如何在图形与几何教学中让学生感悟数学思想方法

如何利用学生生活经验知识经验促进学生图形与几何领域的教学~

众所周知，学生学习数学感到困难，很多情况下是因为数学知识比较抽象，与学生以具体形象思维为主并逐步向抽象逻辑思维过渡的思维发展特点产生矛盾，因此，教师需要重视直观教学手段的运用，特别是根据学生的认知规律细化操作活动的设计，以更好地催生学生感性的活动经验，从而发展为理性的数学经验。
小学的“图形与几何”更多的属于直观型，因此学生要获得图形与几何的知识并形成空间观念，更多的是依靠他们的动手操作，通过不断地尝试搭建、选择分类、组合分解等来增加、积累自己的经验，丰富自已的想象。那么，在“图形与几何”领域的教学中，如何有效地促进基本数学活动经验的积累，以提高数学教学的实效？
一、引导学生联系生活，把生活经验转化为数学经验
数学教学要基于学生的生活现实，把这些生活经验进行“数学化”处理，促进学生进行数学思考，以生成新的数学活动经验。生活经验用于帮助经历、体验新知识的形成过程，不仅简单明了，而且生动形象，有利于学生的经验从一个水平上升到更高水平，实现经验的升华。
例如在学习图形的运动部分，在现实的生活中，存在着大量图形变化或变换的现象，对于这些变化或变换的现象，学生自己本身也有丰富的体验体会。如坐电梯、地铁，看到钟面那个指针，自行车的车轮，风车，电扇的扇叶等都在转动，这些生活中的现象、图形的变换也为学生学习图形的运动，提供了丰富多彩的现实背景。让学生以数学的眼光认识和把握这些生活中的平移旋转的现象，发现、研究并确认图形的性质，有助于建立和培养、发展学生的空间观念和几何直观能力。从而把生活经验转化为数学经验
二、引导学生操作与思考，积累有效操作的活动经验
“智慧自动作发端”，动手操作是学生学习数学的重要途径和方法。动手操作能把抽象的知识变成看得见、诽得清的现象，学生动手、动脑、动口参与获取知识的全过程，使操作、思维、语言有机结合，获得的体验才会深刻、牢固，从而积累有效的操作经验。
例如在学生研究“三角形内角和”问题时，引导学生把任意三角形的三个内角撕下来，将角的顶点重合并依次拼在一起，发现正好形成一个平角，从而得出直观视觉印象：三角形的内角和是180度。这个过程，学生费时不多，但是亲自动手试一试的操作活动让他获得了对三角形内角和的直观感受。
三、引导学生自主探究，积累探究性经验
积累探究经验不是通过简单的活动和思考就可以完成，它更强调的是一种真实的情境，对数学思想方法的学习和体验。
如在教学平行四边形面积时，进行如下设计。第一个环节，引导学生大胆地尝试猜想，平行四边形的面积和谁有关，学生猜想的结果，一是认为和平行四边形的底边与邻边有关，即求面积用底边乘以邻边。二是认为平行四边形的面积与底边和高有关，即求面积可以用底边乘以高。第二个环节，让学生借助学具检验猜想，在得到了自己猜想的结果后，让学生利用手中的网格图，去测量一下平行四边形的面积，通过测量学生就发现这个测量结果，和猜想中的底乘以高求出的平行四边形的面积是一样的，从而检验出了自己猜想的结论。第三个环节，就是引导学生自主探究验证结论，将平行四边形沿高剪开，把它转化成学过的长方形，利用长方形的面积公式，推导出平行四边形的面积公式。
在教学中教师精心创设问题情境，组织适度开放的探究性活动，启发学生拓宽思路，多方位、多角度地获取多样化的信息，就会积累学生丰富的探究经验。
四、引导学生总结数学思想，积累策略性、方法性经验。
如教学圆周长的测量，可以用圆片在直尺上滚动，测量它的长度，还可以用线绕圆片一周，把线拉直，然后再测量线的长度，这样学生不但积累了测量的经验，也又一次渗透化曲为直的转化思想。
再如在圆的周长的教学中，也可以向学生介绍割圆术，让学生经历正多边形到圆的一个形成的过程，即引导学生观察随着圆内正多边形的边数越来越多，正多边形也就越来越逼近圆，通过有限去想无限，就能使学生感受到一个极限的思想。
数学思想是伴随着学生知识的积累，思维的发展而逐步被学生所感悟的。引导学生总结数学思想。积累策略性、方法性经验：如转化思想、模型思想、数形结合思想、分类思想等，感悟这些思想不仅是图形与几何学习的重要任务，而且学生所积累的经验对今后的数学学习将发挥很大的重要作用。
