证明:如果系数矩阵A至多有L个互不相同的特征值,则共轭梯度法至多L步就可得到方程组Ax=b的精确解
给你点提示
第一题用一下谱分解定理，证明Krylov子空间的维数不超过L。
第二题毫无难度，完全就是模仿共轭梯度法。
先证明方程无可逆解，用反证法
假设X可逆，则方程AX=XB等式两边，同时左乘X^(-1)
得到X^(-1)AX=B
因此A,B相似，从而有相同的特征值，这与题中条件矛盾！
因此假设不成立。
下面要证明X只能是零矩阵。
证明:如果系数矩阵A至多有L个互不相同的特征值,则共轭梯度法至多L步...
A的极小多项式是L次的，所以A^{-1}可以表示为A的L-1次多项式，根据CG的性质，L步迭代是在不超过L-1次多项式中取最佳的，当然可以取到精确解
证明:如果系数矩阵A至多有L个互不相同的特征值,则共轭梯度法至多L步...
利用Krylov子空间span{r,Ar,A^2r,...,A^kr}的维数最多是L即可
求线性代数矩阵的问题
你需要理解记住的是如果系数矩阵A(mxn） m＜n 就是 行比列小 再说白点就是系数矩阵是左右长的这种 那么对应的AX=0这个齐次线性方程组的解一定不唯一 证明如下：由于r（A）≤m（秩的基本性质）＜n （题设）故方程必定存在非零解（齐次方程组解的基本理论）这个是最最基本的知识 一定要知道 你的...
系数矩阵是什么
3. 系数矩阵的性质系数矩阵具有一些重要的性质，例如行数可以表示线性方程组中未知量的个数，列数可以表示线性方程组中方程的个数。如果系数矩阵A的秩为n，则该方程组的解必须是唯一的；如果A的秩小于n，则该方程组的解不唯一或无解。此外，系数矩阵的行列式也是线性方程组中一些重要的计算方法。4. ...
已知四元齐次线性方程组AX=0,若系数矩阵A的秩r(A)=1,则自由未知量的个...
【答案】：C 由于秩r(A)＝1<n＝4，因而此四元齐次线性方程组有无穷多解，即有非零解，且有n－r(A)＝4－1＝3个自由未知量．这个正确答案恰好就是备选答案C，所以选择C．
在线性方程Ax=b中A是8*6阵,如果系数矩阵A预增广矩阵(A,b)的轶均为6...
A。有唯一解 这是教材中的定理 r(A)=r(A,b)=n (此时为6) 时有唯一解 r(A)=r(A,b)<n (此时为6) 时有无穷多解
如果一个齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r,证明:方程组的任意n-r...
n-r=线性无关解个数 此式可以理解为以下等式：即 未知数个数-约束个数=自由变量个数 以下说明理由：n可以理解为未知数的个数（因为n在矩阵中相当于列的个数，而列的个数等于未知数的个数——也就是X1，X2，...，Xn的个数再加上方程组右侧的的一列，在齐次线性方程组中转化的矩阵中0的...
设AX=0是n元齐次线性方程组,若系数矩阵A的秩r(A)=r<n,则它的任意n-r...
因为 r(A)=r 所以 Ax=0 的基础解系含 n-r 个解向量.对Ax=0 的任一个解向量, 都可由它的任意n-r个线性无关的解向量线性表示 (否则这 n-r+1个解线性无关, 与A的基础解系含n-r个向量矛盾)所以 它的任意n-r个线性无关的解向量线性表示 ...
如何将方程组表示为矩阵形式?
这就是如何将一个方程组表示为矩阵形式的方法。通过这种方式，我们可以使用矩阵运算来简化和解决复杂的方程组问题。例如，如果系数矩阵 A 是可逆的（即存在逆矩阵 A⁻¹），我们可以通过以下方式找到未知数向量 X：X = A⁻¹B 这给出了方程组的解。需要注意的是，并不是所有...
诸田安达：[答案] 只要证明Krylov子空间的维数不超过m.
江油市19229716370： 试证:如果系数矩阵A至多有L个互不相同的特征值,则共轭梯度法至多L步就可得到方程组Ax=b的精确解. - ？
诸田安达： 给你点提示 第一题用一下谱分解定理,证明Krylov子空间的维数不超过L.第二题毫无难度,完全就是模仿共轭梯度法.
