线性代数,求二次型的正交线性替换(问题主要是解方程)
一、解：二次型的矩阵 A=
1 -2 0
-2 2 -2
0 -2 3
|A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3
r1-(1/2)(λ-1)r2 - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3
第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3
-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3
=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).
所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
(不需正交化)
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'
令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 为正交变换
f = -y1^2+2y2^2+5y3^2
二、解: 二次型的矩阵 A =0 0 10 1 01 0 0|A-λE|=-λ 0 10 1-λ 01 0 -λ= -(1-λ)^2(1+λ).所以A的特征值为: λ1=λ2=1, λ3=-1.(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T, a2=(1,0,1)^T --正交(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^T将a1,a2,a3单位化得b1=(0,1,0)^T, b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵所以 X=QY 为正交变换, 且有 f = y1^2+y2^2-y3^2
扩展资料：
设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价
1、σ是正交变换；
2、σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；
3、如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基；
4、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
参考资料来源：百度百科-正交交换
二次型矩阵A一定是实对称矩阵
所以A的不同特征值的特征向量之间一定正交
所以设特征值2的特征向量为α可以的出来，x+y+z=0
根据系数矩阵可以解除方程组的基础解系中的两个线性无关的解向量
因为是正交矩阵，必须对其进行单位化，所以α1单位化之后得出上面图中的结果，同时因为α1和α2不正交，还要进行施密特正交化，正交化之后的α2就如上图所示，正交化的过程就不写了，你自己做一下看看
线性代数二次型配方法
将 x1 = y1 + y2, x2 = y1 - y2 , x3 = y3 代入 f = 2x1x2 + 2x1x3 - 6x2x3, 得 f = 2(y1)^2 - 2(y2)^2 + 2(y1+y2)y3 - 6(y1-y2)y3 = 2(y1)^2 - 2(y2)^2 + 2y1y3 + 2y2y3 - 6y1y3 + 6y2y3 = 2(y1)^2 - 2(y2)^2 - 4y1y3 +...
线性代数二次型 这个答案怎么来的?求大佬呜呜呜
一个实二次型可以分解为两个实系数一次齐次多项式的充要条件是二次型的秩为2，符号差为零。其中这两个多项式的系数向量线性无关。
在线性代数中求矩阵特征值时,值得顺序是如何确定的!因为在二次型...
如果是正交对角化，第一步，写出二次型的矩阵；第二步，零行列式等于零求出二次型矩阵的特征值，并且按顺序从左往右写好，这个顺序就是你要求的相似对角阵的顺序（从左到右）；第三步，把不同的特征值带入齐次线性方程组，并且求出所有的特征向量（列向量）；第四步，用施密特正交法将刚才求出的...
二次型的矩阵怎么求
二次型：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。二次型（quadratic form）：n个变量的二次多项式称为二...
线性代数 二次型的问题～
【评注】掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，标准型中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值，所用的正交变换矩阵是经过改造的二次型的特征向量，具体解题步骤如下：1、写出二次型矩阵A 2、求矩阵A的特征值 3、求矩阵A的特征向量 4、改造特征向量（单位化、Schmidt正交化）γ1，...，γn 5、...
怎样用配方法求二次型的标准型?重点是如何配方?
配方的方法：1、若二次型中不含有平方项则先凑出平方项。方法：令x1=y1+y2，x2=y1-y2，则 x1x2 = y1^2-y2^2。2、若二次型中含有平方项x1 方法：则将含x1的所有项放入一个平方项里, 多退少补，将二次型中所有的x1处理好，接着处x2、以此类推。例子：x1^2-4x1x2+4x1x3 =x1^...
线性代数二次型如题
你得到的不是标准形, 所用变换不是可逆变换 f=x1^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+2x2x3 = (x1+x2+2x3)^2-(x2+x3)^2 正惯性指数是 1.
线性代数化二次型为标准
f=x1^2+2x1(x3-2x2)+(x3-2x2)^2-(x3-2x2)^2-2x3^2+x2^2+2x2x3 =(x1+x3-2x2)^2-3x2^2-3x3^2+6x2x3 =(x1+x3-2x2)^2-3(x2-x3)^2 =y1^2-3y2^2 其中y1=x1+x3-2x2 y2=x2-x3 选A
如图,线性代数二次型问题?
0的特征向量的求解，是由于AB=0 令B=(β1,β2,β3)则B的列向量都是Ax=0的解，由于B的秩是2，则Ax=0至少有两个线性无关的解向量，又0是二重特征值，那么这两个线性无关的解向量就是A对应0的两个线性无关的特征向量。 即B的两个线性无关的列向量就是0的特征向量。至于1的特征向量就是...
线性代数考研二次型求大佬指点,题中”合同标准形”和规范形是一个概念...
对于线性代数考研中的二次型求解，一个常见的困扰是“合同标准形”与“规范形”是否真的等同？实际上，两者并非同一概念，它们在求解过程中有着微妙的区别。在考研数学的挑战中，标准型和规范型的求解往往要求我们通过可逆线性变换来得到。然而，直接运用配方法得到的结果并不一定满足这一条件，可能会遭遇...