“图形与几何”教学中帮助学生有效地积累数学基本活动经验是一个长期的过程，不能指望一两次活动就能完成。因此，应当把活动经验的积累看作是一个长远的目标，持续不断地组织学生参与数学探究的过程，逐步形成数学活动经验。另外帮助学生积累“图形与几何”基本活动经验的过程，也是老师自身教学活动经验积累提升的过程。

在“有形”的数学知识中，必定蕴含着“无形”的数学思想方法。数学知识是一条明线，写在教材里；数学思想方法是一条暗线，体现在知识与技能的形成过程中。如何结合具体内容进行数学思想方法渗透、渗透哪些数学思想方法、怎么渗透、渗透到什么程度等，都会成为小学数学教师教学行为中的现实问题。作为课堂引领的小学数学教师，该如何调控自己的教学行为，让数学知识与思想方法两条线在数学课堂中齐头并进呢？
1、在操作中交流比较，感悟有效渗透数学思想方法必要性。
让我们走进两位数学老师的“三角形的面积”课堂，一起感悟不同的教学定位演绎出的不同教学效果。
[案例甲]
教师课前让每位学生准备两个完全一样的三角形。
上课时教师出示带有方格的几个三角形，问：谁能算出它们的面积？（学生用数方格的方法很快算出结果）
接着，教师出示不带方格的几个三角形，让学生算出它们的面积。（学生感到困惑，教师抓住时机，告诉学生下面共同探讨这个问题）
于是，教师请学生拿出课前准备好的两个完全一样的三角形，问：你能想办法把两个完全一样的三角形拼成已学过的图形吗？
（学生动手操作，获得以下结果。）
生1：我拼成了平行四边形。
生2：我拼成了正方形。
生3：我拼成了长方形。
5.师：拼成的图形与原三角形有什么关系？
6.师生问答推导出三角形的面积公式。
[案例乙]
教师课前布置学生每人准备一把剪刀，给各小组准备完全一样的（锐角、钝角、直角）三角形各两个和形状、大小各不一样的三角形6个。
上课时，老师让同学们回顾一下，平行四边形的面积公式我们是怎样推导的？
生：把平行四边形转化成长方形，然后推导出来的。
师：好，那么你们能不能把三角形也转化成我们学过的图形，然后推导出三角形的面积计算公式？（学生4人小组，动手拼摆、割补三角形）
全班交流后，学生获得以下答案。
生1：我们发现一个锐角三角形和一个钝角三角形不能拼成已学过的图形。（边说边演示）
生2：我们也发现两个不一样的直角三角形不能拼成已学过的图形。（边说边演示）
生3：我们用两个完全一样的直角三角形拼成了长方形。（边说边演示）
生4：我们用两个完全一样的直角三角形拼成的是正方形。（边说边演示）
生5：我们用两个完全一样的直角三角形拼成的可是平行四边形。（边说边演示）
然后，又有几名学生分别用两个完全一样的锐角三角形、钝角三角形演示说明也能拼成已学过的图形。
师：还有其他的发现吗？
生6：一个三角形通过割补也能转化成已学过的图形。（边说边演示）
师：你真了不起！
【反思与启示】：从甲教师身上看到的是“教教材”的影子，只是为了教教材而教，按照教材的安排顺序组织教学，整个教学片断缺少学生自主探究的空间，其根本原因是缺少数学思想方法的渗透，无法激发学生的数学思考。而乙教师通过小组合作探究活动，通过分组探究讨论、全班交流，学生充分感受到了“转化”的思想方法，在课堂中数学思考的广度与深度明显要优于前者，因此，我们认为在小学数学课堂中有必要进行渗透数学思想方法的研究。
2、在情境中多次体验，逐级递进提炼数学思想方法。
从学生的数学思想形成过程中，我们不难发现学生的数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。在这个过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。
以“化曲为直”思想在《认识周长》一课中的有效渗透为例，谈如何围绕“化曲为直”思想循序渐进地开展教学活动。
【教学片断】1：预习设计测量圆边线的长，初步感知“化曲为直”思想。
师：请同学们从学具袋中取一个圆。提问：你能想办法知道圆一周边线的长吗？
生1：我沿着直尺滚一圈，就能知道圆一周边线的长。
生2：我用绳子先围一围，再测量绳子的长就能知道圆一周边线的长。
