三角形ABC中,AD为角A平分线,交BC于D。求证AB/BD=AC/CD
作辅助线 延长 BA 至 E 点,使得 AE = AC。联结 CE
那么,△ACE 是等腰三角形
因此,∠AEC = ∠ACE
又因为 ∠BAC 是 △ACE 的一个角∠CAE 的外角,所以
∠BAC = ∠AEC + ∠ACE = 2∠AEC
又因为 AD 是 ∠BAC 的角平分线,所以有
∠BAD = 1/2 * ∠BAC = ∠AEC
所以,AD//CE
那么,△BAD 与 △BEC 是相似三角形,即 △BAD ∽ △BEC
所以有
BA:AE = BD:DC
因此有
BA:AC = BD:DC
看图能懂吗?
由D点划一条垂直线DE,交于AC边于E点,划一点垂直线DF,交于AB边于F点;再由A点划条垂直线AG交于BC边上G点。
由于AD是角A的平分线,根据等角角边可以求证出DF=DE。而三角形ABD与三角形ADC的面积比就可以用AB*DF/2:AC*DE/2由于DE=DE,即可求得三角形ADC与三角形ABD的面积比就等于AB:AC。而而三角形ABD与三角形ADC的面积比又可以用BD*AG/2:BC*AG/2=BD:BC。即可求得AB:AC=BD:BC
【不用圆,不用正弦】
1.【平行线分线段成比例】
证明:
作CE//DA,交BA延长线于E
则AB/AE=BD/CD
∵∠E=∠BAD【平行,同位角相等】
∠ACE=∠CAD【平行,内错角相等】
∠BAD=∠CAD【AD平分∠BAC】
∴∠E=∠ACE
∴AE=AC
∴AB/AC=BD/CD
∴AB/BD=AC/CD
2.【面积,学了全等就会】
证明:
作DM⊥AB,DN⊥AC,AE⊥BC
∵AD平分∠BAC
∴DM=DN【角平分线上的点到角两边的距离相等】
∵S⊿ABD=½AB×DM,S⊿ACD=½AC×DN
∴S⊿ABD/S⊿ACD=AB/AC
∵S⊿ABD=½BD×AE,S⊿ACD=½CD×AE
∴S⊿ABD/S⊿ACD=BD/CD
∴AB/AC=BD/CD
∴AB/BD=AC/CD
3.【相似】
证明:
作CE//AB交AD延长线于E
则⊿ABD∽⊿ECD
∴AB/CE=BD/CD
∠BAD=∠E
∵∠BAD=∠CAD
∴∠CAD=∠E
∴AC=CE
∴AB/AC=BD/CD
∴AB/BD=AC/CD
4.【相似和平行线分线段成比例】
证明:
作DE//BA交AC于E
则⊿ABC∽⊿EDC
∴AB/DE=AC/CE
∴AB/AC=DE/CE
∵DE//BA
∴BD/CD=AE/CE
∵∠EDA=∠BAD
∠BAD=∠CAD
∴∠EDA=∠CAD
∴AE=DE
∴BD/CD=DE/CE
∴AB/AC=BD/CD
∴AB/BD=AC/CD
你好!
画图麻烦,我就文字叙述了
解法一:过C作AD的平行线交BA延长线于E
平行线分线段成比例
所以AB/BD=AE/CE
又∠E=∠BAD【同位角】
∠CAD=∠ACE【内错角】
且∠BAD=∠CAD【角平分线】
∴∠E=∠ACE
∴AC=AE
故AB/BD=AC/CD
其余证法参考百度百科:http://baike.baidu.com/view/276158.htm
作CE∥AB交AD延长线于E
则
△ABS∽△ECD
AB/BD=CE/CD
又<CAD=<CED,
∴CE=AC
∴AB/BD=AC/CD
三角形ABC中,AD为角A平分线,交BC于D。求证AB\/BD=AC\/CD
作CE\/\/DA,交BA延长线于E 则AB\/AE=BD\/CD ∵∠E=∠BAD【平行,同位角相等】∠ACE=∠CAD【平行,内错角相等】∠BAD=∠CAD【AD平分∠BAC】∴∠E=∠ACE ∴AE=AC ∴AB\/AC=BD\/CD ∴AB\/BD=AC\/CD 2.【面积,学了全等就会】证明:作DM⊥AB,DN⊥AC,AE⊥BC ∵AD平分∠BAC ∴DM=DN【角平...
如图,在三角形ABC中,AD.CE是角平分线,它们相交于点O,∠B=60°,求证AC...
