二阶微分方程通解的步骤
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),(含一个或多个待定常数,由初始条件确定)。例如:其解为:其中C是待定常数;如果知道 则可推出C=1,而可知 y=-\\cos x+1。一阶线性常微分方程 对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:对于方程:y'+p(x)y+q(x)=0,可知其通解:然后...
一阶微分方程求通解
一阶微分方程求通解方法:分离变量法、齐次方程法、线性方程法。1、分离变量法 分离变量法是一种常用的求解一阶微分方程的方法。它的思路是将方程两边的变量分离到不同的一边,并对两边同时进行积分。具体步骤将方程变形为dy=f(x)dx。对积分结果进行求解,得到y(x)的表达式。2、齐次方程法 齐次...
微分方程的通解求详细步骤
1、将微分方程视为特征方程,先计算特征方程的特征根,使得特征方程的特征根构成一个一阶线性完全定状态系统,得到系统演化方程。2、根据特征根的不同,将特征方程划分为三种情况,一般特征方程、二次重根特征方程和根为0的特征方程,然后分别计算出演化方程的解。四、拉普拉斯变换法求通解 将微分方程利用...
微分方程的通解
通解,对于一个微分方程而言,其解往往不止一个,而是有一组,可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式,称为通解。对一个微分方程而言,它的解会包括一些常数,对于n阶微分方程,它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法...
一阶微分方程的通解是什么意思?
一阶微分方程的通解是指该微分方程的一组解,其中包含了所有可能的解。通解通常由一个或多个特解组成,这些特解是满足微分方程的特定解。对于一阶常微分方程,其形式通常为 dy\/dx = f(x, y),其中 f(x, y) 是一个已知的函数。通解的求解通常涉及到找到一个特定的函数 y(x),使得该函数满足...
怎样求出二阶线性微分方程的通解?
第一种:y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解。第二种:通解是一个解集,包含了所有符合这个方程的解;n阶微分方程就带有n个常数,与是否线性无关。通解只有一个,但是表达形式可能不同,y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=...
二阶常系数非齐次微分方程的通解步骤如何?
其中,C1和C2为任意常数。对于非齐次微分方程,可以通过将f(x)表示成某个特殊函数的导数形式,来求得其特解。例如,如果f(x)=P(x)e^λx,其中P(x)为某个多项式,那么特解为:y*=e^(λx)(Q(x)+P(x)\/λ),其中Q(x)为某个多项式。因此二阶常系数非齐次微分方程的通解为...
一阶齐次微分方程的求解步骤是什么?
深入探索一阶齐次微分方程的通解奥秘在求解一阶齐次微分方程 Dy\/dx P(x)y=Q(x) 时,我们先从基础入手。当遇到 Q(x)=0 的特殊情况,我们可以轻松地导出基本形式。令 y=ce^(-P(x))dx,这里的 c 是任意常数,这就是解的基本结构。进一步,我们可以将这个形式替换到原方程中,解出隐含的变量 ...
解微分方程的基本步骤有哪些?
接下来,我们需要找到通解公式。根据一阶线性微分方程的通解公式,我们有 y = e^(-P(x))∫Q(x)e^(P(x))dx + c,其中 c 是积分常数。将 P(x) 和 Q(x) 代入公式,我们得到 y = e^(-1\/(1+x))∫ln(x+1)\/(x+1)e^(1\/(1+x))dx + c。由于手机输入的限制,我们简化过程,...
一阶线性微分方程的通解,du\/dx这一步是怎么求的?u是函数还是常数?_百度...
u是函数。你可以这么理解:由齐次方程6-14解出来的是6-15;然后在6-15的基础上,如果将常数C换成函数u(x),那么微分方程6-14就不成立了。右边一定是个随着变量x而变化的值,即关于x的函数。那就是6-13.希望这么说你能明白。
五指山市重组回答: y''-y'=x 令自y'=p dp/dx-p=x dp/dx=x+p 令x+p=u dp/dx=du/dx-1 du/dx-1=u du/(u+1)=dx x=ln(u+1)+C0 u+1=Ce^百x p=Ce^x-1-x dy/dx=Ce^x-1-x 通解度y=Ce^x-x-x^2/2
安巩15155302797问: 二阶微分方程的通解是什么?如xy'' - 3y'+2y=2xe^x,其通解怎么计算? - ?
