勾股定理三边关系的证明方法

勾股定理中用三个正方形来表示三条边的关系属不属于证明方法？~

勾股定理是直角三角形边长关系的特例。
一，直角三角形的一个特点是斜边长度的平方等于两个直角边长的平方和。
二，通过三个正方形来证明，其实各个边长的平方即是该边长的正方形面积。其结果正好可以验证勾3股4弦5。

最早的勾股定理应用

　　从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图
　　设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米
　　∵a=√[l2-（l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
　　《周髀算经》为算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。
　　首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）
　　而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2]——
　　昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
　　商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
　　周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。

《周髀算经》证明步骤
　　“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。
　　“故折矩①，以为勾广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
　　“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。
　　“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。
　　注意：
　　① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。
　　② “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。
　　③ 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者， 句股各自乘之实。共长者，并实之数。
　　由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。
加菲尔德证明勾股定理
　　1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
　　如下：
　　解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积。
　　勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
　　说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5
　　则说明斜边为5。

多种证明方法
　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
　　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
证法1
　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，
　　∴ ∠EGF = ∠BED，
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S，则
　　A2+B2=C2
证法2
　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ，垂足为N.
　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
　　∴ ∠MPC = 90°，
　　∵ BM⊥PQ，
　　∴ ∠BMP = 90°，
　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
　　∴ ∠QBM = ∠ABC，
　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
　　∴FI=a，
　　∴G,I,J在同一直线上，
　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
　　∠CJB = ∠CFD = 90°，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
　　∵∠ABC= 90°，
　　∴G,B,I,J在同一直线上，
　　A2+B2=C2。
证法4
　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，
　　交AB于点M，交DE于点L.
　　∵ AF = AC，AB = AD，
　　∠FAB = ∠GAD，
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
　　∵ ΔFAB的面积等于，
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半，
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ 即A2+B2=C2
证法5（欧几里得）
　　《几何原本》中的证明
　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
　　其证明如下：
　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6（射影定理）
　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高
　　通过证明三角形相似则有射影定理如下：
　　⑴（BD）^2;;=AD·DC，
　　⑵（AB）^2;;=AD·AC ，
　　⑶（BC）^2;;=CD·AC。　
　　由公式⑵+⑶得：（AB）^2;;+（BC）^2;;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）^2;；，
　　图1即 （AB）^2;;+（BC）^2;;=（AC）^2;，这就是勾股定理的结论。
证法7（赵爽弦图）
　　在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：　4×（ab/2)+（b-a）2 =c2；

赵爽弦图
　　化简后便可得：a2 +b2 =c2;

青朱出入图
　　亦即：c=(a2 +b2 )1/2
证法8（达芬奇）
　　三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
　　证明：
　　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
　　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
　　因为S1=S2
　　所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
　　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
　　所以OF2+OE2=E'F'2
　　因为E'F'=EF
　　所以OF2+OE2=EF2
　　勾股定理得证。
证法9
　　从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a)
　　矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直
　　角三角形。
　　（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab
　　2b2- b2 + a2 = c2;
　　a2 + b2 = c2;
　　注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
证法10
　　在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。
　　令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d
　　1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c
　　=(a^2+b^2)/c^2=1
　　所以a^2+b^2=c^2
　　得证。
勾股定理习题及答案题目
　　将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的A'，利用阴影部分面积完成勾股定理的证明。∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c；求证：a^2;+b^2;=c^2;.
答案
　　证明：作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上，连接AA' 、BB'， 延长B'A'交AB于点M。
　　∵△A'B'C是由△ABC旋转所得
　　∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C
　　∴∠A'B'C=∠ABC
　　延长B'A'交AB于点M
　　则∠A'B'C+∠B'A'C=90°
　　而∠B'A'C=∠MA'B（对顶角相等）
　　∴∠MBA'+MA'B=90°
　　∴B'M⊥AB
　　∴Rt△ABC≌Rt△A'BM
　　∴A'B/AB=A'M/AC
　　即（a-b)/c=A'M/b
　　∴A'M=(a-b）·b/c
　　∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M]
　　=(1/2）·c·[c+(a-b）·b/c]
　　=(1/2)c2+(1/2)(a-b）·b
　　=(1/2)[c2+ab-b2]
　　S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab)
　　而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B
　　∴（1/2)[c2+ab-b2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a2-ab)
　　则c2+ab-b2=2ab+a2-ab
　　∴a^2;+b^2;=c^2;.
　　勾股定理 - 勾股定理
　　直角边的平方和等于斜边的平方
　　勾股定理指出：
　　直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
　　也就是说，
　　设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么
　　a + b = c
　　勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
　　一种证明方法的图示：左右两正方形面积相等，各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等 勾股定理的美妙证明
　　证明[广西梁卷明的证法]：如图1，分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS，从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合，则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；显然⊿RSB≌⊿PTA，如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合！
　　故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得：a的平方 + b的平方 = c的平方.
　　毕达哥拉斯有关勾股定理书籍
　　《数学原理》人民教育出版社
　　《探究勾股定理》同济大学出版社
　　《优因培教数学》北京大学出版社
　　《勾股书籍》 新世纪出版社
　　《九章算术一书》
　　《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
　　《几何原本》 （原著：欧几里得）人民日报出版社
　　毕达哥拉斯树
　　毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
　　直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
　　两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。
　　利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论：
　　三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
　

