已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.(1)求证:BC⊥SA(2)若S在底
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、给定公比为 的等比数列 ,设 , ,…, ,…,则数列
(A)是等差数列; (B)是公比为 的等比数列;
(C)是公比为 的等比数列; (D)既非等差数列又非等比数列。
[答](C)
2、平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式
的整点 的个数是
(A)16; (B)17; (C)18; (D)25。
[答](A)
3、若 ,则
(A) ;(B) ;(C) ;(D) 。
[答](B)
4、给定下列两个关于异面直线的命题:
命题I:若平面α上的直线 与平面β上的直线 为异面直线,直线 是α与β的交线,那么 至多与 , 中的一条相交;
命题II:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
那么
(A)命题I正确,命题II不正确;(B)命题II正确,命题I不正确;
(C)两个命题都正确; (D)两个命题都不正确。
[答](D)
5、在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后退出,这样,全部比赛只进行了50场,那么在上述3名选手之间比赛的场数是
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3。
[答](B)
6、已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线 交于另外两点B、C,那么△ABC是
(A)锐角三角形; (B)钝角三角形; (C)直角三角形; (D)答案不确定。
[答](C)
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
1、已知正整数 不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么这样的 的个数是__________。
[答] 6
2、已知 ,那么复数 的辐角主值是__________。
[答]
3、在△ABC中,记BC= ,CA= ,AB= ,若 ,则
__________。
[答]
4、已知点P在双曲线 上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么P的横坐标是__________。
〔答]
5、已知直线 中的 是取自集合 中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线的条数是__________。
〔答] 43
6、已知三棱锥S--ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H--AB--C的平面角等于30°,SA= ,那么三棱锥S--ABC的体积为__________。
〔答]
三、(本题满分20分)
已知当 时,不等式 恒成立,试求 的取值范围。
答案: , 是整数。
四、(本题满分20分)
给定A(-2,2),已知B是椭圆 上的动点,F是左焦点。当 取最小值时,求B的坐标。
答案: 。
五、(本题满分20分)
给定正整数 和正数 ,对于满足条件 的所有等差数列 ,试求 的最大值。
答案: 。
一、(本题满分50分)
如图,在 中,设 ,过A作 的外接圆的切线 .又以A为圆心, 为半径作圆分别交线段AB于D;交直线 于E、F.
证明:直线DE、DF分别通过 的内心与一个旁心。(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁心圆的圆心称为旁心)
证明:(1)先证DE过 的内心.
如图,连DE、DC,作 的平分线分别交DE于 、 于 ,
连 ,则由 ,得 , . 分
又D、C、E在 上, , A、I、C、E四点共圆, ,而 ,
分
(2)再证DF过 的一个旁心。
连FD并延长交 的外角平分线于 ,连 ,由(1)知,I为内心, 、B、 、I四点共圆,
、 、 共线。
二、(本题满分50分)
设正数 、 、 、 、 、 满足
求函数 的最小值。
解:由条件得, ,即
,同理,得
、 、 、 、 、 为正数,据以上三式知, 故以 、 、 为边长,可构成一个锐角三角形 , ,问题转化为:在锐角 中,求函数 的最小值 分
令 则
同理, 分
(取等号当且仅当 此时,
注:若考生直接令 得答案 则只给10分。
三、(本题满分50分)
对每个正整数 ,定义函数 (其中[ ]表示不超过 的最大整数, )。试求: 的值。
解:对任意 、 若 则 设 则
, 让 跑遍区间
中的所有整数,则 ,
于是 ①
下面计算 :画一张 的表,第 行中,凡是 的倍数处填写“*”号,则这行的“*”号共[ ]个,全表的“*”号共 个;另一方面,按列收集“*”号数:第 列中,若 有 个正因数,则该列便有 个“*”号,故全表的“*”号个数共 个,因此 。
示例如下:
1 2 3 4 5 6
1 * * * * * *
2 * * *
3 * *
4 *
5 *
6 *
则 ②
由此, ③ 分
记 易得 的取值情况如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10
因此, ④ 分
据定义 又当 ,设 ,
, ,
则 ⑤,从而 分给你个地址
(1)先证明 (2) 先证O为底面△ABC的垂心 (3) 试题分析:证明:(1) AH⊥面SBC,BC在面SBC内 ∴AH⊥BC ,同理 ,因此
O为底面△ABC的垂心,而三棱锥S—ABC的底面是正三角形,故O为底面△ABC的中心
(3)由(1)有SA=SB=SC= ,设CO交AB于F,则CF⊥AB, CF是EF在面ABC内的射影, EF⊥AB, ∠EFC为二面角H—AB—C的平面角,∠EFC=30°,∠ECF=60°,OC= ,SO=3,AB=3, 点评:本题考查异面直线垂直的证明,考查三角形中心的证明,考查三棱锥体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,合理地化空间问题为平面问题.
∴AH⊥BC,
∵H是△SBC的垂心,∴SH⊥BC,
又∵SH∩AH=H,∴BC⊥面SAH,
∴BC⊥SA.…(4分)
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又∵BC⊥SA,SA∩SO=S,
∴BC⊥面SOA,
∴AO⊥BC,同理AB⊥OC,…(8分)
因此O为底面△ABC的垂心,
而三棱锥S-ABC的底面是正三角形,
故O为底面△ABC的中心.
