如何把数学问题从实践上升到抽象

如何变抽象数学知识为具象教学~

师需要合理利用学生原有的认知水平把抽象的数学知识变具体,拉近学生与新概念、新知识间的距离,使学生对数学知识的理解更为透彻,力求在数学上得到更大进步和发展.通过教学实践,笔者从以下几方面阐述,希望能有效提升教师素质,帮助学生建立学习数学的信心,培养他们乐学好学精神,并能主动将更多的精力投入到数学活动中去.

数学抽象定义的特点：
关于数学所具有的特点，可以把数学和其他学科相比较，这种特点就十分明显了。
同其他学科相比，数学是比较抽象的。数学的抽象性表现在哪里呢?那就是暂时撇开事物的具体内容，仅仅从抽象的数方面去进行研究。比如在简单的计算中，2+3既可以理解成两棵树加三棵树，也可以理解成两部机床加三台机床。在数学里，我们撇开树、机床的具体内容，而只是研究2+3的运算规律，掌握了这个规律，那就不论是树、机床，还是汽车或者别的什么事物都可以按加法的运算规律进行计算。乘法、除法等运算也都是研究抽象的数，而撇开了具体的内容。
数学中的许多概念都是从现实世界抽象出来的。比如几何学中的“直线”这一概念，并不是指现实世界中的拉紧的线，而是把现实的线的质量、弹性、粗细等性质都撇开了，只留下了“向两方无限伸长”这一属性，但是现实世界中是没有向两方无限伸长的线的。几何图形的概念、函数概念都是比较抽象的。但是，抽象并不是数学独有的属性，它是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性。只是数学的抽象性有它不同于其他学科抽象的特征罢了。
数学的抽象性具有下列三个特征：第一，它保留了数量关系或者空间形式。第二，数学的抽象是经过一系列的阶段形成的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。从最原始的概念一直到像函数、复数、微分、积分、泛函、n维甚至无限维空间等抽象的概念都是从简单到复杂、从具体到抽象这样不断深化的过程。当然，形式是抽象的，但是内容却是非常现实的。正如列宁所说的那样：“一切科学的(正确的、郑重的、不是荒唐的)抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”(《黑格尔〈逻辑学〉一书摘要》，《列宁全集》第38卷第181页)第三，不仅数学的概念是抽象的，而数学方法本身也是抽象的。物理或化学家为了证明自己的理论，总是通过实验的方法；而数学家证明一个定理却不能用实验的方法，必须用推理和计算。比如虽然我们千百次地精确测量等腰三角形的两底角都是相等的，但是还不能说已经证明了等腰三角形的底角相等，而必须用逻辑推理的方法严格地给予证明。在数学里证明一个定理，必须利用已经学过或者已经证过的概念、定理用推理的方法导出这个新定理来。我们都知道数学归纳法，它就是一种比较抽象的数学证明方法。它的原理是把研究的元素排成一个序列，某种性质对于这个序列的首项是成立的，假设当第k项成立，如果能证明第k+1项也能成立，那么这一性质对这序列的任何一项都是成立的，即使这一序列是无穷序列。
数学的第二个特点是准确性，或者说逻辑的严密性，结论的确定性。
数学的推理和它的结论是无可争辩、毋容置疑的。数学证明的精确性、确定性从中学课本中就充分显示出来了。
欧几里得的几何经典著作《几何原本》可以作为逻辑的严密性的一个很好的例子。它从少数定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，把丰富而零散的几何材料整理成了系统严明的整体，成为人类历史上的科学杰作之一，一直被后世推崇。两千多年来，所有初等几何教科书以及19世纪以前一切有关初等几何的论著都以《几何原本》作为根据。“欧几里得”成为几何学的代名词，人们并且把这种体系的几何学叫做欧几里得几何学。
但是数学的严密性不是绝对的，数学的原则也不是一成不变的，它也在发展着。比如，前面已经讲过《几何原本》也有不完美的地方，某些概念定义得不明确，采用了本身应该定义的概念，基本命题中还缺乏严密的逻辑根据。因此，后来又逐步建立了更严密的希尔伯特公理体系。
第三个特点是应用的广泛性。
我们几乎每时每刻都要在生产和日常生活中用到数学，丈量土地、计算产量、制订计划、设计建筑都离不开数学。没有数学，现代科学技术的进步也是不可能的，从简单的技术革新到复杂的人造卫星的发射都离不开数学。
