三角形ABC中,AD为角A平分线,交BC于D。求证AB/BD=AC/CD

如图，三角形ABC中，AD为角A的角平分线 求证 AB/AC=BD/CD~

作辅助线 延长 BA 至 E 点，使得 AE = AC。联结 CE
那么，△ACE 是等腰三角形
因此，∠AEC = ∠ACE
又因为 ∠BAC 是 △ACE 的一个角∠CAE 的外角，所以

∠BAC = ∠AEC + ∠ACE = 2∠AEC

又因为 AD 是 ∠BAC 的角平分线，所以有
∠BAD = 1/2 * ∠BAC = ∠AEC

所以，AD//CE
那么，△BAD 与 △BEC 是相似三角形，即 △BAD ∽ △BEC

所以有
BA：AE = BD：DC
因此有
BA：AC = BD：DC

看图能懂吗？
由D点划一条垂直线DE，交于AC边于E点，划一点垂直线DF，交于AB边于F点；再由A点划条垂直线AG交于BC边上G点。
由于AD是角A的平分线，根据等角角边可以求证出DF=DE。而三角形ABD与三角形ADC的面积比就可以用AB*DF/2：AC*DE/2由于DE＝DE，即可求得三角形ADC与三角形ABD的面积比就等于AB：AC。而而三角形ABD与三角形ADC的面积比又可以用BD*AG/2：BC*AG/2＝BD：BC。即可求得AB：AC＝BD：BC

【不用圆，不用正弦】

1.【平行线分线段成比例】

证明：

作CE//DA，交BA延长线于E

则AB/AE=BD/CD

∵∠E=∠BAD【平行，同位角相等】

  ∠ACE=∠CAD【平行，内错角相等】

  ∠BAD=∠CAD【AD平分∠BAC】

∴∠E=∠ACE

∴AE=AC

∴AB/AC=BD/CD

∴AB/BD=AC/CD

2.【面积，学了全等就会】

证明：

作DM⊥AB，DN⊥AC，AE⊥BC

∵AD平分∠BAC

∴DM=DN【角平分线上的点到角两边的距离相等】

∵S⊿ABD=½AB×DM，S⊿ACD=½AC×DN

∴S⊿ABD/S⊿ACD=AB/AC

∵S⊿ABD=½BD×AE，S⊿ACD=½CD×AE

∴S⊿ABD/S⊿ACD=BD/CD

∴AB/AC=BD/CD

∴AB/BD=AC/CD

3.【相似】

证明：

作CE//AB交AD延长线于E

则⊿ABD∽⊿ECD

∴AB/CE=BD/CD

   ∠BAD=∠E

∵∠BAD=∠CAD

∴∠CAD=∠E

∴AC=CE

∴AB/AC=BD/CD

∴AB/BD=AC/CD

4.【相似和平行线分线段成比例】

证明：

作DE//BA交AC于E

则⊿ABC∽⊿EDC

∴AB/DE=AC/CE

∴AB/AC=DE/CE

∵DE//BA

∴BD/CD=AE/CE

∵∠EDA=∠BAD

   ∠BAD=∠CAD

∴∠EDA=∠CAD

∴AE=DE

∴BD/CD=DE/CE

∴AB/AC=BD/CD

∴AB/BD=AC/CD

你好！

画图麻烦，我就文字叙述了

解法一：过C作AD的平行线交BA延长线于E
平行线分线段成比例
所以AB/BD=AE/CE
又∠E=∠BAD【同位角】
∠CAD=∠ACE【内错角】
且∠BAD=∠CAD【角平分线】
∴∠E=∠ACE
∴AC=AE
故AB/BD=AC/CD

其余证法参考百度百科：http://baike.baidu.com/view/276158.htm

作CE∥AB交AD延长线于E

则

△ABS∽△ECD

AB/BD=CE/CD

又<CAD=<CED,

∴CE=AC

∴AB/BD=AC/CD

---

惠水县18722924153： 在三角形ABC中,AD是角A的平分线,求证:AB:AC=BD:CD - ？
米蒋复方： 过C,B作CE‖AD,BF‖AD.延长CA交BF于H.∵BF‖AD ∴∠DAB=∠ABH ∠CAD=∠AHB ∵∠DAB=∠AHB ∴AB=AH ∵CE‖AD‖BE ∴AB:AC=BD:CD

惠水县18722924153： 如图,三角形ABC中,AD是角A的平分线,AD的垂直平分线交AD与E,交BC的延长线为F,求证三角形ABF相似与三角形CAF - ？
米蒋复方：[答案] 此题的关键是证明∠FAC=∠BAD是∠CAB的平分线所以∠CAD=∠BAD ①又EF是AD的垂直平分线所以∠FAD=∠FDA=∠DAC+∠FAC ②又由外角∠FDA=∠B+∠BAD ③由①②③得∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠B+∠BAD (其中∠DAC=∠BAD,等...