解:∠B=60 则∠AOC=180-(180-60)\/2=120 且AD与EC相交 则∠AOE=∠COD=60 作BO的一条直线,使相交于AC边的F点,并为∠AOC的角平分线.则由O点到E点.F点的距离相等 所以AE=AF 由O点到D点.F点的距离相等 所以DC=FC AF+FC=AC 所以AC=AE+CD ...
如图三角形ABC中,AD是角平分线,AE是高,角B等于60度,角C等于40度求角A...
∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°-30=10°
在三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,AE是BC 上的高,角C大于角B,试说明角...
因为AD是角BAC的平分线,所以∠CAD=∠BAC\/2,因为AE是BC 上的高,所以∠CAE=90-∠C,所以∠DAE=∠DAC-∠CAE =∠BAC\/2-(90-∠C)=(180-∠B-∠C)\/2-(90-∠C)=90-∠B\/2-∠C\/2-90+∠C =∠C\/2-∠B\/2 =(∠C-∠B)\/2
如图,在三角形ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE平行AB交BC于...
证明:∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∵PE∥AB,PF∥AC ∴∠BAD=EPD,∠CAD=∠FPD ∴∠EPD=∠FPD ∴PD是∠EPF的角平分线 ∴D到PE的距离与D到PF到距离相等 常见的三角形按边分有普通三角形(三条边都不相等),等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角...
如图 已知三角形ABC中 AD是BC边上的高,AE是∠BAC的角平分线 求∠DAE与...
为解题方便,不妨假设∠C>∠B 根据题意可知,∠AED=A\/2+B 所以,∠DAE=90°-(A\/2+B)=(1\/2)(180°-A-B-C-B+C)=(1\/2)(C-B)如果是∠C<∠B的情况,分析的步骤也是一样的。结果就变成了(1\/2)(B-C)
在三角形ABC中,AD=DC,角A=30度,角ABD=15度,求角C
答:过点C作CE⊥AB于点E,连接DE。1、∵AD=DC,CE⊥AB,D是Rt△ACE斜边中点 ∴DE=AD=DC=1/2AC ∴角AED=角A=30度 又∵角ABD=15度 ∴角BDE=30度-角ABD=15度 ∴△BED是等腰三角形,BE=DE=AD=DC=1/2AC ∵Rt△AEC中,角A=30度 ∴CE=1/2AC=AD=DC ∴CE=BE ...
如图,在三角形ABC中,AD是高,AE是角平分线,角C=40度,角B=64度,求角DA...
因为角BAC=180-64-40=76 角BAD=90-角B=90-64=26 又因为角BAE=角CAE=1\/2角BAC=38 所以角DAE=角 BAE-角 BAD=38-26=12
如图 在三角形abc中,ad为内角平分线,∠adc=60°,点e在ad上,满足de=db...
过D点作∠ADG=∠ADC=60°,∴∠BDG=60°,∵AD是角平分线,∴∠BAD=∠CAD,∠ADG=∠ADC=60°,AD=AD,∴△ADG 全等于△ADC,∴DG=DC,∵BD=DE,DG=DC,∠EDC=∠BDG=60°,∴△BDG 全等△EDC,则∠BGD=∠ECD 在△BFC和△BGD中,∠B=∠B,∠BGD=∠ECD 则∠BDG=∠BFC,∴∠BFC=60...
如图,在三角形ABC中,AD是它的角平分线,求证:三角形ABD的面积:三角形A...
∴S△ABD:S△ACD=(BD×AH)\/2:(CD×AH)\/2 即化简后为BD:CD 作BE\/\/AC交AD延长线于点E ∵AC\/\/BE ∴∠CAD=∠AEB 又∵∠ADC=∠BDE(对顶角相等)所以△ACD∽△EBD ∴BE:AC=BD:CD ∵AD平分∠BAC ∴角BAD=角CAD=角BEA ∴△ABE为等腰三角形 ∴AB=BE ∴BE:AC=AB:AC=BD:...
米蒋复方: 过C,B作CE‖AD,BF‖AD.延长CA交BF于H.∵BF‖AD ∴∠DAB=∠ABH ∠CAD=∠AHB ∵∠DAB=∠AHB ∴AB=AH ∵CE‖AD‖BE ∴AB:AC=BD:CD
惠水县18722924153: 如图,三角形ABC中,AD是角A的平分线,AD的垂直平分线交AD与E,交BC的延长线为F,求证三角形ABF相似与三角形CAF - ?