我记得数学书上好像有耶~

证明方法很多，但是我就不明白，证明个这个干吗呢

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长岛县18828666381： 勾股定理关系 三边关系 - ？
归鲍复方：[答案] 勾股定理是一个初等几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.勾股定理是余弦定理的一个特例.勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理...

长岛县18828666381： 最简单的勾股定理的证明方法是什么? - ？
归鲍复方： 简单的勾股定理的证明方法如下: 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边...

长岛县18828666381： 勾股定理的三种证明方法 - ？
归鲍复方： 勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单,更容易吸引人,...

长岛县18828666381： △ABC不是直角三角形,怎么证明三边abc的关系,是有关勾股定理的.三角形分为锐角和钝角. - ？
归鲍复方：[答案] 题意不明@! 你是要证明什么关系? 是大小关系还是其它? 因为三边的关系似乎除了: a+b>c a-b

长岛县18828666381： 勾股定理的证明方法(要欧几里德的)有图最好要欧几里德的,有图最好 - ？
归鲍复方：[答案] 欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证,这个定理就是我们中国常说的勾股定理.证明过程如下:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB、AC、BC为边向外有三个正方形:正方形ABDE,正方形ACGF,正方形BCHJ.连接DC...

长岛县18828666381： 勾股定理的证明方法(要欧几里德的)有图最好 - ？
归鲍复方： 欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证,这个定理就是我们中国常说的勾股定理.证明过程如下: 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB、AC、BC为边向外有三个正方形:正方形ABDE,正方形ACGF,正方形BCHJ. 连接DC、AJ. 过A点作AN⊥JH,垂足为N,交BC于M. 先通过SAS,可得△ABJ≌△DBC, 因此它们的面积相等. 而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积 长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积 因此 正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积 同理可得 正方形ACGF的面积 = 长方形CMNH的面积 从而: BC2=AB2+AC2麻烦采纳,谢谢!

长岛县18828666381： 勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法.(1)请你根据图1填空;勾股定理成立的条件是______三角形,结论是______(三边关系)(2)以... - ？
归鲍复方：[答案] (1)勾股定理指的是在直角三角形中,两直角边的平方的和等于斜边的平方. 故答案是:直角;a2+b2=c2; (2)∵Rt△ABE≌Rt△ECD, ∴∠AEB=∠EDC, 又∵∠EDC+∠DEC=90°, ∴∠AEB+∠DEC=90°, ∴∠AED=90°. ∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt...

长岛县18828666381： 勾股定理的证明 - ？
归鲍复方： 勾股定理的证明: 1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等. 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把...

长岛县18828666381： 数学勾股定理的证明方法,至少七种.最好是比较常见的,不是也没关系.一定要带图,证明清楚. - ？
归鲍复方：[答案] 证法1 作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使... 证法5(欧几里得的证法) 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设...

长岛县18828666381： 三角形题锐角或钝角三角形,单边分别为a,b,c,用勾股定理证明此时三边的关系,要证明 - ？
归鲍复方：[答案] △ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a≤b≤c,1.∠C=90°,△ABC是直角三角形,有a²+b²=c².2.∠C<90°,△ABC是锐角三角形,过A作AD⊥BC交BC于D,设CD=x,AD=h,则BD=a-x,直角△ACD中,b²=x²+h²(1)直角...