垂直于x轴的平面方程

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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平面方程和直
在三维空间的坐标框架中，平面的数学描述多种多样。首先，平面可以用三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0来代表，这是平面的一般式方程，适用于所有情况。当平面与坐标轴相交于点P(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c)时，我们可以使用截距式方程x\/a+y\/b+z\/c=1，它直接反映了这些交点的坐标比例关系。

过原点(0,0,0)且垂直于向量(1,1,1)的平面方程为填空题
直接写！！！x+y+z=0 【过原点的方程一般型为：Ax+By+Cz=0 (考虑法向量为（1,1,1）即。。。)法向量为（1,1,1)的一般型为：x+y+z+D=0 （考虑过原点即可推出D=0)无论从哪个开始，附加另一个条件，即能很快推出结果！】

...x\/0=y\/4=z\/(-3) ,则该直线必定过原点且垂直于x轴。为啥?来个详解...
空间直线的标准方程为：(x-x0)\/X =(y-y0)\/Y =(z-z0)\/Z。该直线过点(x0,y0,z0)，它的方向矢量为(X,Y,Z)。在本题中，直线经过(0,0,0)点，也就是经过原点。方向矢量(0,4,-3)，也就是和x轴垂直。空间方向 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直...

AB的连线平行于x轴
先画图，首先根据AB两点的坐标列出两个点对应的方程Ya=3（根据A点），Xb=4（根据B点）然后根据每一问再列方程：1.得出X=-Ya，Y=-Xb得x=-3,y=-4。2.直接得出X=Xb=4，Y为不等于3的任意实数 3．直接得出Y=Ya=3，X为不等于4的任意实数 4.得出X=Ya，Y=-Xb,得x=3,y=4 5.直接得出...

垂直于x轴的直线的斜率
2、斜率的定义：在二维平面上，一条直线的斜率是描述直线相对于水平轴的倾斜程度的重要参数。对于直线上的两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），直线的斜率可以通过以下公式计算：斜率=（y2-y1）\/（x2-x1）这个公式称为两点公式或斜率公式。3、斜率的计算方法：直接计算根据定义，可以直接使用两点公式计算...

直观图中垂直于x轴
45°（或135°）；原长度不变；原来的一半

空间坐标系里直线的标准方程如何得来?
空间直角坐标系：坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，y轴位于赤道面上，按右手系与x轴垂直。简记方法，右手系：大拇指于Z轴平行，x轴到y轴手掌弯曲90度。点到直线距离总公式：设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（Xo，Yo），则点P到直线L的...

我想要2次函数配套练习册的题目一道一道题的
过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,则 OD=,BD=,∴点B的坐标为() . (2) 将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,得 解方程组,有 a=,b=,c=0.∴ 所求二次函数解析式是 y=x2+x. (3) 设存在点C(x , x2+x)(其中0<x<),使四边形ABCO面积最大.∵△OAB面积为定值, ∴...

求圆柱面方程,半径为3,轴过点(1,0,2)且方向向量v=(1,2,3)
所以圆柱面的方程为:（3y-2z+4)2+(z-3x+1)2+(2x-y-2)2=126。几何柱面 1、普通柱面 若一动直线沿已知曲线C移动，且始终与某一定直线平行，则这样形成的曲面称为柱面，此时，把曲线C称为准线，动直线L称为母线。F（x，y）=0 表示母线平行于z轴的柱面。F（y，z）=0 表示母线平行于x轴...

平行于平面且与直线相交的直线方程
从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与X轴正向的夹角（叫直线的...

熊沿17291709652问： 求过点(1, - 2,4)垂直于x轴的平面方程, - ？
淄博市小儿回答：[答案] 因为平面垂直于x轴 所以 它的法向量n=(1,0,0) 又过点(1,-2,4) 所以 方程为 x-1=0

熊沿17291709652问： 过点(1,1,0)且垂直x轴的平面方程为? - ？
淄博市小儿回答：[答案] 平面垂直于x轴,则平面方程为x=?的形式, 过点(1,1,0),则x=1 所以平面方程为x=1

熊沿17291709652问： 过点M(4, - 9, - 5)且垂直于X轴的平面方程 - ？
淄博市小儿回答：[答案] 显然平面的法向量为 n=(1,0,0), 因此平面方程为 1*(x-4)+0*(y+9)+0*(z+5)=0 , 化简得 x=4 .

熊沿17291709652问： 求过点A(1,1,1)且与X轴垂直的平面方程 - ？
淄博市小儿回答：[答案] 与x轴垂直的平面的法向量是(1,0,0),且此平面过点A(1,1,1),则所求平面是: 1(x-1)+0(y-1)+0(z-1)=0 即:x=1

熊沿17291709652问： 过点(1,1,0)且垂直x轴的平面方程为? - ？
淄博市小儿回答： 解:平面垂直于x轴,则平面方程为x=?的形式, 过点(1,1,0),则x=1 所以平面方程为x=1

熊沿17291709652问： 求经过x轴且垂直于5x+y - 2z+3=0的平面方程? - ？
淄博市小儿回答： 求经过x轴且垂直于5x+y-2z+3=0的平面方程? 解:因为经过x轴,故可设方程为By+Cz=0................................(1) 又因为垂直于平面5x+y-2z+3=0,故有B-2C=0,即有B=2C.代入(1)式并消去C即得方程 2y+z=0为所求.

熊沿17291709652问： 过x轴且与平面x+4y - 2z=2垂直的平面方程 - ？
淄博市小儿回答：[答案] 设方程为 By+Cz=0 【过x轴的平面方程《通式》】 ∵ 4B-2C=0 => C=2B 【垂直条件:1*A+4*B-2*C=0】 取B=1,则C=2 ∴ y+2z=0 为所求 .

熊沿17291709652问： 一平面垂直于已知平面2x – 2y + 4z – 5 = 0, 且在x轴和y轴上的截距为a = – 2, b = 2/3, 则此平面方程为 - ？
淄博市小儿回答： 设该平面方程为:mx+ny+lz+d=0 则有:(1)2m-2n+4l=0(两平面垂直) (2)-2m+d=0(该平面在x轴上的截距为 – 2) (3)2/3n+d=0(该平面在y轴上的截距为 b = 2/3) 联立以上三个方程可得:d=2m,n=-3m,l=-2m 于是有:mx-3my-2mz+2m=0 所以该平面方程为:x-3y-2z+2=0

熊沿17291709652问： 求通过x轴且垂直于平面5x - 4y - 2z+3=0的平面方程. - ？
淄博市小儿回答： 观察已知平面方程,容易得到其法向量L=(5,-4,-2) 若待求平面与其垂直,那么显然L与待求平面平行. 另外待求平面通过x轴,那么x轴的方向向量亦与待求平面平行,不妨取x轴的单位向量i=(1,0,0). 根据向量叉积的意义,i与L的叉积n就垂直于i和L,所以n垂直于待求平面,是待求平面的法向量: n=i*L=(0,2,-4) 任取x轴上一点(1,0,0),显然其位于待求平面上,综上得到平面的点法式方程: 2y-4z=0 整理得到最简式: y=2z

熊沿17291709652问： 高等数学求平面方程 - ？
淄博市小儿回答： 平面垂直于x轴,则平面的法向量n=(1,0,0),由平面的点法式方程,得平面方程是x=1

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