是指给定一微分方程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
参考资料来源:百度百科--微分方程
r^2-5r+6=0
解得:r=2或r=3
而λ=2是特征方程的单根,所以应设特解为:
y*=x*(ax+b)e^(2x)
总结:对于微分方程的等式右端中的f(x)=e^kx,
1.若k不是特征放方程的根,则特接应设为y*=Qm(x)*e^kx,
2.若m 是特征方程的单根,则特解应设y*=xQm(x)*e^kx,
3.若m是特征方程的重根,则特解应设为y*=x^2Qm(x)*e^kx.。
以上Qm(x)=a0*x^m+a1*x^(m-1)+a2*x^(m-2)+......+am*x^0
λ^2-5λ+6=0,是为特征多项式。
λ=2是相应齐次方程的特征方程的单根,
所以非齐次方程的一个特解可以设为y=x(ax+b)e^(2x)
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怎么求这个微分方程的特解
∴原方程的一个解是y=-(x²\/2+x)e^(2x)于是,原方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x)-(x²\/2+x)e^(2x) (C1,C2是积分常数)∵y(0)=5,y'(0)=1 ==>C1+C2=5,2C1+3C2-1=11 ∴C1=3,C2=2 故原方程在初始条件y(0)=5,y'(0)=1下的特解是y=3e^(2x)+2e^(...
微分方程求特解
x=1时,y=1吗?分离变量,方法如下图所示,请作参考,祝学习愉快:y=x或y=1\/x
微分方程求特解
你的计算正确 方法如下图所示,请认真查看,祝学习愉快:
微分方程求特解
(x+1)dy\/dx=2\/e^y-1 dy\/(2\/e^y-1)=dx\/(x+1)e^ydy\/(2-e^y)=dx\/(x+1)d(2-e^y)\/(2-e^y)=-dx\/(x+1)积分:ln|2-e^y|=-ln|x+1|+C1 e^y-2=C\/(x+1)代入x=0, y=0, 得: 1-2=C\/1, 得C=-1 因此特解为e^y=2-1\/(x+1)
求微分方程的特解
求微分方程 dr\/dθ=r,满足初始条件r(0)=2的特解;解:分离变量得 dr\/r=dθ;积分之得lnr=θ+lnc;故得通解为:r=ce^θ;代入初始条件:θ=0时r=2;得c=2;故特解为:r=2e^θ;
如何求解下面的微分方程的特解
先解 y'-y=0 得 y=C e^x 设 y'-y=2cos2x 的一个特解为 y1= a cos2x +bsin2x 代入方程:-2a sin2x +2b cos2x - acos2x - b sin2x =2cos2x 2a+b =0 , 2b-a =2 a= - 2\/5 b= 4\/5 y=Ce^x -(2\/5) cos2x + (4\/5)sin2x y(0)=0 => C=2...
微分方程求特解
dy\/dx=e^(x-y)dy\/dx=e^x\/e^y e^ydy=e^xdx 两边积分得 e^y=e^x+C 代入(0,0)得 ,C=0 e^y=e^x
求微分方程特解
对应齐次方程为 y''-2y'=0 特征方程为 r^2-2r=0 其根为:r1=0,r2=2 所以,对应齐次方程的通解为:Y=C1+C2·e^(2x)设方程的一个特解为:y*=Ax·e^(2x)代入,解得:A=1\/2 所以,方程的一个特解为:y*=x\/2·e^(2x)于是,方程的通解为:y=C1+C2·e^(2x)+x\/2·e^(2x...
微分方程的特解怎么算
1、第七题,是二重积分,不是微分方程的特解问题。2.第七题,积分查拆开成两个积分,第一个积分用对称性,第二个积分用轮换对称性,然后,用极坐标系计算。具体的求第七题的步骤见上。3,第四题, 微分方程的特解算的方法,是将非齐次项拆开成两项,分别用微分方程的结论可得特解形式,然后相加...
求微分方程的特解
求微分方程 y''=e^(2y)满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解 解:设 y'=p,则y''=dp\/dx=(dp\/dy)(dy\/dx)=pdp\/dy;于是有pdp\/dy=e^(2y); pdp=e^(2y)dy=(1\/2)e^(2y)d(2y);故 p²=e^(2y)+c₁;代入初始条件:x=0时y=0,y'=p=0,故c₁=-1;...
