已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．（1）求证：BC⊥SA（2）若S在底
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、给定公比为 的等比数列 ，设 ， ，…， ，…，则数列
（A）是等差数列； （B）是公比为 的等比数列；
（C）是公比为 的等比数列； （D）既非等差数列又非等比数列。
[答]（C）
2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式
的整点 的个数是
（A）16； （B）17； （C）18； （D）25。
[答]（A）
3、若 ，则
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
[答]（B）
4、给定下列两个关于异面直线的命题：
命题I：若平面α上的直线 与平面β上的直线 为异面直线，直线 是α与β的交线，那么 至多与 ， 中的一条相交；
命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么
（A）命题I正确，命题II不正确；（B）命题II正确，命题I不正确；
（C）两个命题都正确； （D）两个命题都不正确。
[答]（D）
5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后退出，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
[答]（B）
6、已知点A（1，2），过点（5，－2）的直线与抛物线 交于另外两点B、C，那么△ABC是
（A）锐角三角形； （B）钝角三角形； （C）直角三角形； （D）答案不确定。
[答]（C）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1、已知正整数 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的 的个数是__________。
[答] 6
2、已知 ，那么复数 的辐角主值是__________。
[答]
3、在△ABC中，记BC＝ ，CA＝ ，AB＝ ，若 ，则
__________。
[答]
4、已知点P在双曲线 上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是__________。
〔答]
5、已知直线 中的 是取自集合 中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是__________。
〔答] 43
6、已知三棱锥S--ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H--AB--C的平面角等于30°，SA＝ ，那么三棱锥S--ABC的体积为__________。
〔答]
三、（本题满分20分）
已知当 时，不等式 恒成立，试求 的取值范围。
答案： ， 是整数。
四、（本题满分20分）
给定A（－2，2），已知B是椭圆 上的动点，F是左焦点。当 取最小值时，求B的坐标。
答案： 。
五、（本题满分20分）
给定正整数 和正数 ，对于满足条件 的所有等差数列 ，试求 的最大值。
答案： 。
一、（本题满分50分）
如图，在 中，设 ，过A作 的外接圆的切线 .又以A为圆心, 为半径作圆分别交线段AB于D;交直线 于E、F.
证明：直线DE、DF分别通过 的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心）
证明：（1）先证DE过 的内心.
如图，连DE、DC，作 的平分线分别交DE于 、 于 ，
连 ，则由 ，得 ， . 分
又D、C、E在 上， ， A、I、C、E四点共圆， ，而 ，
分
（2）再证DF过 的一个旁心。
连FD并延长交 的外角平分线于 ，连 ，由（1）知，I为内心， 、B、 、I四点共圆，
、 、 共线。
二、（本题满分50分）
设正数 、 、 、 、 、 满足
求函数 的最小值。
解：由条件得， ，即
，同理，得
、 、 、 、 、 为正数，据以上三式知， 故以 、 、 为边长，可构成一个锐角三角形 ， ，问题转化为：在锐角 中，求函数 的最小值 分
令 则
同理， 分
（取等号当且仅当 此时，
注：若考生直接令 得答案 则只给10分。
三、（本题满分50分）
对每个正整数 ,定义函数 （其中[ ]表示不超过 的最大整数， ）。试求： 的值。
解：对任意 、 若 则 设 则
， 让 跑遍区间
中的所有整数，则 ，
于是 ①
下面计算 ：画一张 的表，第 行中，凡是 的倍数处填写“*”号，则这行的“*”号共[ ]个，全表的“*”号共 个；另一方面，按列收集“*”号数：第 列中，若 有 个正因数，则该列便有 个“*”号，故全表的“*”号个数共 个，因此 。
示例如下：
1 2 3 4 5 6
1 * * * * * *
2 * * *
3 * *
4 *
5 *
6 *
则 ②
由此， ③ 分
记 易得 的取值情况如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10
因此， ④ 分
据定义 又当 ，设 ，
， ，
则 ⑤，从而 分给你个地址
(1)先证明 (2) 先证O为底面△ABC的垂心 (3) 试题分析：证明：(1) AH⊥面SBC，BC在面SBC内 ∴AH⊥BC ,同理 ,因此
O为底面△ABC的垂心，而三棱锥S—ABC的底面是正三角形，故O为底面△ABC的中心
(3)由（1）有SA=SB=SC= ，设CO交AB于F，则CF⊥AB， CF是EF在面ABC内的射影， EF⊥AB， ∠EFC为二面角H—AB—C的平面角，∠EFC=30°，∠ECF=60°，OC= ，SO=3，AB=3， 点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三角形中心的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，合理地化空间问题为平面问题．
∴AH⊥BC，
∵H是△SBC的垂心，∴SH⊥BC，
又∵SH∩AH=H，∴BC⊥面SAH，
∴BC⊥SA．…（4分）
|
又∵BC⊥SA，SA∩SO=S，
∴BC⊥面SOA，
∴AO⊥BC，同理AB⊥OC，…（8分）
因此O为底面△ABC的垂心，
而三棱锥S-ABC的底面是正三角形，
故O为底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=2