五指山市重组回答:[答案] 二阶微分方程是非常复杂的. 能够求解的二阶微分方程类型并不多. 能够求解的一般课本都会介绍. 就这个题目而言,但结果形式非常复杂.
安巩15155302797问: 求二阶微分方程y'' - y'=0的通解 - ?
五指山市重组回答: 特征方程为:x^2-x=0, 即特征根为0, 1 故通解为:y=c1+c2e^x
安巩15155302797问: 高等数学,求解二阶微分方程的通解的详细过程,这类题型都不太会.所以希望这题能详细点点 - ?
五指山市重组回答: 你的相关概念有些模糊,首先你得知道这是一个二阶非线性微分方程. 1. 非线性微分方程通解=线性微分方程的通解+非线性微分方程的特解 2. 先求线性微分方程的通解,令方程等号右边为0即得对应的线性方程,对应特征方程(r-1)^2=0 故由相关公式,其通解为y1=(Ax+B)e^(x) 3. 再求非线性方程的特解,根据相关的类型,r=0不是(r-1)^2=0解,不妨设特解y*=Cx+D,带入原方程可解得C=1,D=2,即非线性微分方程的特解y*=x+2 4. 所求通解y=y1+y*=(Ax+B)e^(x)+x+2,其中A,B为任意常数. 这是求解非线性微分方程的标准步骤,如果是线性方程,那第二步求出的就是答案.真希望你懂了.
安巩15155302797问: 看一个二阶微分方程的通解的解法 - ?
五指山市重组回答: 人家写的很清楚,把xe^(2x)的一阶导,二阶导,x^e^(2x)的一阶导,二阶导全部求出,然后把y*代入原微分方程,由于b0 b1都是常数,先提出来,最后约去e^(2x)
安巩15155302797问: 求二阶微分方程y'' - y'=x的通解怎么求具体过程写出来谢谢了 - ?
五指山市重组回答: r²-r=0 r(r-1)=0 r1=0,r2=1 齐次通解Y=c1+c2e^x 设非齐次特解为y*=x(ax+b)=ax²+bx y*'=2ax+b y*''=2a 2a-2ax-b=x -2a=1 2a-b=0 所以 a=-1/2,b=-1 y*=x(-1/2x-1) 通解y=Y+y* =c1+c2e^x+x(-1/2x-1)
安巩15155302797问: 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,详解,谢谢! - ?
五指山市重组回答: 特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
安巩15155302797问: 求二阶线性非齐次微分方程的通解: Y''+36Y=1/cos(6x) 求解这题,求详细步骤. 谢谢 - ?
五指山市重组回答: 解:先求解对应的齐次方程:y''+36y=0 为二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为:r²+36=0 有一对共轭复根:r=±6i ∴齐次方程的通解为:y=C1cos6x+C2sin6x 根据常数变易法,设非齐次方程的一个特解为:y*=u1(x)cos6x+u2(x)sin6x 有y...
安巩15155302797问: 二阶线性微分方程的常见解法是什么 - ?
五指山市重组回答:[答案] 方法一:可以先求对应齐次方程的通解,可以求特征值求出其通解. 然后再常数变异. 方法二:根据二阶线性微分方程的解的结构,可以由待定系数法求出其线性无关的特解,然后写出他们的线性组合即为通解.
安巩15155302797问: 求二阶微分方程y' - y=x的通解 - ?
五指山市重组回答:[答案] 解法1: 1,先求齐次方程y'-y=0的通解 y'=y dy/y=dx lny=x+c' y=e^(x+c')=Ce^x 记为y1 2,求y'-y=x的一个特解 这题比较简单可以直接看出y*=-x-1 3,组解y=y1+y*=Ce^x-x-1 解法2: 令u=y+x+1,则u'=y'+1 u'-1-u+1=0 u'-u=0 u=Ce^x y=Ce^x-x-1