惠水县18722924153： 图,在三角形ABC中,AD是角A的平分线 如图,在三角形ABC中,AD是角A的平分线.(1)求证:AB/AC=BD/DC - ？
米蒋复方：[答案]如图,AD为△ABC的角平分线,过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF. S△ABD:S△ACD=BD/CD 又因为S△ABD:S△ACD=(AB*DE):(AC*DF)=AB:AC 所以BD/CD=AB/AC. 有疑问欢迎追问!

惠水县18722924153： 三角形ABC中AD是角A平分线交BC于D,求AB:AC=BD:DC - ？
米蒋复方： 如图 解:过B做BE⊥AD,在AE上截取EF=DE 易证△BFD是等腰三角形,BF=BD ∴∠BFA=∠ADC 又∵∠1=∠2 ∴△ABF∽△ACD(AA) ∴AB:AC=BF:CD(相似比例) ∵BF=BD ∴AB:AC=BD:CD 这个貌似是个性质

惠水县18722924153： 在三角形ABC中,AD 为角A的角平分线,AB等于AC+CD,求证角C=2角B - ？
米蒋复方： 延长AC到E使AE=AB 所以△ADB全等于△ADE(SAS) CD=CE 所以 ∠ACB=2∠E=2∠B

惠水县18722924153： 请问数学高手们,为什么三角形ABC,AD是角A的平分线,则AB:AC=BD:CD - ？
米蒋复方： 三角形角平分线定理 三角形一角的平分线将对边分成的两条线段,与这个角的两边对应成比例, 如△ABC中,AD平分∠BAC,则BD/DC=AB/AC 等号的意义就是左右2个相等 所以AB/BC=BD/DC

惠水县18722924153： 如图,三角形ABC中,AD是角A的平分线,AD的垂直平分线交AD与E,交BC的延长线为F,求证 - ？
米蒋复方： 此题的关键是证明∠ AD是∠CAB的平分线 所以∠CAD=∠BAD ① 又EF是AD的垂直平分线 所以∠FAD=∠FDA=∠DAC+∠FAC ② 又由外角 ∠FDA=∠B+∠BAD ③ 由①②③得 ∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠B+∠BAD (其中∠DAC=∠BAD,等式两边可以消掉这两个角) 得到∠FAC=∠B ∠ACF是△ABC的外角 ∠ACF=∠B+∠BAC =∠FAC+∠BAC=∠FAB (∠FAB是△BAF的一个角) △CAF与 △ABF中 ∠CAF=∠B,∠ACF=∠FAB 直接可判定两个三角形相似(两个三角形有2个夹角相等)

惠水县18722924153： 如图在三角形ABC中,AD为角A的平分线,BE垂直AD于E,若AB=3AC,AD=2,则DE=?我不能插入图片,只好说明一下:图形中角A为钝角,D在BC边上... - ？
米蒋复方：[答案] DE=2证明:延长BE,交AC的延长线于点F∵∠AEB=∠AEF=90°,∠BAE=∠FAE,AE=AE∴△ABE≌△AFE∴BE=EF,AB=AF∵AB=3AC∴AF=3AC∴CF=2AC取CF的中点G,连接EG则AC=CG=GF,EG是△FBC的中位线∴EG‖BC∵AC=CG∴DC是...

惠水县18722924153： 已知在三角形ABC中,AD为角A的角平分线,并且交BC于点D,DE和DF分别是AB和AC的高,求证:AD垂直平分EF - ？
米蒋复方：[答案] 很明显△ADE与△ADF全等,所以AE=AF,又AD评分∠EAF,所以,△AEF是等腰三角形,所以AD垂直平分EF

惠水县18722924153： 三角形ABC中,AB=3,AC=4,A=π/3(1)若AD为角A的平分线,求AD的长(2)若AE为边BC的中线,求AE的长(3)若AF为边BC的高,求AF的长 - ？
米蒋复方：[答案] (不方便上传草图,请见谅!) (1) 角平分线.通过点D做AB平行线交AC于M. 根据角平分线等比定理:AB:AC=BD:CD.... 所以∠BAD=∠ADM.因为AD为角平分线,所以∠CAD=∠BAD.即∠CAD=∠ADM.那么:DM=AM=12/7. 在等腰三角形AMD中...