初中数学关于圆的定理

初中数学 圆 垂直定理~

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角21、①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35、①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含 d＜R-r(R＞r) 36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42、正三角形面积√3a／4 a表示边长43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 44、弧长计算公式：L=n兀R／180 45、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 46、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗

圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr�0�5 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr�0�5/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl

【圆的解析几何性质和定理】
〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

当x=-C／Ax2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d

圆的直径连接两头（一端在圆上，一端在直径上）
这个角是直角
这叫垂径定理
圆周角定理是
多少
——乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧
360
别的我就不知道了
．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．
2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．
圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）
切线长定理
垂径定理
圆周角定理
弦切角定理
四圆定理
3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．
7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
9.圆的两条平行弦所夹的弧相等
10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.
(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.
12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.
14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.
15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.
16.同一个弧有无数个相对的圆周角.
17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.
18.圆的内接四边形的对角互补或相等.
19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.
20.直径是圆中最长的弦.
21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
　　如图中，切线长AC=AB。
　　∵∠ABO=∠ACO=90°
　　BO=CO=半径
　　AO=AO公共边
　　∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）
　　∴AB=AC
　　∠AOB=∠AOC
　　∠OAB=∠OAC
垂径定理:　垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧
　　
垂径定理
如图
DC为直径
AB垂直于DC
则AE=EB
弧AC等于弧BC圆周角定理:定义
　　:
顶点在圆上,且两边与圆还有另一个交点。
圆周角定理
　　:
同弧所对圆周角是圆心角的一半.
　　证明略(分类思想,3种,半径相等)弦切角定理:　　定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明
　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，
　　则∠TCB=∠CDA
　　∵∠TCB=90-∠OCD
　　∵∠BOC=180-2∠OCD
　　
更清楚的
∴,∠BOC=2∠TCB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）
　　∵∠BOC=2∠CAB
　　∴∠TCB=∠CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
　　证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
　　求证：.（弦切角定理）
　　证明：分三种情况：
　　
（1）　圆心O在∠BAC的一边AC上
　　∵AC为直径，AB切⊙O于A，
　　∴弧CmA=弧CA
　　∵为半圆,
　　∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
　　
（2）　圆心O在∠BAC的内部.
　　过A作直径AD交⊙O于D,
　　若在优弧m所对的劣弧上有一点E
　　那么，连接EC、ED、EA
　　则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
　　∴
∠CEA=∠CAB
　　∴
（弦切角定理）
　　
（3）　圆心O在∠BAC的外部,
　　过A作直径AD交⊙O于D
　　那么
∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
　　∴∠CDA=∠CAB
　　∴（弦切角定理）四圆定理:垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
　　几何语言：
　　∵OC⊥AB，OC过圆心
　　（垂径定理）
　　推论1
　　（1）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
　　几何语言：
　　∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径
　　（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
　　（2）
弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧
　　几何语言：
　　∵AC＝BC，OC过圆心
　　（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）
　　（3）
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
　　几何语言：
　　（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）
　　推论2
圆的两条平分弦所夹的弧相等
　　几何语言：∵AB‖CD
　　圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
　　定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等
　　推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
　　圆周角
　　定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
　　推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
　　推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
　　推论3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
　　圆的内接四边形
　　定理
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
　　几何语言：
　　∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
　　∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADB＝180°，∠B＝∠ADE
　　切线的判定和性质
　　切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
　　几何语言：∵l
⊥OA，点A在⊙O上
　　∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
　　切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点半径
　　几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
　　∴l
⊥OA（切线性质定理）
　　推论1
经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
　　推论2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
　　切线长定理
　　定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
　　几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
　　∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
　　弦切角
　　弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
　　几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠A所对的是
　　∴∠BCN=∠A
　　推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
　　几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠ACM所对的是
，
=
　　∴∠BCN=∠ACM
　　和圆有关的比例线段
　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等
　　几何语言：∵弦AB、CD交于点P
　　∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
　　推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
　　几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点P
　　∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）
　　切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项
　　几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
　　∴PT2=PA·PB（切割线定理）
　　推论
从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
　　几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线
　　∴PT2=PA·PB（切割线定理推论）

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