(3)由(1)有SA=SB=SC=2
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,点A在侧面SBC上的射影为H是三角形SB... 已知三棱锥S-ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上,且SA=SB=SC=AB... 已知三棱锥s-abc的三条侧棱两两垂直,sa=5,sb=4,sc=3,d为ab的中点,e为... 已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,高为h,在正三棱柱内任取一点M,求使M... 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,侧面积为2,则该三棱锥外接球的表... 已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心... 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC, SA=2 3... 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂 ... 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,求高 已知正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,BC中点,MN垂直AM,若侧棱SA等于2根号... 晋灵地榆:[答案] 证明:(1)∵AH⊥面SBC,BC在面SBC内, ∴AH⊥BC, ∵H是△SBC的垂心,∴SH⊥BC, 又∵SH∩AH=H,∴BC⊥面... ∴BC⊥面SOA, ∴AO⊥BC,同理AB⊥OC,…(8分) 因此O为底面△ABC的垂心, 而三棱锥S-ABC的底面是正三角形, 故O为... 张湾区19236096367: 已知三棱锥S - ABC的底面为正三角形,侧面是全等的等腰三角形,三棱锥内有一个三棱柱,三棱柱的底面也为正三角形,侧面全是全等的矩形.三棱柱的一底... - ? 晋灵地榆:[答案] 设三棱柱上底DE=EF=FG长为a,三棱锥高SH为15, 所以根据相似(相似定理) a:12=SG:15,算得SG为1.25a, 所以三棱柱高GH=15-1.25a, 因为三棱柱侧面积为120, 所以 S=120=a乘以(15-1.25a)乘以3, 解得a=4,或a=8, 所以 三棱柱的... 张湾区19236096367: 三棱锥S - ABC,底面是正三角形,点A在侧面SBC投影是三角形SBC垂心.SA为a,求三棱锥体积最大值? - ? 晋灵地榆: 解:由题意 可知 A点到点A在侧面SBC投影是三角形SBC垂心 即三边的高线的交点 所以 当三角形SBC为直角三角形 角BSC为直角时 三棱锥的高 与SA重合 为最大 即 三棱锥就是一个 底面是正三角形,SA,SB,SC两两垂直的正三棱锥 由SA=a 得三棱锥最大体积为(1/3)(1/2)a*a*a=(a^3)/6 张湾区19236096367: 已知三棱锥S - ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心,二面角H - AB - C - ? 晋灵地榆: 如图,AH⊥面SBC,设BH交SC于E,连接AE ∵H是△SBC的垂心 ∴BE⊥SC, ∵AH⊥平面SBC,SC⊆平面SBC ∴AH⊥SC,结合BE∩AH=H ∴SC⊥平面ABE, ∵AB⊆平面ABE, ∴AB⊥SC 设S在底面ABC内的射影为O,则SO⊥平面ABC, ∵... 张湾区19236096367: 已知正三棱锥(底面是正三角形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心得三棱锥)P - ABC的侧棱长为10cm,侧面积为144cm²,求棱锥的底面边长和高. - ? 晋灵地榆:[答案] 列出方程组设底边x为高为h则1/3x²加h²=100还有x²乘(h²加x²/12)=96解出来就行了 张湾区19236096367: 证明三棱锥是正三棱锥 - ? 晋灵地榆: 由题意可知:因为H是△SBC的垂心,所以H到B、C、S的距离相等所以SB=SC=BC=a; 同理可证:SB=SA=a; 由上可证:SA=SB=SC=AB=AC=BC=a,所以三棱锥是正三棱锥. 张湾区19236096367: 在三棱锥S - ABC中,底面ABC为边长为3的正三角形,侧棱SA⊥底面ABC,若三棱锥的外接球的体积为36π,则该三棱锥的体积为() - ? 晋灵地榆:[选项] A. 9 2 B. 272 2 C. 92 2 D. 27 2 张湾区19236096367: 若三棱锥S - ABC的底面是边长为2的正三角形,且AS⊥平面SBC,则三棱锥S - ABC的体积的最大值为------ - ? 晋灵地榆: 解:取BC的中点D,连接SD,AD,则AD⊥BC,∵AS⊥平面SBC,∴AS⊥BC,∵AD∩AS=A,∴BC⊥平面SAD,∴VS-ABC=1 3 S△SAD?BC,故求三棱锥S-ABC的体积的最大值,即求S△SAD的最大值,∵SA2+SD2=3≥2SA?SD,∴SA?SD≤3 2 ,当且仅当SA=SD时,S△SAD的最大3 4 ,∴三棱锥S-ABC的体积的最大值为1 3 ?3 4 ?2=1 2 . 故答案为:1 2 . 张湾区19236096367: 在三棱锥S - ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,SA垂直底面 ,SA=2根号2,D为SA的中点,则BD与SC所成角的 - ? 晋灵地榆: 取AC的中点为E,连接DE,DE为三角形ACS的中位线,DE平行SC.所以求DE与DB所成角. 由DA=1/2SA=根号2,BA=2,SA垂直AB得出,DB=根号6 ABC为边长为2的正三角形,E为AC中点,得出BE=根号3 DA=根号2,AE=1,得出DE=根号3 综上,三角形BED为一个等腰直角三角形,所以DE与DB所成角为45度===>SC与DB所成角为45度. 张湾区19236096367: 三棱锥S - ABC中,侧棱SA⊥平面ABC,底面ABC是边长为 3 的正三角形,SA=2 3 ,则该三棱锥的外接球体积等于___. - ? 晋灵地榆:[答案] 根据已知中侧棱SA⊥平面ABC,底面ABC是边长为 3的正三角形,SA=2 3, 可得此三棱锥外接球,即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球, ∵△ABC是边长为 3的正三角形, ∴△ABC的外接圆半径r= 3 3* 3=1,球心到△ABC的外接圆... 你可能想看的相关专题
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