生3：我先将圆对折两次，再用绳子量圆弧的长，然后后用尺子量出绳子的长，最后乘4就得到圆一周边线的长。
【设计意图】通过预习让学生初步感知，像圆这样由曲线围成的图形的周长，我们可以想办法通过折一折、滚一滚、围一围、量一量等办法把它们一周的边线化曲为直测量出它的周长。
【教学片断】2：新授设计测量树叶、树干的周长，充分体会 “化曲为直”思想。
谈话：秋天到了，树叶凋零了，今天树叶成了我们学习的好帮手。能用你手中的工具来测量出你准备的树叶的周长吗？
师：老师想知道这片树叶的周长，你有什么好办法？
生：我可以先用线围一围树叶的周长，再用尺量一量线的长度就可以知道树叶的周长了。
师：谁来说说我们在用毛线测量树叶周长的时候需要注意些什么？
生1：毛线要拉直量；生2：围的时候要从起点量到终点。
师：请同学拿出课前准备好的物品开始测量,并记录结果，很快得到了答案。
师：如果要测量一棵大树的树干有多宽，你想怎么办？能用尽可能多的方法吗？先在4人小组里讨论一下，再在小组里交流。
生1：绳子围；生2：软尺量；生3：一柞量；生4：同学手拉手围圈。
小结：像这样由曲线围成的图形的周长，我们可以想办法把它们一周的边线化曲为直测量出它的周长。
【设计意图】本案例中探索测量方法分两个层面展开，由易到难，比较贴近学生知识发展的最近区域，充分体会“化曲为直”的数学思想。学生在经历“化曲为直”探索过程中，不仅明白了知识的形成过程，还培养了他们的探索乐趣，领略了数学王国里的奥秘，更进一步激发了他们的探索精神和创新精神。
【教学片断】3：作业设计计算不同形状书签的周长，加深认识 “化曲为直”思想。
师：瞧！（出示书签）多漂亮的书签啊，特别是在它的一周围上金线后，书签显得更精美了。那么围一个书签至少需要多长的金线呢？金线的长也就是什么？生1：书签的周长。
师：你能想办法计算出书签的周长吗？同桌两人合作完成。（学生动手操作，教师指导）
生1：我们研究的是长方形书签的周长，我们用尺量出它的一条长是11厘米和一条宽是5厘米，合起来就是16厘米，再乘2，就是32厘米。
生2：我们研究的是菱形的书签，我们用尺量出它的一条边是6厘米，因为四条边都相等，所以乘4就是24厘米，就是它的周长。
生3：我们研究的是椭圆形的书签，我们先用绳子围着它绕一圈，作个记号，再放在尺上量一量，周长是30厘米。
生4：我们研究的是心形的书签，也是先用绳子绕一圈，再放在尺上量一量，它的周长是36厘米。
师：同学们真了不起，针对不同形状的书签想出了不同的方法。
【设计意图】本片段设计，通过创设问题情境“给书签的一周围上金线，问：至少需要多长的金线？”引发学生的探究。老师为学生的学习活动提供了不同的学习材料，既有直接可以用尺测量出周长的书签（长方形、菱形），也有需要先用绳子绕一周，再借助尺子量一量的书签（椭圆形、心形），由此加深对“化曲为直”数学思想的认识，在交流的过程中让学生结合形状不同的书签，体验测量方法的多样化。在课堂上我们可喜地看到，学生完全有能力来合作解决这样的实际问题，而且在活动中学生的潜能又一次得到了充分的发挥。
回顾本课设计时，我先通过预习作业让学生自主探索测量圆一周边线的长，让学生初步感知“化曲为直”的思想，得出周长定义之后让学生尝试测量不规则图形树叶，合作交流探索这一类型的周长测量方法。之后再把规则和不规则的书签进行测算，做到水到渠成，顺理成章逐级提炼“化曲为直”的数学思想。
3、在多种数学思想方法的综合运用中，让不同层次的学生体验数学思想方法。
《数学课程标准》指出：数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。因此学生学习起点的不同要求我们在教学中不同对待。“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采取生动有趣的事例呈现出来。”这也是新课标总体设想之一。
以《长方形正方形的周长计算》复习课为例谈谈如何在每一个单元整理与复习时，除了帮助学生系统整理数学知识点外，更注重多种数学思想方法的综合运用，从而让不同层次的学生体验运用不同数学思想方法解决实际问题的乐趣。
