如图：在等边△ABC中，点D、E分别从B、C两点以相同的速度同时在边BC、CA上移动，连接AD、BE并相交于点P。

如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：△A~

（1）证明：∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中：AE＝CD∠BAC＝∠AB＝ACACB∴△BAE≌△ACD（2）答：BP=2PQ．证明：∵△BAE≌△ACD，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．

在等边△ABC中，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，又BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∠FAE+∠AEF=∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C=60°+60°=120°，故选C．

数学课上，张老师给出了问题：
如图（1），△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：由△ABP≌△BCD，从而得出AP=BD．
在此基础上，同学们作了进一步探究：
（1）小颖提出：如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；
（2）小华提出：如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）根据提示的思路，证明△ABP和△BCD全等，再根据全等三角形对应角相等得∠APB=∠BDC，因为∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，所以∠BDC+∠DAQ=60°；
（2）过D作DG∥AB交BC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证明DG=CD=BP，然后证明△DGE和△PBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．解答：解：（1）根据题意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
∵ AB=BC ∠ABP=∠BCD BP=CD ，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；
（2）小华的观点正确．
过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
∵ ∠DEG=∠PEB ∠GDE=∠BPE DG=PB ，
∴△DGE≌△PBE（ASA），
∴DE=EP．

(1) 因为速度相同，所以BD≡CE，
在 △ABD和△BCE中，∠ABD≡∠BCE, AB≡BC
所以 △ABD和△BCE始终全等，即 △ABD≡△BCE

(2) ∵△ABD≡△BCE
∴ ∠BAD=∠CBE
又∵∠APE=∠BAD+∠ABP
∴∠APE=∠CBE+∠ABP=60°

变式1: 根据上面正面(2)的道理反推，得到∠BAD=∠CBE
又AB=BC, ∠ABD=∠BCE
所以△ABD≌△BCE
∴BD=CE

变式2: 得到的结论多了去了

△ABC是等边三角形
∠ABC=∠C=60°, AB=BC
点D、E分别从B、C两点以相同的速度同时在边BC、CA上移动
BD=CE
∵∠ABC=∠C, AB=BC，BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠DAB=∠EBC
∠EBC+∠EBA=∠ABC=60°
∠APE=∠EBA+∠DAB=∠EBA+∠EBC=60°

（1）因为三角形ABC是等边三角形，所以AB等于BC ，∠ABD=∠BCE且BD=CE所以△ABD≡△BCE
（2）因为三角形△ABD≡△BCE所以∠BAD＝∠CBE，所以∠ABE＋∠BAD＝∠ABE＋∠CBE＝60°

BD=CE
角ABD=角BCE
ABC为正三角形
ABD全等于BCE
可以在A点上取一点M使AM=CE=BD，利用全等证明内部三角形为正三角形，或从对称性的角度来分析

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阳东县18596766399： 如图,在等边△ABC中,点D、E分别为AB、AC边的中点,点F为BC边上一点,CF=1,连接DF,以DF为边作等边△DFG,连接AG,且∠DAG=90°,则线... - ？
绪贱格列：[答案] 连接DE, ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC,∠B=∠C=∠BAC=60°, ∵D、E分别为AB、AC中点, ∴AD= 1 2AB,AE= 1 2AC, ∴DE∥BC,AD=AE, ∴△ADE是等边三角形, ∴AD=DE,∠ADE=∠AED=∠DAE=60°, ∴∠ADG+∠GDE=60°, ∵△...

阳东县18596766399： (2012•莆田质检)如图,在等边△ABC中,点D、E分别在BC、AC边上,且∠ADE=60°,AB=3,BD=1,则EC=2323. - ？
绪贱格列：[答案] ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠B=∠ADE=60°, ∴60°+∠CDE=60°+∠BAD, ∴∠CDE=∠BAD, 又∵∠B=∠C=60°, ∴△ABD∽△DCE, ∴ DC AB= EC BD,即 BC−BD 3= EC BD= EC 1, 解得:EC= 2 3. 故答案为: 2 3.

阳东县18596766399： 如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.若CD=1,则EF的长为___. - ？
绪贱格列：[答案] ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=30°,∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=1,∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=2...

阳东县18596766399： 如图:在等边三角形ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,且DE ∥ BC,如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE的周长等于______cm. - ？
绪贱格列：[答案] ∵点D、E分别在AB、AC边上,且DE ∥ BC ∴△ADE ∽ △ABC ∵AD:AB=1:4 ∴其周长比为1:4 ∵BC=8cm,三角形ABC为等边三角形 ∴△ABC的周长为24cm ∴△ADE的周长为6cm.

阳东县18596766399： 在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE.求证:AD=CE. - ？
绪贱格列：[答案] 证明:在△ABC中CA=AB,∠CAE=∠ABD, 又∵AE=BD, 在△CAE和△ABD中, AE=BD∠B=∠CAECA=AB, ∴△CAE≌△ABD(SAS). ∴AD=CE.

阳东县18596766399： 如图,等边△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则∠DEC的度数为___. - ？
绪贱格列：[答案] ∵△ABC是等边三角形, ∴∠C=60°, ∵点D、E分别为边AB、AC的中点, ∴DE∥BC, ∴∠DEC=180°-∠C=180°-60°=120°, 故答案为:120°.

阳东县18596766399： 如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且DE∥AC,过点E作EF⊥DE,交CB的延长线于点F.若BD=5,则EF2=___. - ？
绪贱格列：[答案] ∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∵DE∥AC,∴∠EDB=∠C=60°,∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDB=30°,∵∠ABC=60°,∠EDB=60°,∴△EDB是等边三角形.∴ED=BD=5,∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=1...

阳东县18596766399： 如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD相交于点F,AG⊥CD,垂足为G.求证:AF=2FG. - ？
绪贱格列：[答案] 证明:∵等边三角形ABC, ∴AB=CA,∠ABE=∠CAD=60°, 在△ABE和△CAD中, AB=AC∠ABE=∠CAD=60°AD=BE, ∴△ABE≌△CAD(SAS). ∴∠AEB=∠CDA,又∠EAD为公共角, ∴△ADF∽△ABE. ∴∠AFD=∠B=60°. ∵AG垂直CD,即∠...

阳东县18596766399： 如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.则∠DFC=______度. - ？
绪贱格列：[答案] ∵AB=AC,BD=AE,∠B=∠ACB=60° ∴△ABD≌△CAE, ∴∠ACE=∠BAD, ∵∠BAD+∠DAC=60° ∴∠CAD+∠ACE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°, ∠CAD+∠ACE=∠DFC, ∴∠DFC=60°. 故答案为:60.

阳东县18596766399： 如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)请问PQ与BP有何关系?并... - ？
绪贱格列：[答案] (1)证明:∵△ABC为等边三角形. ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°, 在△BAE和△ACD中: AE=CD∠BAC=∠AB=ACACB ∴△BAE≌△ACD (2)答:BP=2PQ. 证明:∵△BAE≌△ACD, ∴∠ABE=∠CAD. ∵∠BPQ为△ABP外角, ∴∠BPQ=∠ABE+...