为什么三角函数会和无理数e有关？
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
扩展资料：
一、相关应用
这个与计算复利关系密切的数，和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。
问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。
这个面积算出来，却和e有很密切的关联。我才举了一个例子而已，这本书里提到得更多。e的影响力其实还不限于数学领域。
大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。
二、e小数点后面几位
e=2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353 5475945713821785251664274274663919320
参考资料来源：百度百科-无理数
参考资料来源：百度百科-无理数e
我们都知道复利计息是怎么回事,就是利息也可以并进本金再生利息.但是本利和的多寡,要看计息周期而定,以一年来说,可以一年只计息一次,也可以每半年计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次；当然计息周期愈短,本利和就会愈高.有人因此而好奇,如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间（理论上来说）,会发生什么状况?本利和会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）.所以用现在的数学语言来说,e可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此e的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到的.
包罗万象的e
读者恐怕已经在想,光是计算利息,应该不至於能讲一整本书吧?当然不,利息只是极小的一部分.令人惊讶的是,这个与计算复利关系密切的数,居然和数学领域不同分支中的许多问题都有关联.在讨论e的源起时,除了复利计算以外,事实上还有许多其他的可能.问题虽然都不一样,答案却都殊途同归地指向e这个数.比如其中一个有名的问题,就是求双曲线y=1/x底下的面积.双曲线和计算复利会有什么关系,不管横看、竖看、坐著想、躺著想,都想不出一个所以然对不对?可是这个面积算出来,却和e有很密切的关联.我才举了一个例子而已,这本书里提到得更多.
如果整本书光是在讲数学,还说成是说故事,就未免太不好意思了.事实上是,作者在探讨数学的同时,穿插了许多有趣的相关故事.比如说你知道第一个对数表是谁发明的吗?是纳皮尔（John Napier）.没有听说过?这很正常,我也是读到这本书才认识他的.重要的是要下一个问题.你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对数表吗?请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情,别说电脑和计算机了,根本是什么计算工具也没有,所有的计算,只能利用纸笔一项一项慢慢地算,而又还不能利用对数来化乘除为加减,好简化计算.因此纳皮尔整整花了二十年的时间建立他的对数表,简直是匪夷所思吧!试著想像一下二十年之间,每天都在重复做同类型的繁琐计算,这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的.但纳皮尔熬过来了,而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的欢迎,许多欧洲甚至中国的科学家都迅速采用,连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉.最早使用对数的人当中,包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒,他利用对数,简化了行星轨道的繁复计算.
在《毛起来说e》中,还有许多我们在一般数学课本里读不到的有趣事实.比如第一本微积分教科书是谁写的呢?（假如你曾受微积分课程之苦,也会想知道谁是「始作俑者」吧?」）是罗必达先生.对啦,就是罗必达法则（L'Hospital's Rule）的那位罗必达.但是罗必达法则反倒是约翰．伯努利先发现的.不过这无关乎剽窃的问题,他们之间是有协议的.
说到伯努利可就有故事说了,这个家族实在不得了,别的家族出一位天才就可以偷笑了,而他们家族的天才是用「量产」形容.伯努利们前前后后在数学领域中活跃了一百年,他们的诸多成就（不仅止於数学领域）,就算随便列一列,也有一本书这么厚.不过这个家族另外擅长的一件事就不太敢恭维了,那就是吵架.自家人吵不够,也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）.连爸爸与儿子合得一个大奖,爸爸还非常不满意,觉得应该由自己独得,居然气得把儿子赶出家门；和现代的许多「孝子」们比起来,这位爸爸真该感到惭愧.
e的「影响力」其实还不限於数学领域.大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状,而螺线的方程式,是要用e来定义的.建构音阶也要用到e,而如果把一条链子两端固定,松松垂下,它呈现的形状若用数学式子表示的话,也需要用到e.这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题,居然统统和e有关,岂不奇妙?
数学其实没那么难!
