最小值问题
均值不等式
几个重要不等式(一)
一、平均值不等式
设a1,a2,…, an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=an时取等号
1.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有
(3)对b>0，有， (4)对ab2>0有，
(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有
(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有a2³2ab-b2
(9) 对实数a，b及l¹0，有
二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取
代入(9)得有
两边平方得
法二、，即二次式不等式恒成立
则判别式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：
(1)
(2)
证明：(1)左=[]
=
³
(2)由知
同理：
相加得：左³
例3.求证：
证明：法一、取，有
a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)
相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0
所以
法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)
=(a12+ a22+…+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：
证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,
则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)
1-a1=a2+a3+…+an+1³n
1-a2=a1+a3+…+an+1³n
…………………………………………
1-an+1=a1+a1+…+an³n
相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1
例5.对于正整数n，求证：
证明：法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：
(1)
(2)
证明：(1)
相乘左边³=(n2+1)n
证明(2)
左边= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](
³ -n+2×n
均值不等式或叫柯西不等式
当a和b都大于0时
(a+b)/2≥√(ab)
(a+b)/2≥√(ab)
a-2√(ab)+b≥0
(√a-√b)^2≥0
显然要取等号必须√a=√b
由60/X=15X
X^2=60/15=4
60/X和15X都大于0
所以X>0
所以X=2
代入F即可
这是一个特殊的函数f(x)=a/x+bx (a>0,b>0)
图像是再一三象限 像nike的标志 一个钩子
而它有个性质f(x)=a/x+bx>=2√ab
当且仅当a/x=bx时 等号成立~~
高2上册的均值不等式那一章的内容~~~~
你可以去借书来看看~~很简单滴
这是“基本不等式”
高中数学书上有
公务员考试的一个问题,这个集合交集的最小值,我并不能看懂呀,求解释...
这个公式成立的前提是任两个集合都是互补关系，如果题目有两个特征1、任两个集合的元素个数和超过总数2、问的是“至少……”，即最小值问题，就可以放心大胆用这个公式
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