大叔娜盐酸：[答案] 因为 A为正交矩阵,所以 AA^T = E. 所以 |A-E| = |A - AA^T| = |A(E-A^T)| = |A||E-A^T| = |(E-A)^T| = |E-A| = |-(A-E)| = (-1)^(2n+1) |A-E| = -|A-E|. 所以 |A-E|=0 所以1是A的特征值.
青秀区18981409305： 求问线代二次型正交变换,求高人给与思路,不要解答 - ？
大叔娜盐酸： 首先写出二次型的矩阵A,然后求出A的特征值和特征向量,如果A的特征值各不相同,则将其特征矩阵单位化就得到二次型的正交变换了.若有相同的特征值,则将此特征值对应的特征向量正交化,再将所得的新的向量和其他特征向量单位化,得到正交变换.具体计算太难写了,如果有不明白的可以接着问,希望对你有帮助
青秀区18981409305： 用正交线性替代法求f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2 - 2x 2x 3 - ？
大叔娜盐酸： 急求:用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注:x1中的1为下标)解: |A-λE|=λ-1 2 0 2 λ-2 2 0 2 λ-3 r1-(1...
青秀区18981409305： 线代正交变换化二次型 - ？
大叔娜盐酸： 这个问题很好解决 你只要把正交变换的矩阵中的列向量(即与特征值对应的特征向量)交换位置就行,比如正交变换的矩阵中的列向量P=(a1,a2,a3), a1,a2,a3分别对应特征值λ1,λ2,λ3 则经过正交变换后所得的标准型就是 f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2 而如果正交变换的矩阵中的列向量P=(a2,a1,a3),则经过正交变换后所得的标准型就是 f=λ2y1^2+λ1y2^2+λ3y3^2 求采纳为满意回答.
青秀区18981409305： 求一线性代数题:二次型f(x1,x2,x3,x4)可以通过正交线性代换化为y1^2 - 2y2^2+9y3^2,求该二次型的特征值？
大叔娜盐酸： 是1、-2、9、0,即其标准型的系数
青秀区18981409305： 用正交线性替换x=TY,把二次型f=x1x2+x1x3+x2x3化为标准型 - ？
大叔娜盐酸： 解: A=0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0A 的特征值为 1, -1/2, -1/2 (A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,1)^T (A+1/2E)x=0 的基础解系为 a2=(1,-1,0)^T, a3=(1,1,-2)^T 单位化后构成T= 1/√3 1/√2 1/√6 1/√3 -1/√2 1/√6 1/√3 0 -2/√6 则 X=TY 为正交变换, 且 f = y1^2 - 1/2y2^2 - 1/2y3^2
青秀区18981409305： 线性代数求一正交变换化二次型成标准型f=x1^2+x3^2+2*x1*x2 - 2*x2*x3 - ？
大叔娜盐酸：[答案] 二次型的矩阵 A = 1 1 0 1 0 -1 0 -1 1 |A-λE| = 1-λ 1 0 1 -λ -1 0 -1 1-λ c1+c3 1-λ 1 0 0 -λ -1 1-λ -1 1-λ r3-r1 1-λ 1 0 0 -λ -1 0 -2 1-λ = (1-λ)[-λ(1-λ)-2] = (1-λ)(λ^2-λ-2) = (1-λ)(2-λ)(-1-λ). 所以 A 的特征值为 1,2,-1. (A-E)X=0 的基础解系为:a1=(1,0,1)^T (A-2E)X...
青秀区18981409305： 线性代数计算题 求一个正交变换,将下列二次型化为标准f(X1,X2,X3)=2X1^2+2X2^+2X3^2+2X1X2+2X1X3+2X2X3 - ？
大叔娜盐酸：[答案] f(x1,x2,x3) = (x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + (x1+x3)^2设y1 = x1 + x2y2 = x2 + x3y3 = x1 + x3然后用y表示x就行x1 = 1/2 (y3-y2 +y1)x2 = 1/2 (y1-y3+y2)x3 = 1/2 (y1-y2+y3)然后写成X = P YP就是所求正交变换...
青秀区18981409305： 线性代数题急 求一个正交变换X=Py,将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+4x2x3化为标准型. - ？
大叔娜盐酸： 二次型 f(x1,x2,x3) = x1x2+4x2x3 的矩阵 A = [0 1/2 0] [1/2 0 2] [0 2 0] |λE-A| = λ^3-17λ/4, 解得特征值 λ=0,±√17/2. 对于 λ=0, λE-A = [0 -1/2 0] [-1/2 0 -2] [0 -2 0] 行初等变换为 [1 0 4] [0 1 0] [0 0 0] 得特征向量 (4, 0, -1)^T, 单位化为 (4/√17, 0, -...
青秀区18981409305： 急求:用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2 - 4x1x2 - 4x2x3(注:x1中的1为下标) - ？
大叔娜盐酸： 解: |A-λE|= λ-1 2 0 2 λ-2 2 0 2 λ-3 r1-(1/2)(λ-1) - r3 0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2) 2 λ-2 2 0 2 λ-3 第1行提出(λ-2),按第1列展开 |λE-A| = (λ-2)* (-2)* -(1/2)(λ-1) -2 2 λ-3-2 乘到 第1列 |λE-A| = (λ-2)* λ-1 -2 -4 λ-3=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]=(λ-2)(λ^2-4λ-5)=(λ-2)(λ-5)(...