【教学片段】：
1、让学生通过观察、验证、有序列举体会长方形周长知识的内在联系。
（1）观察：我们每个同学都拿到了这样的两个长方形（1号：长5宽4）（2号：长7，宽2），它们的长宽都不一样，这两个图形的周长相比你感觉怎样？
（2）怎样才能知道这两个图形的周长是多少呢？（量出长和宽，再计算）
（3）学生量，汇报：（为了我们能看清楚，老师把这两个长方形放大贴在黑板上）板书（5+4求的是什么？7+2求的是什么？）
（4）质疑：这两个长方形的长和宽明明都不一样，为什么它们的周长都是18厘米呢？ （一条长和一条宽的和都是9）
2、有序列举。
那还有没有像这样长宽都是整理米数的，周长也是18的长方形呢，怎样想就能不重复也不遗漏地把这样的长方形都都找出来呢？
（1）问：自己先想想，再和同桌小朋友商量商量！
（2）学生讨论汇报：（有没有重复，有没有遗漏）（电脑出示）
（3）从中你发现长方形的周长是由什么决定的呢？
小结：对，当长加宽的和确定了，这个长方形的周长也确定了。
3、从长方形上剪下最大的正方形，并会计算相应图形的周长，体会画草图的好处。
（1）复习正方形的特征：正方形的周长又是由什么决定的呢？为什么？
（2）剪：你能从1号长方形上剪下一个最大的正方形吗？
展示：把你剪的正方形举起来，谁愿意告诉大家你剪的正方形边长是多少？有没有谁剪的正方形边长比4厘米大，为什么从1号长方形上剪下的正方形边长最长只能是4呢？
（3）研究剩下的小长方形：还剩下一个小长方形呢？它的周长你也能求出来吗？试试看。
汇报：你是怎么求的？有没有不用尺也算出它的周长的？（不用尺也能知道它的长和宽）
（4）用画草图的方法研究2号长方形
如果也想从2号长方形上剪下一个最大的正方形，边长应该是几？正方形的边长是由原长方形的什么决定的？
这次不剪，老师把2号长方形画在黑板上，你能不能在图上表示出这个最大的正方形呢？
看着这幅草图你能求剩下长方形的周长了吗？
还有没有更巧妙的方法来求这个小长方形的周长了呢？老师给你点启发：观察这里长加宽的和与原长方形的长有什么关系？
【设计意图】老师通过让学生先猜一猜两个形状不同的长方形周长是否相等，一方面：唤起学生对长方形周长计算方法的回忆；另一方面：渗透观察、猜想、验证的解题策略。到这里老师的教学没有结束，而是提出质疑：这两个长方形的长和宽明明都不一样，为什么它们的周长都是18厘米呢？还有没有像这样长宽都是整理米数的，周长也是18的长方形呢？怎样想就能不重复也不遗漏地把这样的长方形都找出来？让学生通过自己想一想，同桌议一议，运用一一列举的解题策略将答案不重复、不遗漏的都找了出来，向学生有效渗透一一列举的解题策略。接下来，老师要求学生从长方形上剪下一个最大的正方形，追问：剩下一个小长方形的周长怎样求？当学生用尺量出小长方形的周长后，老师没有停下探索的脚步，而是指导学生用画草图的方法将文字转化成图形，推算出剩下小长方形的周长；紧接着又追问：剩下小长方形的周长和原长方形的长有什么关系？这时，学生思维受阻，课堂上没有一只小手举起来，老师指着黑板上画好的草图，用红粉笔轻轻一描，适时点拨，引导学生找到剩下小长方形的周长就是原长方形长的2倍这一规律，帮助学生进一步体会画图解决问题的好处。
本教学片段中：老师从刚开始的长方形、正方形的周长计算的基本知识点切入，综合运用观察、猜测、验证，一一列举、画图等数学思想方法，既让学生的思维水平在不知不觉中达到了一个新的高度，也让不同层次的学生得到不同的发展。
4、在反思中领悟，在领悟中运用，在运用中成长。
数学思想方法的获得，一方面要求教师在教学中有意识地渗透和训练，但是更多的是要靠学生在学习反思中领悟，这是他人无法代替的。因此，教学中教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等等。在解决实际问题的过程中，往往需要多种方法同时运用才能奏效。
我经常在班内组织一些小型跟踪调查，组织学生交流合理运用一些数学思想方法解决问题的优化策略，并将一些好地方法通过出数学小报、向小数报投稿等方式，帮助学生不断反思，合理运用，品尝成功的乐趣。我也经常在平行班和实验班中同时进行利用数学思想方法解决实际问题的针对性练习，不断反思自己的教学行为，提高对如何有效渗透数学思想方法的认识。