米蒋复方:[答案] 此题的关键是证明∠FAC=∠BAD是∠CAB的平分线所以∠CAD=∠BAD ①又EF是AD的垂直平分线所以∠FAD=∠FDA=∠DAC+∠FAC ②又由外角∠FDA=∠B+∠BAD ③由①②③得∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠B+∠BAD (其中∠DAC=∠BAD,等...
惠水县18722924153: 图,在三角形ABC中,AD是角A的平分线 如图,在三角形ABC中,AD是角A的平分线.(1)求证:AB/AC=BD/DC - ?
米蒋复方:[答案]如图,AD为△ABC的角平分线,过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF. S△ABD:S△ACD=BD/CD 又因为S△ABD:S△ACD=(AB*DE):(AC*DF)=AB:AC 所以BD/CD=AB/AC. 有疑问欢迎追问!
惠水县18722924153: 三角形ABC中AD是角A平分线交BC于D,求AB:AC=BD:DC - ?
米蒋复方: 如图 解:过B做BE⊥AD,在AE上截取EF=DE 易证△BFD是等腰三角形,BF=BD ∴∠BFA=∠ADC 又∵∠1=∠2 ∴△ABF∽△ACD(AA) ∴AB:AC=BF:CD(相似比例) ∵BF=BD ∴AB:AC=BD:CD 这个貌似是个性质
惠水县18722924153: 在三角形ABC中,AD 为角A的角平分线,AB等于AC+CD,求证角C=2角B - ?
米蒋复方: 延长AC到E使AE=AB 所以△ADB全等于△ADE(SAS) CD=CE 所以 ∠ACB=2∠E=2∠B
惠水县18722924153: 请问数学高手们,为什么三角形ABC,AD是角A的平分线,则AB:AC=BD:CD - ?
米蒋复方: 三角形角平分线定理 三角形一角的平分线将对边分成的两条线段,与这个角的两边对应成比例, 如△ABC中,AD平分∠BAC,则BD/DC=AB/AC 等号的意义就是左右2个相等 所以AB/BC=BD/DC
惠水县18722924153: 如图,三角形ABC中,AD是角A的平分线,AD的垂直平分线交AD与E,交BC的延长线为F,求证 - ?
米蒋复方: 此题的关键是证明∠ AD是∠CAB的平分线 所以∠CAD=∠BAD ① 又EF是AD的垂直平分线 所以∠FAD=∠FDA=∠DAC+∠FAC ② 又由外角 ∠FDA=∠B+∠BAD ③ 由①②③得 ∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠B+∠BAD (其中∠DAC=∠BAD,等式两边可以消掉这两个角) 得到∠FAC=∠B ∠ACF是△ABC的外角 ∠ACF=∠B+∠BAC =∠FAC+∠BAC=∠FAB (∠FAB是△BAF的一个角) △CAF与 △ABF中 ∠CAF=∠B,∠ACF=∠FAB 直接可判定两个三角形相似(两个三角形有2个夹角相等)
惠水县18722924153: 如图在三角形ABC中,AD为角A的平分线,BE垂直AD于E,若AB=3AC,AD=2,则DE=?我不能插入图片,只好说明一下:图形中角A为钝角,D在BC边上... - ?
米蒋复方:[答案] DE=2证明:延长BE,交AC的延长线于点F∵∠AEB=∠AEF=90°,∠BAE=∠FAE,AE=AE∴△ABE≌△AFE∴BE=EF,AB=AF∵AB=3AC∴AF=3AC∴CF=2AC取CF的中点G,连接EG则AC=CG=GF,EG是△FBC的中位线∴EG‖BC∵AC=CG∴DC是...
惠水县18722924153: 已知在三角形ABC中,AD为角A的角平分线,并且交BC于点D,DE和DF分别是AB和AC的高,求证:AD垂直平分EF - ?
米蒋复方:[答案] 很明显△ADE与△ADF全等,所以AE=AF,又AD评分∠EAF,所以,△AEF是等腰三角形,所以AD垂直平分EF
惠水县18722924153: 三角形ABC中,AB=3,AC=4,A=π/3(1)若AD为角A的平分线,求AD的长(2)若AE为边BC的中线,求AE的长(3)若AF为边BC的高,求AF的长 - ?
米蒋复方:[答案] (不方便上传草图,请见谅!) (1) 角平分线.通过点D做AB平行线交AC于M. 根据角平分线等比定理:AB:AC=BD:CD.... 所以∠BAD=∠ADM.因为AD为角平分线,所以∠CAD=∠BAD.即∠CAD=∠ADM.那么:DM=AM=12/7. 在等腰三角形AMD中...