出飞眩晕: 求微分方程满足初始条件的特解dy/dx = - (x/y) ,y=▏(x=4 )=0 解:分离变量得:ydy=-xdx,积分之得 y²/2=-x²/2+C,当x=4时y=0,故有-8+C=0,C=8 故得特解 y²=-x²+16.
宽城满族自治县17365515807: 一阶微分方程的特解怎么求,只要一个例题就好, - ?
出飞眩晕:[答案] 比如y''+y=0,通解为y=C1*cosx+C2*sinx,其中C1、C2为任意积分常数,故 当取C1=1,C2=0时,有y=cosx,代入可知,y=cosx是原方程的一个特解. 事实上,你可以检验,y=0,y=sinx,y=sin(x+1),y=3cos(x+2)等等都是方程的特解.
宽城满族自治县17365515807: 如何求微分方程特征方程 - ?
出飞眩晕:[答案] 如何求微分方程特征方程: 如 y''+y'+y=x(t) (1) 1,对齐次方程 y''+y'+y=0 (2) 作拉氏变换, (s^2+s+1)L(y)=0 特征方程:s^2+s+1=0 2,设齐次方程通解为:y=e^(st),代入(2) (s^2+s+1)e^(st) = 0 e^(st)不恒为0,只有: s^2+s+1 = 0 此即特征方程. ...
宽城满族自治县17365515807: 微分方程这个特解是怎么求出来的 - ?
出飞眩晕: 求特解常用的方法是变系数法.将齐次方程通解的常数,也看成自变量的函数,求导,代入原方程,解出这个由常数变成的函数,就可以得到特解.
宽城满族自治县17365515807: 微分方程满足初始条件的特解怎么求 - ?
出飞眩晕:[答案] 分离变量: dy/(y-3)=-dx/x 积分:ln|y-3|=-ln|x|+C1 即y-3=C/x 代入y(1)=0,得:-3=C 因此特解为y=3-3/x
宽城满族自治县17365515807: 知道一阶微分方程的通解如何求特解 - ?
出飞眩晕:[答案] 先设特解,根据等号右边的式子设出特解的形式,然后代入解就可以了. 做题时常见的几种是: 右边是ccosx或csinx型,设特解为y=acosx+bsinx 右边是ce^x型,设特解为y=ae^x 右边是xe^x型,设特解为y=x(ax+b)e^x
宽城满族自治县17365515807: 微分方程特解设法规律 ?
出飞眩晕: 微分方程特解设法规律:Ay''+By'+Cy=e^mx.特解:y=C(x)e^mx.Ay''+By'+Cy=asinx+bcosxy=msinx+nsinx.Ay''+By'+Cy=mx+ny=ax. 解法:1、通解=非齐次方程特解+齐...
宽城满族自治县17365515807: 求微分方程的特解,求详细,求文字说明,非常感谢! - ?
出飞眩晕: y'=e²ˣ⁻ʸ eʸdy=e²ˣdx 等式两边同时积分 eʸ=½e²ˣ+C y=ln(½e²ˣ+C) x=0,y=0代入,得ln(½e⁰+C)=0 C+½=1 C=½ y=ln[½(e²ˣ+1)]=ln(e²ˣ+1) -ln2
宽城满族自治县17365515807: 求微分方程的特解> - ?
出飞眩晕:[答案] 设y'=p,则y''=dp/dy*dy/dx=pdp/dy2y*pdp/dy=1+p^22pdp/(1+p^2)=dy/yln(1+p^2)=ln|y|+C1得1+p^2=Cy因为y=1,y'=-1所以C=2故y'=-√(2y-1)《想一想,为什么这里要带负号》dy/√(2y-1)=-dx√(2y-1)=-x+C'因为x=1,y=1所以C'...
宽城满族自治县17365515807: 求下列微分方程的特解 - ?
出飞眩晕: (1)xy'+y-e^x=0 (xy)'=e^x,通解:xy=e^x+C, y(a)=b,, ab-e^a=C 特解:xy=e^x+ab-e^a (2)y'-(2/x)y=(1/2)x 由通解公式:通解:y=Cx^2+x