以四边形ABCD各边为斜边向外作等腰直角三角形，证四个直角顶点连线互相垂直

2、如图，平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角三角形CDE~

解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
则∠ADE+∠BCE=∠ADC+∠BCD-∠EDC-∠ECD=90°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=（180°-∠ADE）/2，
∵CE=AD=BC，
∴∠CEB=∠CBE=（180°-∠BCE）/2,
∴∠DEA+∠CEB=（360°-∠ADE-∠BCE）/2=270°/2=135°
∴∠AEB=360°-∠DEC-∠DEA -∠CEB =360°-90°-135°=135°

小题1:（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．小题2:（2）解：①∠HAE=90°+a小题3:证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE= AB，DG= CD，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，…………………………………………3分∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，……………………………4分∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，……………………………………………………………5分∴HE=HG．………………………………………………………………………6分小题4:答：四边形EFGH是正方形，………………………………………………7分理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，………………………………………8分∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，∴四边形EFGH是菱形，…………………………………………………………9分∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，∴四边形EFGH是正方形．………………………………………………………10分 略

在任意四边形ABCD中，分别以边AB，BC，CD，DA为斜边向四边形外侧作等腰直角三角形ΔABE,ΔBCF,ΔCDG,ΔDAH。求证:EG=FH，EG⊥FH。

此命题就是Von.Aubel定理。
Von.Aubel定理: 以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，ΔCDG，ΔDAH。则:EG=FH，EG⊥FH。
关于上述定理的几点说明:
(1)，条件是任意四边形，所以不一定是凸四边形;
(2)，作四个转向相同的等腰直角三角形，所以可以同时向四边形形外或四边形形内，作等腰直角三角形。
(3)，当四边形退化为三角形时，结论也成立。即A与D，H重合，求证:EG=AF，EG⊥AF。

下面给出详细的证明。
证明 先给出一个引理，
引理: 以任意三角形ABC的边AB，BC为斜边作两个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，O点是AC的中点，则EO=FO，EO⊥FO。
简证如下: 以F点为中心，对△BEF按逆时针旋转90°，则B→C，设E→D。
显然有 DC=BE，且DC⊥BE，又BE=AE,BE⊥AE，所以 DC∥AE，DC=AE。
从而DE与AC互相平分，即AC的中点O亦为DE的中点。
因为DE是等腰直角△DEF的斜边，故△EOF为等腰直角三角形。
因此EO⊥FO 且EO=FO。

证明 连AC，取AC的中点O，连EO，FO，GO，HO。EG，FH的交点为Q。
根据上述引理知:EO=FO，EO⊥FO，GO=HO，GO⊥HO，
而∠EOG=90°+∠EOH=∠FOH。所以△EOG≌△FOH，
于是得:EG=FH，∠GEO=∠HFO，
因此得E，F，O，Q四点共圆，即得: ∠EOF=90°=∠EQF。
故EG⊥FH。证毕。

使用的字母和你的图不同，不过不影响一般性。

---

信阳市18394082586： 以平行四边形ABCD的四边为斜边,分别向外做等腰直角三角形ABE,ABE,CDG,DAH. 求证四边形EFHG是正方形 - ？
权孔博维： 证明;因为ABCD为平行四边形, 所以AB=DC AD=BC所以AD边所对的等腰直角三角形全等与BC边所对的等腰直角三角形,AB边所对的等腰直角三角形全等与DC边所对的等腰直角三角形, 则AH+AE=EB+BF=CF+CG=GD+HD=HE=EF=FG=GH 则四条边都相等, 且△ABE与△BCF△CDG△ADH都为直角三角形,所以∠E∠F∠H∠G为九十度,所以EFHG为正方形.

信阳市18394082586： 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连接这四个点,得四边形EFGH.(1)如图1,... - ？
权孔博维：[答案] (1)四边形EFGH的形状是正方形. (2)①∠HAE=90°+α, 在平行四边形ABCD中AB∥CD, ∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α, ∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形, ∴∠HAD=∠EAB=45°, ∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-...

信阳市18394082586： HELP!以四边形ABCD的边AB.BC.CD.DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为EFGH - ？
权孔博维： 出题不好,,改一下:以平行四边形ABCD的边AB.BC.CD.DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为EFGH,求S四边形ABCD等于S△EAH+S△HDG+S△GCF+S△FBE的条件.答案:平行四边形ABCD有一个角为45度.后面将续.

信阳市18394082586： 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连...？
权孔博维： <p>如图:</p> <p>∠BAD=180°-a</p> <p>∠HAE=360°-∠HAD-∠BAD-∠BAE=360°-45°-(180°-a)-45°=a+90°</p> <p>△HAE≌△HDG</p> <p>HE=HG</p> <p>四边形EFGH是正方形</p> <p> </p> <p></p> <p> </p>

信阳市18394082586： 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连接 - ？
权孔博维： 解:(1)四边形EFGH的形状是正方形;(2)①∠HAE=90°+a,在平行四边形ABCD中AB∥CD, ∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a, ∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形, ∴∠HAD=∠EAB=45°, ∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=...

信阳市18394082586： 请证明:在四边形的四边上,分别向外作等腰直角三角形 - ？
权孔博维： 这个四边形应该是正四边形吧?否则此证明似乎不成立!其实你只要证明小四边形的一条边和定点相连后形成的大四边形的一条边平行就可以全部证明了!其实不管这个外延的直角等腰三角形的边有多大,只要将四个定点链接起来就形成了一个大的正方形了,你只要证明这个正方形的对角连线平行于那个原来的四边形的边就可以了!用等比条件就可以证明!

信阳市18394082586： 以四边形ABCD边AB,BC,CD,DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E,F,G,H,顺次连接这四个点 - ？
权孔博维： (1)解:四边形EFGH的形状是正方形.(2)解:①∠HAE=90°+α,在平行四边形ABCD中AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α,∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°,∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+α,答:用含α的代数式表示∠HAE是90°+α.

信阳市18394082586： 怎样证明冯奥贝尔定理 - ？
权孔博维： Von.Aubel定理: 以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE,ΔBCF,ΔCDG,ΔDAH.则:EG=FH,EG⊥FH.关于上述定理的几点说明:(1),条件是任意四边形,所以不一定是凸四边形;(2),作四个转向相同的...

信阳市18394082586： 初二平行四边形的数学题以平行四边形ABCD的边AB、CD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形CDF,AC与EF相交于点O,求证:OE=OF - ？
权孔博维：[答案] 因为AE=AB=CD=CF 角AOE=角COF 角EAO=角EAB+角BAO=60+角ACD=角DCF+角ACD=角FCO 所以三角形AOE全等于三角形COF 所以OE=OF

信阳市18394082586： 如图,以平行四边形ABCD的边AB,CD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形CDF,AC与EF相较于点O,证明OE=OF - ？
权孔博维：[答案] ∵ABCD是平行四边形,∴DC=BA、AD=CB、∠ADC=∠CBA. ∵△CDF、△ABE是等边三角形,∴DC=DF、BA=BE、∠CDF=∠ABE=60°. 由∠ADC=∠CBA、∠CDF=∠ABE,得:∠ADC+∠CDF=∠CBA+∠ABE, ∴∠ADF=∠CBE. 由DC=BA...