单调函数最大最小值
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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为了求最大、最小值,基本的方法是:先确定它们的存在性,然后比较函数在驻点,定义域端点或边界点、不可微点处的函数值,其中最大(小)的就是最大(小)值。在许多应用问题中,最大值与最小值的存在性往往可以由具体问题的背景确定。最早用微分学方法求最大、最小值的是费马。他发现了称为费马定理...
...引入任意多的整型参数,结果返回其中最大与最小值?
例如,如果你有一个整型数组 int arr[] = {1, 2, 3, 4};,你可以调用 myfunc3(arr, 4, &max, &min) 来获取最大值和最小值。在调用之后,变量 max 的值将为 4,变量 min 的值将为 1。注意,在 C 语言中,函数无法直接返回多个值。因此,我们需要使用指针参数来间接返回结果。在上面...
如何求函数的最大值和最小值?
一般而言,可以把函数化简,化简成为:f(x)=k(ax+b)²+c 的形式,在x的定义域内取值。当k>0时,k(ax+b)²≥0,f(x)有极小值c。当k<0时,k(ax+b)²≤0,f(x)有最大值c。关于对函数最大值和最小值定义的理解:这个函数的定义域是【I】这个函数的值域是【不超过...
函数 最大值 最小值的求法例如:f(x)=x^2-2x g(x)=x^2-2x x属于[2,4...
f(x)=x^2-2x:是一个开口向上的抛物线,对称轴是x=1,显然在x=1时有最小值,-1,没有最大值;g(x)=x^2-2x,x属于[2,4],则该抛物线在该区间内单调增,最小值为g(2)=0,最大值g(4)=8,求解抛物线的最值时,常常结合图形来接,称为:数形结合法 ...
如何找函数的最大值和最小值?
求函数最小值的方法如下:1.判别式求最值 主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数。根据二次方程图像的特点,求开口方向及极值点即可。2.函数单调性 先判定函数在给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值 3.数形结合 主要适用于几何图形较为明确的函数,通过几何模型,寻找函数最值。
输入3个整数,用函数调用的形式输出最大值和最小值(三个函数)
a:b; return d < c? d:c;}int main(){ int a, b, c; prinf("请输入三个数(空格隔开):\\n"); scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); printf("最大值:%d\\n", GetMaxNum(a,b,c)); printf("最小值:%d\\n", GetMinNum(a,b,c))...
函数的最小值一定比最大值小
在某些情况下,函数的最大值可能比最小值大,也可能比最小值小,这取决于具体的函数和区间。例如,考虑函数f(x) = x²在区间[-10, 10]上的最大值和最小值。通过计算,可以得到f(-10) = 100,f(10) = 100,因此最大值和最小值是相等的。函数的极值单调性和凹凸性、最值关系 1、...
如何求函数的最大值和最小值?
先求导,然后让导数等于0,得出可能极值点,然后通过判断导数的正负来判断单调性,最后再得出极值,然后再计算端点值,比较大小,最大就是最大值,最小就是最小值。不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。
写出两个函数,分别求出两个整数的最大值和最小值,用函数调用这两个函数...
{ int temp a>b? temp=a:temp=b;\/\/选择赋值,将最大值赋值给temp return temp } int min(int a,int b){ int temp a<b? temp=a:temp=b;\/\/选择赋值,将最小值赋值给temp teturn temp } void main(void){ cin<<int a,int b;maxab=max(a,b);\/\/调用最大值函数 minab=min(a,...
如何计算函数的最大值和最小值?
最大值,即为已知的数据中的最大的一个值,在数学中,常常会求函数的最大值,一般求解方法有换元法、判别式求法、函数单调性求法、数形结合法和求导方法。1.判别式求最值 主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数。根据二次方程图像的特点,求开口方向及极值点即可。2.函数单调性 先判定函数...
雷山县天地回答:[答案] 设有x1,x2属于定义域,f(x1)-f(x2)小于0则为递减,反之为递增.单调递增函数最大值为定义域内最大的数对应的函数值,最小值为定义域内最小的数对应的函数值;单调递减函数相反!
秦纪18514254283问: 求函数的单调区间、最大值和最小值. - ?
雷山县天地回答:[答案] = =, 由于x∈[0,π],得到x+∈[,], 所以sin(x+)的递增区间为≤x+≤,递减区间为≤x+≤, 所以f(x)单调增区间为,单调减区间为; ∵sin(x+)的最大值为1,最小值为-, ∴函数f(x)的最大值为2,最小值为-1.
秦纪18514254283问: 单调函数一定有最大值和最小值吗 - ?
雷山县天地回答: 不一定啊,最简单的例子,一次函数就是单调变化,但既无最大值也无最小值
秦纪18514254283问: 什么是函数的单调性和最大最小值 - ?
雷山县天地回答: 就是对任意X1,X2属于函数定义域(X1以下是定义 函数的单调性(monotonicity)也可以叫做函数的增减性.当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值f(x)也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性. 函数最大值 设函数y=f(x)的定义域为R,若存在x0∈R,使得对任意的x∈R,且x≠x0,有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值;若存在x0∈R,使得对任意的x∈R,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值. 最小值同理
秦纪18514254283问: 高一的函数最大最小值怎么求啊!要分哪些情况 - ?
雷山县天地回答:[答案] 分两种情况: 如果函数在区间是单调的,则最大值与最小值分别都在区间端点取得,一个为最大,另一个为最小. 如果函数在区间不单调,有极值,则将极值与区间端点比较,大的则为最大值,小的即为最小值.
秦纪18514254283问: 如何通过函数的单调性求函数的最值 - ?
雷山县天地回答: 如果函数单调增加,则自变量最大时有最大值,自变量最小时有最小值 如果函数单调减小,则自变量最大时有最小值,自变量最小时有最大值
秦纪18514254283问: 求下列函数奇偶性、周期、单调区间、最大值和最小值 - ?
雷山县天地回答: 求下列函数奇偶性、周期、单调区间、最大值和最小值(1) y=1-(1/2)cos[(π/3)x],x属于R 解:y(-x)=1-(1/2)cos[(π/3)(-x)]=1-(1/2)cos[(π/3)x]=y(x),故是偶函数.最小正周期T=2π/(π/3)=6;单增区间:由-π+2kπ≦(π/3)x≦2kπ,得单增区间为 -3+6k≦x≦...
秦纪18514254283问: 怎么求函数的单调性与最大(小)值 - ?
雷山县天地回答:[答案] 方法比较多了~ 初中的二次函数的话,看二次项系数和对称轴就可以判断单调性,将对称轴的方程代入二次函数,就是最大值(或最小值) 二次函数配方也行,配成y=ax^2+bx+c的形式 如果是高中的话 用求导的方法(可以百度一下微分) 对于一元...
秦纪18514254283问: 怎样求函数的单调性,最大值,最小值及其几何意义 - ?
雷山县天地回答: 先求函数定义域,再求函数的导数,在令导数等于零,求出驻点,再用驻点把定义域分 成几个区间,再在每个区间内讨论导函数的符号,若为正,则函数在该区间单调增,若为负,则函数在该区间单调减.函数由增变到间时,则在驻点有极大值,函数由减变为增时,则在驻点有极小值,再和函数在两端点处的函数值相比较,最大者就是最大值,最小者就是最小值,函数单调增的几何意义是曲线呈上升趋势,反之是下降趋势.
秦纪18514254283问: 什么是函数的单调性与最大最小值 - ?
雷山县天地回答: 对应的因变量也随着增加(减小)单调性是指自变量在一个范围里增加(减小). 最大值(最小值)指在自变量的一个范围里,函数取得的最大值(最小值)