函数到底是什么

函数是什么，到底是什么~

生活中的一切,一切都可以用函数来表达.但这个函数是非常非常复杂的函数.而这些非常非常复杂的函数,就是由你现在正在学的这些非常非常简单的函数组成.
例如:无阻力的抛物线函数+阻力函数=现实中的抛出一个物体的运动过程.而你现在学的就是小渣渣函数:无阻力抛物线函数,摩擦力关系函数,这些小渣渣函数.
又例如:匀速直线运动函数A+匀速直线运动函数B+...+匀速直线运动函数N=现实中的变速运动.

函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。

幂函数

幂函数是形如y=xa的函数，a可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。

指数函数

指数函数是形如y=ax(a>0 ，a≠1)的函数，定义域为  ，值域为  ，a>1 时是严格单调增加的函数，0<a<1时函数单调减少，图像过定点(0,1)。

对数函数

 ，称a为底 ，定义域为  ，值域为  。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点(1,0)，对数函数与指数函数互为反函数。以10为底的对数称为常用对数，简记为  。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作  。

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数（Trigonometric）也是常用的工具。

它有六种基本函数：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数和余割函数。

反三角函数

反三角函数包括反正弦函数，反余弦函数，反正切函数，反余切函数，反正割函数和反余割函数。

常数函数

常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。更一般地，对一个函数f: A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数。

常用函数有如下几种：

实函数

实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。

双曲函数

双曲正弦： 

双曲余弦： 

双曲正切： 

双曲余切：

隐函数

若能由方程F(x,y)=0 确定y为x的函数y=f(x)，即  ，就称y是x的隐函数。

而此处方程F(x,y )= 0 并非函数。

多元函数

多元函数（n-元函数）是指输入值为n-元组的函数。或者说，若一函数的输入值域为n个集合的笛卡尔积的子集，这函数就是n-元函数。

其他

此外经常用到的函数还有高斯函数，阶梯函数和脉冲函数。

函数是数学领域中的一种关系，这种关系使一个数集里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）数集里的唯一元素。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
一、函数的发展历史
函数由来已久，各国数学家和科学家对函数的定义各有其特点，同时也可知函数的发展历程。
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1637年前后，笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但没有提炼函数的概念。
1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等相关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系 。
1718年，约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”
1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。
1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
1821年，柯西对函数定义是：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。
1822年，傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，提出变量可以是数，也可以是其它对象。
1914年，豪斯道夫在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。
1921年，库拉托夫斯基用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的函数定义更严谨。
1930 年，新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f。元素x称为自变量，元素y称为因变量”
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”而来。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以函数是指公式里含有变量的意思。
二、函数的定义
（一）传统定义
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。
（二）近代定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A或f(A)={y|f(x)=y,y∈B}。其中x叫作自变量，y叫做x的函数，集合A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x) |x∈A} 叫做函数的值域，f叫做对应法则。其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。一般书写为y=f（x）, x∈D} 。
（三）现代定义
设在某一个变化过程中有两个变量元素x和y，M和N是两个给定的非空数集，如果对于数集M中的每一个变量元素x，数集N中的变量元素y按照某种规则总有确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数。数集M称为这个函数的定义域，数集N称为这个函数的值域，x称为自变量，y称为因变量。y与x之间的等量关系可以用y=f（x）或y=y（x）等表示。
三、函数的表示方法
（一）解析式法
用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。如：y=ax+b(a≠0)。
（二）列表法
用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。
（三）图像法
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的。
（四）语言叙述法
使用语言文字来描述函数的关系。
四、函数的特性
（一）有界性：设函数f(x)在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在区间X上有界，否则称f(x)在区间上无界。
（二）单调性。设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
（三）奇偶性。设f(x)为一个实变量实值函数，若有f(-x)= - f(x)，则f(x)为奇函数；若有f(x)= f(-x)，则f(x)为偶函数。
（四）周期性。设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D有(x±T)∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。
（五）连续性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
（六）凹凸性。设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x≠y,恒有f(ax+(1-a)y)≤af(x)+ (1-a)f(y), f(ax+(1-a)y) <af(x)+ (1-a)f(y),那么称第一个不等式中的f(x)是区间I上的凸函数；称第二个不等式中的f(x)为严格凸函数。同理如果恒有f(ax+(1-a)y)≥af(x)+ (1-a)f(y), f(ax+(1-a)y) ＞af(x)+ (1-a)f(y),那么称第一个不等式中的f(x)是区间I上的凹函数；称第二个不等式中的f(x)为严格凹函数。
五、函数的种类
（一）多项式函数
1、常函数。x取定义域内任意数时，都有 y=C (C是常数)，则函数y=C称为常函数，其图象是平行于x轴的直线或直线的一部分。
2、一次函数。在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k≠0)(k为一次项系数，b为常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。
3、二次函数。一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c(a≠0) (a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数)，则称y为x的二次函数。二次函数的定义域为实属域R。常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)。
4、三次函数。形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做三次函数(cubics function)。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线，不同于普通抛物线。
5、多次函数。如，四次函数：y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0，b，c，d，e为常数)；五次函数：y =ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f（a≠0，b，c，d，e，f为常数）……以此类推。
（二）基本初等函数
1、幂函数。形如y=xa的函数，a可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。
2、指数函数。形如y=ax(a>0 ，a≠1)的函数，定义域为 （-∞，+∞），值域为 （0，+∞） ，a>1 时是严格单调增加的函数，0<a<1时函数单调减少，图像过定点(0，1)。
3、对数函数。形如y=logax（a>0，且a≠1），称a为底 ，定义域为（0，+∞），值域为 （-∞，+∞） 。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点(1,0)，对数函数与指数函数互为反函数。
4、三角函数。三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它有六种基本函数：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数和余割函数。
5、反三角函数。反三角函数包括反正弦函数，反余弦函数，反正切函数，反余切函数，反正割函数和反余割函数 。
6、常数函数。常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。一般地，对一个函数f: A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数 。
（三）常用函数
1、实函数。实函数指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。
2、双曲函数。双曲函数是一类与三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等，其推导类似于三角函数的推导。
3、隐函数。隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。 显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数而言。
4、多元函数。多元函数（n-元函数）是指输入值为n-元组的函数。或者说，若一函数的输入值域为n个集合的笛卡尔积的子集，这函数就是n-元函数。
5、复合函数。设函数y=f(x)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为:y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)。
6、反函数。一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y= y= f﹣¹（x）。反函数y= f﹣¹（x）的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
7、分段函数。在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同解析式子来表示的一个函数，称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集 。
8、其他函数。另外经常用到的函数还有高斯函数，阶梯函数和脉冲函数等。

