平面一般方程的法向量
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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我们知道ax+by+cz+d=0是平面的一般方程,它的法向量为(a,b,c)或(-a,-b,-c)(因为这两个是方向相反的),你这里的i和k分别是(1,0,0)和(0,0,1)。至于如何带入,若(x1,y1,z1)在ax+by+cz+d上,则有ax1+by1+cz1+d=0。答案是B。
已知一平面的方程式,如何求其法向量
变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0然后法向量={A,B,C}
平面的一般式方程abc代表什么
平面方程abcd的意义:向量(A,B,C)是该平面的法向量,至于D就是满足所有点在平面上的后缀。可以这样说,你确定ABC你就确定一组平行平面族。你确定了D你就确定了唯一的平面。ABC定平面的属性,D定位。
已知平面方程怎么求法向量
10. 尽管每个平面都有无数个可能的法向量,但它们都具有相同的垂直性质。扩展内容:11. 在某些情况下,曲面可能没有切平面,这意味着在这些点上不存在法线。12. 例如,圆锥的顶点和底面边缘处的点就没有法线,但在其他大多数点上,法线是存在的。13. 任何三元一次方程的图形都是一个平面,其中方程...
平面方程的几种形式
1、点法式方程:这种形式的平面方程是由一个点和一个法向量确定的,有一个已知点P(x0,y0,z0)在平面上,知道平面的法向量为n=(A,B,C),那么点法式方程可以表示为:n乘(r-r0)=0,其中r和r0分别是平面上任意一点和已知点P的位置向量。2、一般式方程:平面的一般式方程是最基本的表达...
...设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,那它的法向量是(A,B,C)吗,有这个规律么...
有的,这是标准的方法,你的方程为:Ax+By+Cz+D=0 是平面的一般方程,x、y、z的系数就是平面的一个法向量 但不是唯一的.
已知平面法向量求法
Ax+By+Cz+D=0 ,三元一次方程就是一个平面的一般方程。一个平面方程的法向量就是三元一次方程中x,y,z的系数组合向量,即:向量n={A,B,C}就是Ax+By+Cz+D=0的法向量.也可以写成:法向量n=A向量i+B向量j+C向量k,向量i,向量j,向量k分别是x,y,z的单位向量。以x+2y+z=4为例,它的...
平面x+y+z=0的法向量怎么算出来的。
任意一个平面:ax+by+cz+d=0,取一组数x0,y0,z0满足该方程,则:ax0+by0+cz0+d=0,两式相减得:a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,这就是平面的点法式方程 表示过点(x0,y0,z0),以n=(a,b,c)为法线的平面。ax+by+cz+d=0就是平面的一般方程 记住:方程中x,y、z的系数就...
已知平面的方程,怎么求平面的法向量?
变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0,平面的法向量为(A,B,C)。证明:设平面上任意两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)∴ 满足方程:Ax1+By1+Cz1+D=0,Ax2+By2+Cz2+D=0 ∴ PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1),该矢量满足A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0 ∴ 矢量PQ⊥矢量(...
空间平面一般式的几何意义及点面距方程的推导
D的秘密:平面方程Ax+By+Cz+D=0中的D并非表面,它实际上是法向量{A, B, C}与原点到平面的投影乘积,这赋予了方程更丰富的几何内涵。 几何意义的揭示: Ax+By+Cz,如同原点与平面的触碰,是法向量模与原点到平面距离的乘积,是平面与空间的桥梁。 三、点面距方程的推导之旅 从一般到特...
汾西县牛痘回答:[答案] 空间坐标系内,平面的方程均可用三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的一般方程 那么它的法向量为(A,B,C) 你可以从平面的点法式看出来: n·MM'=0,n=(A,B,C),MM'=(x-x0,y-y0,z-z0) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 三点求平面可以取向量积为法线 任一三元...
谏寒19726043446问: 平面法向量求法 - ?
汾西县牛痘回答: 有的,这是标准的方法,你的方程为:Ax+By+Cz+D=0 是平面的一般方程,x、y、z的系数就是平面的一个法向量 但不是唯一的.
谏寒19726043446问: 平面法向量. - ?
汾西县牛痘回答: 其实一个平面有无数法向量,这些法向量都平行. 任意一个平面:ax+by+cz+d=0,取一组数x0,y0,z0满足该方程,则: ax0+by0+cz0+d=0,两式相减得:a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,这就是平面的点法式方程 表示过点(x0,y0,z0),以n=(a,b,c)为法线的平面.ax+by+cz+d=0就是平面的一般方程 记住:方程中x,y、z的系数就是该平面的一个法向量 你的方程就是这样的,故平面的一个法向量:n=(1,3,2),但这不是唯一的 像3n=(3,9,6)也是.
谏寒19726043446问: 平面方程的法向量的方向余弦是啥意思? - ?
汾西县牛痘回答:[答案] 方向余弦就是一个向量和x轴、y轴、z轴夹角的余弦值(如果是平面的话就是和x轴、y轴夹角余弦).有一个性质:所有方向余弦的平方和等于1.平面方程的法向量的方向余弦就是平面方程的法向量与x、y、z三个坐标轴夹角余弦值,有三个.
谏寒19726043446问: 空间向量中,如何求平面的法向量 - ?
汾西县牛痘回答: 已知一个平面的两个法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均为已知 设平面法向量为n=(x,y,z) n为平面的法向量则 n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0 n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0 两个方程,三个未知数x,y,z 故设出其中一个,例如设x=1(不能为0),从而求出y,z的值,即可得到平面的一个法向量,因为平面的法向量有无数个,且模可以任意,故可以这样假设
谏寒19726043446问: 已知一平面方程 求该方程法向量 如何求?求详解 - ?
汾西县牛痘回答:[答案] 设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则其法向量为(A/√(A²+B²+C²),B/√(A²+B²+C²),C/√(A²+B²+C²))
谏寒19726043446问: 怎样求平面法向量,请说明具体方法!谢谢! - ?
汾西县牛痘回答: 向量BA=(1,0,-1),向量BC=(0,1,1) 设法向量p=(a,y,z) p与BA,BC都垂直 x-z=0,y+z=0 x=-y=z 取一组非零解,x=1,y=-1,z=1 所求法向量(1,-1,1) 知道平面里的2条向量后、都垂直、、
谏寒19726043446问: 已知一平面的方程式,如何求其法向量 - ?
汾西县牛痘回答:[答案] 变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0然后法向量={A,B,C}
谏寒19726043446问: 平面方程和法向量的关系及证明 - ?
汾西县牛痘回答: 所谓平面的法向量,就是与平面垂直的一个向量,它就是由平面方程中三个未知数的系数所组成的向量.它们的关系可如此证明:设向量(A,B,C)是一个过点(x0,y0,z0)的一个法向量,则它与平面上的所有向量均垂直.平面上的向量均可表示为:(x-x0,y-y0,z-z0),因为向量(A,B,C)与向量(x-x0,y-y0,z-z0)垂直,所以其数量积为0,即:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0整理得:Ax+By+Cz+D=0可见,标准方程中,三个未知数的系数所组成的向量(A,B,C),就是平面的一个法向量.
谏寒19726043446问: 什么是平面的方程?它的法向量怎么求? - ?
汾西县牛痘回答:[答案] 空间中形如 Ax+By+Cz+D=0 的方程确定一个平面. 他的法向向量就是,向量(A,B,C)