PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD=2AB,E为PC的中点,求AE与平面PCD所成角的余弦值

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求PD与平面ABCD所成的角；（2）求证：M~

（1）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，PA⊥AD．∵PA=AD，∴∠PDA=45°．∴PD与平面ABCD所成的角为45°．（2）取PD的中点E，连接AE，EN．由三角形的中位线定理可得：EN∥.12CD．又∵AM∥.＝12CD，∴EN∥.AM．∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．而AE?平面PAD，MN?平面PAD．∴MN∥平面PAD．（3）由（2）可知：PE=ED．又∵PA=AD，∴AE⊥PD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE．∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．又∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．∵MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．

解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG∥..12CD，AE∥..12CD∴FG∥..AE，∴AF∥GE∵GE?平面PEC，∴AF∥平面PCE； （2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE?平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG=AF=2，GF=12CD=2，S△PCF=12PD?GF=2．得四面体PEFC的体积V=13S△PCF?EG=223．

利用三棱锥P-ACD和三棱锥A-PCD体积相等，可求出A到面PCD的距离d= 根号2AB
在直角三角形PAC中，AC=根号5AB,因此PC=3AB
因为E为PC的中点，所以AE=1.5AB
所以余弦值为d/AE=2根号2/3

利用建立空间直角坐标系的方法
AB为X轴 AD为Y轴 AP为Z轴

先利用等体积法求出A到平面PCD的距离d，再求出AE的长度，则正弦值等于d/AE

利用三棱锥P-ACD和三棱锥A-PCD体积相等，可求出A到面PCD的距离d= 根号2AB
在直角三角形PAC中，AC=根号5AB,因此PC=3AB
因为E为PC的中点，所以AE=1.5AB
所以余弦值为d/AE=2根号2/3赞同0| 评论

---

平山区15267976885： 已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD= ,E为线段PD上一点. (1)当E为PD的中点时,求证:BD⊥CE; (2)是 - ？
一凭英脱： (1)证明:不妨设 ,则PA=PD=2,取AD的中点F,连EF,CF. 则△BCD∽△CDF,∴∠DBC=∠DCF ∴∠DBC+∠BCF=∠DCF+∠BCF=90° ∴BD⊥CF 又EF∥PA,PA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD 故由三垂线定理知BD⊥CE (2)作EG⊥AD于G,过G作GH⊥AC于H,连EH,则EH⊥AC,所以∠EHG为二面角E﹣AC﹣D的平面角. 设EG=x,则DG=x,∴AG=2﹣x,又 ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,所以存在点E满足条件,且

平山区15267976885： 已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD=根号2AB,E为线段PD上一点,G为线段PD上中点(2) - ？
一凭英脱： 解:取PE的中点F,连接GF,BF. ∵G为PC的中点,∴GF∥CE ∵GF⊄平面ACE,CE⊂平面ACE ∴GF∥平面ACE. 连接BD交AC与点O,连接OE. ∵E为DF的中点,∴BF∥OE ∴BF∥平面ACE.∵BF∩GF=F,∴平面BGF∥平面AEC. 又BG⊂平面BGF ∴BG∥平面AEC.

平山区15267976885： PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD=2AB,E为PC的中点,求AE与平面PCD所成角的余弦值 - ？
一凭英脱：[答案] 利用三棱锥P-ACD和三棱锥A-PCD体积相等,可求出A到面PCD的距离d= 根号2AB 在直角三角形PAC中,AC=根号5AB,因此PC=3AB 因为E为PC的中点,所以AE=1.5AB 所以余弦值为d/AE=2根号2/3

平山区15267976885： 已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,PA=AB,求平面PCD与平面ABCD所成的二面角 - ？
一凭英脱：[答案]如图,∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥CD, 又∵AD⊥CD, ∴CD⊥平面PCD, ∴CD⊥PD, ∴∠PDA就是平面PCD与平面ABCD所成的二面角 ∵PA=AB=AD,PA⊥AD, ∴∠PDA=45° 即平面PCD与平面ABCD所成的二面角=45°

平山区15267976885： PA垂直于矩形ABCD所在平面,PA=PD,点M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN⊥平面PCD - ？
一凭英脱： 题目不正确,错了 如果PA垂直于矩形ABCD所在平面的话 那么PA一定垂直于AD 在三角形PAD中,PA和AD为直角边,PD为斜边 可是后面的条件中却说PA=PD,在直角三角形中直角边不可能和斜边相等的 所以 我很确定题目错了..

平山区15267976885： PA垂直矩形ABCD所在的平面,写出图中所有互相垂直的平面 - ？
一凭英脱：[答案] PAB与PADAD⊥PA AB⊥BC 根据二面角的定义不难得知PAB与PAD垂直 2. PAB与ABCD 3.PAD与ABCDPA⊥面ABCD 包含PA的直线都垂直于ABCD所以有PAB与ABCD PAD与ABCD垂直 4 .PAB与PBCPA⊥ ...

平山区15267976885： 如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,写出图中所有互相垂直的平面 - ？
一凭英脱：[答案] 请发图上来,

平山区15267976885： 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点,且PA=AD=3,AB=2 - ？
一凭英脱： 都是45度..取AC中点O,则MO=1/2AD,NO=1/2PA,所以MO=NO=3/2,且NO垂直于面abcd 角NMO即为MN与面abcd的夹角,=45度 另取PB中点Q,OM垂直于面pab,NQ//OM,故NQ也垂直于面pab,所以角nmq即为MN与面pab的夹角,45度

平山区15267976885： 已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,当矩形ABCD满足什么条件时,有PC垂直于 BD - ？
一凭英脱：[答案] 当矩形ABCD是正方形时,AC垂直于 BD,有PC垂直于 BD

平山区15267976885： 已知线段PA垂直于矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB PC中点.求证:MN平行PAD - ？
一凭英脱：[答案] 如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC中点, (1)求证:MN平行平面PAD (2)求证:MN⊥CD (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD 证明: (1)连接AC,取其中点为Q. 在三角形PAC中,QN//PA;在三角形ABC中,MQ/...