而且，几乎所有的精密科学、力学、天文学、物理学甚至化学通常都是以一些数学公式来表达自己的定律的，并且在发展自己的理论的时候，广泛地应用数学这一工具。当然，力学、天文学和物理学对数学的需要也促进了数学本身的发展，比如力学的研究就促使了微积分的建立和发展。
数学的抽象性往往和应用的广泛性紧密相连，某一个数量关系，往往代表一切具有这样数量关系的实际问题。比如，一个力学系统的振动和一个电路的振荡等用同一个微分方程来描述。撇开具体的物理现象中的意义来研究这一公式，所得的结果又可用于类似的物理现象中，这样，我们掌握了一种方法就能解决许多类似的问题。对于不同性质的现象具有相同的数学形式，就是相同的数量关系，是反映了物质世界的统一性，因为量的关系不只是存在于某一种特定的物质形态或者它的特定的运动形式中，而是普遍存在于各种物质形态和各种运动形式中，所以数学的应用是很广泛的。
正因为数学来自现实世界，正确地反映了客观世界联系形式的一部分，所以它才能被应用，才能指导实践，才表现出数学的预见性。比如，在火箭、导弹发射之前，可以通过精密的计算，预测它的飞行轨道和着陆地点；在天体中的未知行星未被直接观察到以前，就从天文计算上预测它的存在。同样的道理也才使得数学成为工程技术中的重要工具。
下面举几个应用数学的光辉例子。
第一，海王星的发现。太阳系中的行星之一的海王星是在1846年在数学计算的基础上发现的。1781年发现了天王星以后，观察它的运行轨道总是和预测的结果有相当程度的差异，是万有引力定律不正确呢，还是有其他的原因?有人怀疑在它周围有另一颗行星存在，影响了它的运行轨道。1844年英国的亚当斯(1819—1892)利用引力定律和对天王星的观察资料，推算这颗未知行星的轨道，花了很长的时间计算出这颗未知行星的位置，以及它出现在天空中的方位。亚当斯于1845年9～10月把结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查理士和英国格林尼治天文台台长艾里，但是查理士和艾里迷信权威，把它束之高阁，不予理睬。
1845年，法国一个年轻的天文学家、数学家勒维烈(1811—1877)经过一年多的计算，于1846年9月写了一封信给德国柏林天文台助理员加勒(1812—1910)，信中说：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，就是经度326°的地方，那时你将在那个地方1°之内，见到一颗九等亮度的星。”加勒按勒维烈所指出的方位进行观察，果然在离所指出的位置相差不到1°的地方找到了一颗在星图上没有的星——海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼日心学说的伟大胜利，而且也是数学计算的伟大胜利。
第二，谷神星的发现。1801年元旦，意大利天文学家皮亚齐(1746—1826)发现了一颗新的小行星——谷神星。不过它很快又躲藏起来，皮亚齐只记下了这颗小行星是沿着9°的弧运动的，对于它的整个轨道，皮亚齐和其他天文学家都没有办法求得。德国的24岁的高斯根据观察的结果进行了计算，求得了这颗小行星的轨道。天文学家们在这一年的12月7日在高斯预先指出的方位又重新发现了谷神星。
第三，电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦(1831—1879)概括了由实验建立起来的电磁现象，呈现为二阶微分方程的形式。他用纯数学的观点，从这些方程推导出存在着电磁波，这种波以光速传播着。根据这一点，他提出了光的电磁理论，这理论后来被全面发展和论证了。麦克斯韦的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波，比如由振动放电所发射的电磁波。这样的电磁波后来果然被德国物理学家赫兹(1857—1894)发现了。这就是现代无线电技术的起源。
第四，1930年，英国理论物理学家狄拉克(1902—1984)利用数学演绎法和计算预言了正电子的存在。1932年，美国物理学家安德逊在宇宙射线实验中发现了正电子。类似的例子不胜枚举。总之，在天体力学中，在声学中，在流体力学中，在材料力学中，在光学中，在电磁学中，在工程科学中，数学都作出了异常准确的预言。

