急求：用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注：x1中的1为下标)

用正交线性替代法求f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2-2x 2x 3~

急求：用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注：x1中的1为下标)


解: |A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3

r1-(1/2)(λ-1) - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3

第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3

-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3
=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).

所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'

令Q=(b1,b2,b3), 则X=QY为正交变换, 且有 f =-y1^2+2y2^2+5y3^2

解: |A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3

r1-(1/2)(λ-1) - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3

第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3

-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3
=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).

所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'

令Q=(b1,b2,b3), 则X=QY为正交变换, 且有 f =-y1^2+2y2^2+5y3^2

令x1=k(x2+x3+x4)
1/3(x2+x3+x4)<=x1<=x2+x3+x4
则1/3<=k<=1
原不等式变形为
(1+k)^2(x2+x3+x4)^2<=4k(x2+x3+x4)x2x3x4
[(1+k)^2/4k](x2+x3+x4)<=x2x3x4①
[(1+k)^2/4k](x2+x3+x4)<=[(1+k)^2/4k](x2+x2+x2)=[(1+k)^2/4k]*3x2
x2x3x4>=2*2*x2=4x2
证①成立
只需证明
[(1+k)^2/4k]*3x2<=4x2
1/4(k+1/k+2)*3<=4
因为f(x)=x+1/x在[1/3,1]上是减函数
所以
1/4(k+1/k+2)*3<=(1/4)*(1/3+3+2)*3=4
因此(x1+x2+x3+x4)^2<=4x1x2x3x4

---

邓州市13958009031： 用正交线性替代法求f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2 - 2x 2x 3 - ？
才旦应山玫：[答案] 急求:用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注:x1中的1为下标) |A-λE|= λ-1 2 0 2 λ-2 2 0 2 λ-3 r1-(1/2)(λ-1) - r3 0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2) 2 λ-2 2 0 2 λ-3 第1行提出(λ-2), 按第1列展开 |λE-A| = (λ-2)* ...

邓州市13958009031： 急求:用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2 - 4x1x2 - 4x2x3(注:x1中的1为下标) - ？
才旦应山玫： 解: |A-λE|= λ-1 2 0 2 λ-2 2 0 2 λ-3 r1-(1/2)(λ-1) - r3 0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2) 2 λ-2 2 0 2 λ-3 第1行提出(λ-2),按第1列展开 |λE-A| = (λ-2)* (-2)* -(1/2)(λ-1) -2 2 λ-3-2 乘到 第1列 |λE-A| = (λ-2)* λ-1 -2 -4 λ-3=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]=(λ-2)(λ^2-4λ-5)=(λ-2)(λ-5)(...

邓州市13958009031： 已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+3x2^2+3x3^2+2ax2x3(a0)通过正交变换化成标准型f=y1^2+2y2^2+5y3^2,求参数a及所用的正交变换矩阵. - ？
才旦应山玫：[答案] 你只要明白,通过正交变换的系数就是特征值

邓州市13958009031： 用正交变换化二次型f(x1,x2)=5x1^2+2x2^2+4x1x2为标准型.希望过程能够详细一些,特别是特征值的部分. - ？
才旦应山玫：[答案] 二次型的矩阵 A = 5 2 2 2 |A-λE|=(5-λ)(2-λ)-4 = λ^2-7λ+6 = (λ-1)(λ-6) 所以 A 的特征值为1,6 (A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,-2)' (A-6E)x=0 的基础解系为 a2=(2,1)' 单位化得 b1=(1/√5,-2/√5)' b2=(2/√5,1/√5)' 令 P = (b1,b2) = 1/√5 2/√5 -2/√5 1/√5 则P...

邓州市13958009031： 用正交线性替换化二次型x1^2+4x1x3+3x2^2+x3^2为标准型, - ？
才旦应山玫：[答案] A= 1 0 2 0 3 0 2 0 1 特征值为 3,3,-1 特征向量分别为 (1,0,1)^T,(0,1,0)^T,(1,0,-1)^T 单位化后构成正交矩阵P,Y=Px f = 3y1^2+3y2^2-y3^2. 这类题太麻烦了,你自己写细节吧

邓州市13958009031： 化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=x1平方+2x2平方 - 3x3平方+4x1x2 - 4x1x3 - 4x2x3 求所用的变化矩形 - ？
才旦应山玫：[答案] f = x1^2+2x2^2-3x3^2+4x1x2-4x1x3-4x2x3 = (x1+2x2-2x3)^2-2x2^2-7x3^2+4x2x3 = (x1+2x2-2x3)^2-2(x2-x3)^2-5x3^2 = y1^2-2y2^2-5y3^2 其中 y1=x1+2x2-2x3 y2=x2-x3 y3=x3

邓州市13958009031： 用正交线性替代法求f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2 - 2x 2x 3 - ？
才旦应山玫： 急求:用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注:x1中的1为下标)解: |A-λE|=λ-1 2 0 2 λ-2 2 0 2 λ-3 r1-(1...

邓州市13958009031： 用正交线性替换x=TY,把二次型f=x1x2+x1x3+x2x3化为标准型如题. - ？
才旦应山玫：[答案] 0 1/2 1/21/2 0 1/21/2 1/2 0A 的特征值为 1,-1/2,-1/2(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,1)^T(A+1/2E)x=0 的基础解系为 a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T单位化后构成T=1/√3 1/√2 1/√61/√3 -1/√2 1/√61/√3 0 -2/√6...

邓州市13958009031： 用正交线性替换化下列二次型为标准型,并求出所用的正交线性替换f(x1,x2,x3)=2x1^2 - 4 - ？
才旦应山玫： 不会

邓州市13958009031： 求一个正交变换x=py将下列二次型化成标准型 f=2(X1)^2+3(X2)^2+3(X3)^2+2X2X3 - ？
才旦应山玫：[答案] 2 0 00 3 10 1 3|A-λE|=(2-λ)[(3-λ)^2 - 1] = (2-λ)^2(4-λ)所以A的特征值为 2,2,4(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T,a2=(0,1,-1)^T(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)^T已正交.单位化构成正交矩阵P=1 0 00 1...