江油市19229716370： 试证明N次多项式最多只有N个互异的根 用行列式矩阵证明 - ？
诸田安达：[答案] n次多项式knx^n+...+k1x+k0,显然系数不能全为0. 设有n+1个不同的根x1,x2,...,xn+1,则有 knx1^n+...+k1x1+k0=0 knx2^n+...+k1x2+k0=0 ... knxn+1^n+...+k1xn+1+k0=0 将多项式的系数看成这些方程的未知数 则其系数矩阵为 x1^n ...x1 1 x2^n ...x2 1 ... ...
江油市19229716370： 设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解(A是m*n矩阵),ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解,证明:(1)向量组η1,η1 - η2线性无关;(... - ？
诸田安达：[答案] 证明:(1)设k1η1+k2(η1-η2)=0,则 k1Aη1+k2A(η1-η2)=0 已知η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,因此 Aη1=Aη2=b ∴k1b=0 而b≠0 ∴k1=0 ∴k2(η1-η2)=0 又η1与η2是互不相同的,即η1-η2≠0 ∴k2=0 ∴向量组η1,η1-η2线性无关 (...
江油市19229716370： 用克拉默定理证明:n次多项式最多有n个互不相等的根 - ？
诸田安达： 设n次多项式f(x) = a[0]+a[1]x+...+a[n]x^n. 用反证法, 假设f(x)有n+1个互不相等的根x[1], x[2],..., x[n+1]. 则有n+1个等式: a[0]+a[1]x[1]+...+a[n]x[1]^n = 0, a[0]+a[1]x[2]+...+a[n]x[2]^n = 0, ... a[0]+a[1]x[n+1]+...+a[n]x[n+1]^n = 0. 它们构成关于a[0], a[1],..., ...
江油市19229716370： 线性代数问题.什么样的系数矩阵不相容呢? - ？
诸田安达： 方程组不相容吧 就是方程组无解系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩 即,r(A)≠r(A,b)r(A)=r(A,b)=n时 方程组有唯一解 r(A)=r(A,b)<n时 方程组有无穷解这两种情况,方程组是相容的 线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化,二次型及应用问题等内容.
江油市19229716370： X1+X2+X3+X4= - 1, 4X1+3X2+5X3 - X4= - 1, AX1+X2+3X3 - BX4=1.有3个线性无关的解. - ？
诸田安达： 非齐次线性方程组方程组的3个线性无关的解 至多构成其导出组 Ax=0 的 2个线性无关的解: a2-a1,a3-a1 所以 n-r(A)>=2 r(A)又A有2阶非零子式, 故 r(A)>=2 故 r(A)=2.
江油市19229716370： 矩阵证明题如果a行等价于b和c,则a行等价于b+c - ？
诸田安达： a、b、c等价,说明它们其中一个可以变换成另一个,任意一个可以由另外两个的线性变换得到.a=系数*a+系数*b,系数不等于0.
江油市19229716370： 证明一个线性方程组的增广矩阵的秩比其系数矩阵的秩相最多大1 - ？
诸田安达： 设系数矩阵由A1,A2,……,An共n个列向量组成,则其增广矩阵必由A1,A2,……,An,B共n+1个列向量组成. 若系数矩阵的秩为r,则必存在r个向量Ar1,Ar2,...,Arr线性无关,而A1,A2,……,An都是他们的线性组合.若Ar1,Ar2,...,Arr,B线性无关,则增广矩阵的秩为r+1;若Ar1,Ar2,...,Arr,B线性相关,则增广矩阵的秩为r.从而一个线性方程组的增广矩阵的秩比其系数矩阵的秩相最多大1.
江油市19229716370： 线性代数一条关于特征值定理的证明求解如果λ1,λ2.λn是矩阵A的互不相同的特征值,a1,a2,.am分别是与之对应的特征向量,则a1,a2,.am线性无关求证明推导 - ？
诸田安达：[答案] 设x1a1+x2a2+...+xnan=0,证明系数x1=x2=...=xn=0.A(x1a1+x2a2+...+xnan)=λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan)=0.A^2(x1a1+x2a2+...+xnan)=A(λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan))=λ1^2(x1a1)+λ2^2(x2a2)+...+λn^2(x...