我们每个人的成长过程中都读过不少数学,但是在很多人心目中,数学似乎是门无趣甚至可怕的科目.尤其到了大学的微积分,到处都是定义、定理、公式,令人望之生畏.我们会害怕一个学科的原因之一,是有距离感,那些微积分里的东西,好像不知是从哪儿冒出来的,对它毫无感觉,也觉得和我毫无关系.如果我们知道微积分是怎么演变、由谁发明的,而发明之时还发生了些什么事（微积分是谁发明的这件事,争论了许多年,对数学发展产生重大的影响）,发明者又是什么样的人等等,这种距离感就应该会减少甚至消失,微积分就不再是「陌生人」了.
这是小数点后面两千位：
e=:2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139
这是一个"异"数,e^x求导是本身,m>n,(m^n)<(n^m)当m,n都大于e才成立。
这个与计算复利关系密切的数，和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。
问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。
这个要以后学到。
有个欧拉方程： e^(ix)=cos(x)+isin(x), 这里i是虚数，i^2=-1
可以用泰勒多项式展开式写出这三项的展开式，即可得证。
所谓泰勒多项式展开式，其实就是用到的导数的概念，某点函数值可以用距离该点为x的另外一点的各阶导数以及x的关系来表示。
可以百度泰勒多项式展开式。
sina和cosa为什么线性无关
因为是同角函数。sina和cosa都是指同一个角的不同三角函数，因此它们具有同角三角函数的关系。_一个关系就是平方关系。即sina平方+cosa平方=1。如果己知了一个的值，就可以求出另外一个的值。如己知sina就可求出cosa。cosa=根号下（1-sina平方）。这样它们组合起来，又有了商的关系，tana=sina\/...
三角函数是什么
另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。http:\/\/baike.baidu.com\/link?url=DKys6Sap4DZ2tNc8sSnSmg6L15ZZklYh-vJhvBNiT_eEMvHcLa9HcnH4bkyOGEQY 公式里写的abc是指什么？是指三角形的三边 ...
完整初中三角函数值表
完整初中三角函数值表如下图所示：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等...
数学中三角函数对称轴有哪些?
4、余切函数y=cotx，对称轴：无，对称中心： kπ\/2，0）（k∈Z）。5、正割函数y=secx，对称轴：x=kπ（k∈Z），对称中心：（kπ+π\/2，0）（k∈Z）。6、余割函数y=cscx，对称轴：x=kπ+π\/2（k∈Z），对称中心：(kπ，0）（k∈Z）。三角函数对称轴x=kπ+π\/2 三角函数是基本...
sin函数增区间和减区间是什么COS呢?tan呢
1、正弦函数y=sinx 增区间：[-π\/2+2kπ，π\/2+2kπ]（k∈Z）减区间：[π\/2+2kπ，3π\/2+2kπ]（k∈Z）2、余弦函数y=cosx 增区间：[-π+2kπ，2kπ]（k∈Z）减区间：[2kπ，π+2kπ]（k∈Z）3、正切函数y=tanx 增区间：[-π\/2+kπ，π\/2+kπ]（k∈Z）y=tanx无减...
tan 1°是无理数之证明
这样，我们得到了一个链式关系：a = b * sin(2°)<\/ 是有理数b * cos(1°)<\/ 也是有理数... (一系列类似的关系)<\/... 最终得到 tan 1° = a\/b 是有理数<\/然而，我们知道，sin(1°)<\/ 作为基本的三角函数，其无理性是数学中的一个定理。这与我们之前的假设形成了直接矛盾：如果...
三角函数的符号
余切: (直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比)正割: (斜边与某个锐角的邻边的比值)余割: (直角三角形某个锐角的斜边与对边的比)其他三角函数:正矢: 余矢: 半正矢: 外正割: 外余割:毛罗利科最早于1558年已采用三角函数符号(Signs for trigonometric functions)， 但当时并无函数概念，...
三角函数是有理数还是无理数,能用根号表示吗?