一、传统定义：
设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。
将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
二、近代定义：
设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，集合A叫做函数f(x)的定义域，合B叫做函数f(x)的值域。
三、个人理解函数：是采用数学及图形工具研究未知量变化趋势的一种抽象概念。

1.通过对基础函数（一元一次，一元二次，二元一次等）的掌握，可以预测简单的物体走向或发生概率
2.通过对中等函数掌握（次方，开方，求导，偏导，三角，极限，基础微积分，定积分）的掌握，可以描述特殊状态下我们能看见的基础物理现象，物体运行或运动的轨迹，或简单的抽象物理概念。
3.通过对高等函数掌握（高等微积分，不定积分，各类函数混合计算，三角或多角坐标系，非直角坐标系中，量子学等研究物理前言的数学工具），可以描述我们不能直接看见的物理现象和预测已发生或未发生的物理现象。

函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。
19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了函数之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。

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新郑市19763613951： 什么是函数 - ？
成王可葛根： 答:一、函数的内涵1、给定一个数集A,假设其中的元素为x.现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B.假设B中的元素为y.则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示. 2、 函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f.其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征.二、具体分析 如购买苹果,每千克5元,购买x千克,需要付的钱数为y元 金额 = 单价 * 数量 y = 5 * x = 5x ∴y = 5x

新郑市19763613951： 函数到底是什么?这段时间弄不明白! - ？
成王可葛根： 函数(function)表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系.函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为 f(x).包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,包含所有的输出值的集合被称作值域.若先定义映射的概念,可以...

新郑市19763613951： 函数是啥玩意儿? - ？
成王可葛根： 满意回答 设X是一个非空集合,Y是非空数集 ,f是个对应法则 , 若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 , 就称对应法则f是X上的一个函数,记作y=f(x),称X为函数f(x)的定义域,集合{y|y=f(x),x∈R}为其值域(值域...

新郑市19763613951： 函数,到底是什么?数学怎么就都看不懂啊? - ？
成王可葛根： 你好: 函数(function),名称出自清朝数学家李善兰的著作《代数学》.之所以如此翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量. 函数的...

新郑市19763613951： 函数是什么,到底是什么 - ？
成王可葛根： 数学学科的一个基本概念. 函数(function)表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系.函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x).包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,包含所有的输出值的集合被称作值域.若先定义映射的概念,可以简单定义函数为,定义在非空数集之间的映射称为函数. 在编程中 在各类编程语言中,函数是一种过程,也称为子程序,它执行一个指定的运算或操作.函数有内部函数或称标准函数,外部函数也即用户定义函数等.能被程序或主函数调用.C语言中,函数的形式分无参和有参两类.无参函数不带回或带回函数值.有参函数在调用和被调用间有传递数据(变量).

新郑市19763613951： 函数到底是什么 - ？
成王可葛根： 函数的定义:给定一个数集A,假设其中的元素为x.现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B.假设B中的元素为y.则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示.我们把这个关系式就叫函数关系式,简称函数.函数概念含有三个要...

新郑市19763613951： 函数的定义.函数到底是什么?初中的定义上说...y是x函数.我以为函数就是y.上了高中才知.函数是建立在两个非空数集上的单值对应关系.函数到底是一种关系... - ？
成王可葛根：[答案] 函数 是量与量之间的对应关系. 上高中,用高中的函数的定义,上初中用初中的函数的定义. 上大学时,你会知道,高中的函数的定义还不够细致完整. -- 初中的定义上说...y是x函数 -- 应当说 ＂y 是 x的函数”,x 是 自变量,y 是 因变量,它们的关系概念...

新郑市19763613951： 函数到底是什么意思 说清楚点 - ？
成王可葛根： 函数你就理解成能够将彼此联系的未知量以方程的形式表示出来的方法就行了

新郑市19763613951： 函数到底是什么?这段时间弄不明白!初中学的函数的定义是:如果给定一个x值,相应地就确定唯一的一个Y值,那么我们就称y是x的函数.可这段时间高中... - ？
成王可葛根：[答案] 函数(function)表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系.函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为 f(x).包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,包含所有的输出值的集合被称作值域.若先定义映射的概念,可以简单定义...

新郑市19763613951： 到底什么是函数,可以举一两个例子和题目来证明一下吗?我实在是看不懂其他的解释 - ？
成王可葛根：[答案] 简单地说,函数就是两个变量之间的关系. 在一定的范围内,一个变量随另一个变量的变化而变化. 一般记为 y = f(x) . 注意点: (1) x 在一定的范围内取值,这个范围叫定义域;相对应的 y 也有一个范围,叫值域. (2) f 是一种对应法则. (3) 一般...