“如何把数学问题从实践上升到抽象”。也就是说“由实践产生理论”。这个问题很简单，但做起来比较发杂。
说它简单是因为： 人人都在实践。人常说：“哑巴吃饺子——心理有数”。你想，连哑巴心理都有“数”，更何况健全的人？所以说人们的生活离不开“数”。既然生活中无处不存在“数”，就有了研究“数”的学问——数学。数学也就是关于“数”的理论。
实践中，我们遇到一个具体的问题，往往受“量”的约束。比如说：一头牛加三头牛等于四头牛；一匹马加两匹马等于三匹马……文盲都明白的最简单的道理。但是，你要说一头牛加一匹马等于什么？这个问题恐怕连数学专家都会摇头。为什么会这样呢？这是因为实践中，“数”往往要受“量”的约束。由此可知：数学不是数量学。理论家经过实践再脱离实践，也就是摆脱“量”的约束，只研究数的大小、比例、图象、算法……这就是具体数学问题上升到数学的抽象过程。

要说这个问题讲起来复杂。是因为，什么是“抽象”？这个问题不简单。
数学中常有“象”“数”“理”的提法。这来源于哪里？来自我国古老的哲学著作《易经》中的三易。《易经》中最通俗的思想是“有数必有象，有象必有数”，但研究象和数的“理”有千千万。比如 1这个“数”，其象何止千千万？可以是一个人，一头牛、一只鸟，一个原子……
再如“人”这个“象”可以是一个人，两个人，一个女人，两个女人，一个外星人……
由此可见，由实践上升到理论——抽象，何其不易？更何况“理”有正理、歪理之分。“三易”还有“三变”。

“如何把数学问题从实践上升到抽象”要求我们要有严谨的科学态度，摆脱“量”的约束，要在不疑处有疑，找准“象”和“数”的“理”。何其艰难的任务？
还有，数学属于西学。我们还要明白，我们东方人的思维和西方人的思维是不同的。东方人习惯归纳思维，而西方人习惯演绎思维。我们把纷繁复杂的大千世界的万象归纳为太极的时候，西方人却在苦苦寻找构成物质的最小单位。 我们的数轴是1到9 ，没有0 。我们的思维是九九归一，从一排到九，把九和一再连起来，变成太极。考小学生的九宫格的问题，其实就是把八卦中的九个数字玩弄于掌心。我们的0 是什么？是5 。5——无，因声求意。这一点你从八卦中“5寄中宫”，成语“九五之尊”“七上八下”。我们的老秤“半斤为何是八两”就能得到佐证。九宫格横竖斜三数加起来都是15 即我们的1 0 。我们的老秤一斤应该是15两，但这样的话，半斤就是七两五，衡量起来零点五两很不方便，所以老祖宗采用七上八下，16两完事。
西方人的数轴就是现在所学代数中的样子，以0为中心，两边正负无穷。
所以“把数学问题从实践上升到抽象”还要注意两种思维的差异。中西合壁才行。

抽象思维是人们在认识活动中运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映的过程。简单地说，抽象就是概括，要学会分析具体事物，并归纳出其中的一般规律性。要把数学问题从实践上升到抽象，必须去情景化，不要拘泥于具体事物的个别属性。

文字语言数学化，数学问题概括化。

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