除了一些特殊角外，三角函数大多是无理数，无理数不一定能用根式表示 无理数分为代数无理数和超越无理数，能用根号表示的是代数无理数，超越无理数不能用根式表示。
cosx-1等价于多少?
cosx-1等价于无穷小量。对于该问题，我们可以从以下几个方面进行解释：一、cosx与1的差 我们知道，cosx是一个三角函数，表示角度x的余弦值。当x从一个特定值附近变化时，cosx的值会接近但永远不等于1。因此，cosx与1之间的差值反映了x的变化程度。二、等价无穷小量 在数学分析中，当x趋近于某个特定...
arctanx函数图像是怎样的?当x取正无穷和负无穷分别是多少
y=arctanx的函数图像如下所示。当x取正无穷时，y=arctanx=π\/2。当x取负无穷时，y=-arctanx=π\/2。函数y=arctanx是反正切函数，是函数y=tanx的反函数。性质如下。1、arctanx的定义域为R，即全体实数。2、arctanx的值域为(-π\/2,π\/2)。3、arctanx为单调增函数，单调区间为（－∞，...
貊柔诺金： e e的发现始於微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数. 计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数...
呼兰县17691145055： 数学上的e表示什么意思.是怎么规定出来的? - ？
貊柔诺金： 数学中e的意思是:函数f(x)=(1+1/x)^x有定义,当x趋向于无穷大时,此函数有极限,且极限是一无理数,把这一极限值记为e,作为自然对数的底,约为2.718281828. 为什么要设这个问法不妥,并不是要设这个,而是为了记数方便起见对此所做的一种规定(或叫约定).二楼说的有一定的道理.
呼兰县17691145055： 数学中的那个无理数e是怎么来的? - ？
貊柔诺金： 这就要从古早时候说起了.至少在微积分发明之前半个世纪,就有人提到这个数,所以虽然它在微积分里常常出现,却不是随著微积分诞生的.那么是在怎样的状况下导致它出现的呢?一个很可能的解释是,这个数和计算利息有关. 我们都知道...
呼兰县17691145055： 简述数e的历史和作用. - ？
貊柔诺金：[答案] 自然对数则是由于微积分学的产生可以解决变量之间的函数关系而发展起来的. 为什么选用e 为对数的底数呢? 其原因是: 在微积分学创立之前,要以真数算出它相应的数来是有一定困难的. 当时只能利用公式N = aloga N,从对数算出相应的真数,...
呼兰县17691145055： 自然常数e有什么用 - ？
貊柔诺金：[答案] 自然常数e数学意义 超越数主要只有自然常数和圆周率.自然常数的知名度比圆周率低很多,原因是圆周率更容易在实际生活中遇到,而自然常数在日常生活中不常用. 自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底.为什么会这样,主要取决于它的来...
呼兰县17691145055： 请问无理数e的来历?(数学) - ？
貊柔诺金： 这里的e是一个数的代表符号,而我们要说的,便是e的故事.这倒叫人有点好奇了,要能说成一本书,这个数应该大有来头才是,至少应该很有名吧?但是搜索枯肠,大部分人能想到的重要数字,除了众人皆知的0及1外,大概就只有和圆有关的...
呼兰县17691145055： 无理数e的定义 - ？
貊柔诺金： 无理数e-e在数学中是代表一个数的符号,其实还不限于数学领域.在大自然中,建构,呈现的形状,利率或者双曲线面积及微积分教科书、伯努利家族等.
呼兰县17691145055： 自然对数lnx中引入的无理数e是什么含义?怎么得到的? - ？
貊柔诺金：[答案] 、“自然律”之美 “自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式.e是“自然律”的精髓,在数学上它是函数: 1(1+——) X的X次方,当X趋近无穷时的极限. 人们在研究一些实际问题,如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性...
呼兰县17691145055： e为什么是无理数 - ？
貊柔诺金： e 是自然对数的底 ,简单的说,e就是使y=a^x的图像在x=0处斜率为1的a的值.大约值为e=:2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 至于e的得出,可以用公式(2π)^4*g^3*e =...