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,点A在侧面SBC上的射影为H是三角形SB... 已知三棱锥S-ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上,且SA=SB=SC=AB... 已知三棱锥s-abc的三条侧棱两两垂直,sa=5,sb=4,sc=3,d为ab的中点,e为... 已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,高为h,在正三棱柱内任取一点M,求使M... 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,侧面积为2,则该三棱锥外接球的表... 已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心... 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC, SA=2 3... 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂 ... 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,求高 已知正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,BC中点,MN垂直AM,若侧棱SA等于2根号... 晋灵地榆：[答案] 证明:(1)∵AH⊥面SBC,BC在面SBC内, ∴AH⊥BC, ∵H是△SBC的垂心,∴SH⊥BC, 又∵SH∩AH=H,∴BC⊥面... ∴BC⊥面SOA, ∴AO⊥BC,同理AB⊥OC,…(8分) 因此O为底面△ABC的垂心, 而三棱锥S-ABC的底面是正三角形, 故O为... 张湾区19236096367： 已知三棱锥S - ABC的底面为正三角形,侧面是全等的等腰三角形,三棱锥内有一个三棱柱,三棱柱的底面也为正三角形,侧面全是全等的矩形.三棱柱的一底... - ？ 晋灵地榆：[答案] 设三棱柱上底DE=EF=FG长为a,三棱锥高SH为15, 所以根据相似(相似定理) a:12=SG:15,算得SG为1.25a, 所以三棱柱高GH=15-1.25a, 因为三棱柱侧面积为120, 所以 S=120=a乘以(15-1.25a)乘以3, 解得a=4,或a=8, 所以 三棱柱的... 张湾区19236096367： 三棱锥S - ABC,底面是正三角形,点A在侧面SBC投影是三角形SBC垂心.SA为a,求三棱锥体积最大值? - ？ 晋灵地榆： 解:由题意 可知 A点到点A在侧面SBC投影是三角形SBC垂心 即三边的高线的交点 所以 当三角形SBC为直角三角形 角BSC为直角时 三棱锥的高 与SA重合 为最大 即 三棱锥就是一个 底面是正三角形,SA,SB,SC两两垂直的正三棱锥 由SA=a 得三棱锥最大体积为(1/3)(1/2)a*a*a=(a^3)/6 张湾区19236096367： 已知三棱锥S - ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心,二面角H - AB - C - ？ 晋灵地榆： 如图,AH⊥面SBC,设BH交SC于E,连接AE ∵H是△SBC的垂心 ∴BE⊥SC, ∵AH⊥平面SBC,SC⊆平面SBC ∴AH⊥SC,结合BE∩AH=H ∴SC⊥平面ABE, ∵AB⊆平面ABE, ∴AB⊥SC 设S在底面ABC内的射影为O,则SO⊥平面ABC, ∵... 张湾区19236096367： 已知正三棱锥(底面是正三角形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心得三棱锥)P - ABC的侧棱长为10cm,侧面积为144cm²,求棱锥的底面边长和高. - ？ 晋灵地榆：[答案] 列出方程组设底边x为高为h则1/3x²加h²=100还有x²乘(h²加x²/12)=96解出来就行了 张湾区19236096367： 证明三棱锥是正三棱锥 - ？ 晋灵地榆： 由题意可知:因为H是△SBC的垂心,所以H到B、C、S的距离相等所以SB=SC=BC=a; 同理可证:SB=SA=a; 由上可证:SA=SB=SC=AB=AC=BC=a,所以三棱锥是正三棱锥. 张湾区19236096367： 在三棱锥S - ABC中,底面ABC为边长为3的正三角形,侧棱SA⊥底面ABC,若三棱锥的外接球的体积为36π,则该三棱锥的体积为() - ？ 晋灵地榆：[选项] A. 9 2 B. 272 2 C. 92 2 D. 27 2 张湾区19236096367： 若三棱锥S - ABC的底面是边长为2的正三角形,且AS⊥平面SBC,则三棱锥S - ABC的体积的最大值为------ - ？ 晋灵地榆： 解:取BC的中点D,连接SD,AD,则AD⊥BC,∵AS⊥平面SBC,∴AS⊥BC,∵AD∩AS=A,∴BC⊥平面SAD,∴VS-ABC=1 3 S△SAD?BC,故求三棱锥S-ABC的体积的最大值,即求S△SAD的最大值,∵SA2+SD2=3≥2SA?SD,∴SA?SD≤3 2 ,当且仅当SA=SD时,S△SAD的最大3 4 ,∴三棱锥S-ABC的体积的最大值为1 3 ?3 4 ?2=1 2 . 故答案为:1 2 . 张湾区19236096367： 在三棱锥S - ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,SA垂直底面 ,SA=2根号2,D为SA的中点,则BD与SC所成角的 - ？ 晋灵地榆： 取AC的中点为E,连接DE,DE为三角形ACS的中位线,DE平行SC.所以求DE与DB所成角. 由DA=1/2SA=根号2,BA=2,SA垂直AB得出,DB=根号6 ABC为边长为2的正三角形,E为AC中点,得出BE=根号3 DA=根号2,AE=1,得出DE=根号3 综上,三角形BED为一个等腰直角三角形,所以DE与DB所成角为45度===>SC与DB所成角为45度. 张湾区19236096367： 三棱锥S - ABC中,侧棱SA⊥平面ABC,底面ABC是边长为 3 的正三角形,SA=2 3 ,则该三棱锥的外接球体积等于___. - ？ 晋灵地榆：[答案] 根据已知中侧棱SA⊥平面ABC,底面ABC是边长为 3的正三角形,SA=2 3, 可得此三棱锥外接球,即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球, ∵△ABC是边长为 3的正三角形, ∴△ABC的外接圆半径r= 3 3* 3=1,球心到△ABC的外接圆... 你可能想看的相关专题
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