在“有形”的数学知识中，必定蕴含着“无形”的数学思想方法。数学知识是一条明线，写在教材里；数学思想方法是一条暗线，体现在知识与技能的形成过程中。如何结合具体内容进行数学思想方法渗透、渗透哪些数学思想方法、怎么渗透、渗透到什么程度等，都会成为小学数学教师教学行为中的现实问题。作为课堂引领的小学数学教师，该如何调控自己的教学行为，让数学知识与思想方法两条线在数学课堂中齐头并进呢？
1、在操作中交流比较，感悟有效渗透数学思想方法必要性。
让我们走进两位数学老师的“三角形的面积”课堂，一起感悟不同的教学定位演绎出的不同教学效果。
[案例甲]
　　教师课前让每位学生准备两个完全一样的三角形。
　上课时教师出示带有方格的几个三角形，问：谁能算出它们的面积？（学生用数方格的方法很快算出结果）
　　接着，教师出示不带方格的几个三角形，让学生算出它们的面积。（学生感到困惑，教师抓住时机，告诉学生下面共同探讨这个问题）
于是，教师请学生拿出课前准备好的两个完全一样的三角形，问：你能想办法把两个完全一样的三角形拼成已学过的图形吗？
（学生动手操作，获得以下结果。）
　　生1：我拼成了平行四边形。
　　生2：我拼成了正方形。
　　生3：我拼成了长方形。
　　5.师：拼成的图形与原三角形有什么关系？
　　6.师生问答推导出三角形的面积公式。
[案例乙]
　　教师课前布置学生每人准备一把剪刀，给各小组准备完全一样的（锐角、钝角、直角）三角形各两个和形状、大小各不一样的三角形6个。
　　上课时，老师让同学们回顾一下，平行四边形的面积公式我们是怎样推导的？
　　生：把平行四边形转化成长方形，然后推导出来的。
　　师：好，那么你们能不能把三角形也转化成我们学过的图形，然后推导出三角形的面积计算公式？（学生4人小组，动手拼摆、割补三角形）
　　全班交流后，学生获得以下答案。
　　生1：我们发现一个锐角三角形和一个钝角三角形不能拼成已学过的图形。（边说边演示）
　　生2：我们也发现两个不一样的直角三角形不能拼成已学过的图形。（边说边演示）
　　生3：我们用两个完全一样的直角三角形拼成了长方形。（边说边演示）
　　生4：我们用两个完全一样的直角三角形拼成的是正方形。（边说边演示）
　　生5：我们用两个完全一样的直角三角形拼成的可是平行四边形。（边说边演示）
　　然后，又有几名学生分别用两个完全一样的锐角三角形、钝角三角形演示说明也能拼成已学过的图形。
　　师：还有其他的发现吗？
　　生6：一个三角形通过割补也能转化成已学过的图形。（边说边演示）
　　师：你真了不起！
【反思与启示】：从甲教师身上看到的是“教教材”的影子，只是为了教教材而教，按照教材的安排顺序组织教学，整个教学片断缺少学生自主探究的空间，其根本原因是缺少数学思想方法的渗透，无法激发学生的数学思考。而乙教师通过小组合作探究活动，通过分组探究讨论、全班交流，学生充分感受到了“转化”的思想方法，在课堂中数学思考的广度与深度明显要优于前者，因此，我们认为在小学数学课堂中有必要进行渗透数学思想方法的研究。
2、在情境中多次体验，逐级递进提炼数学思想方法。
从学生的数学思想形成过程中，我们不难发现学生的数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。在这个过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。
以“化曲为直”思想在《认识周长》一课中的有效渗透为例，谈如何围绕“化曲为直”思想循序渐进地开展教学活动。
【教学片断】1：预习设计测量圆边线的长，初步感知“化曲为直”思想。
师：请同学们从学具袋中取一个圆。提问：你能想办法知道圆一周边线的长吗？
生1：我沿着直尺滚一圈，就能知道圆一周边线的长。
生2：我用绳子先围一围，再测量绳子的长就能知道圆一周边线的长。
生3：我先将圆对折两次，再用绳子量圆弧的长，然后后用尺子量出绳子的长，最后乘4就得到圆一周边线的长。
【设计意图】通过预习让学生初步感知，像圆这样由曲线围成的图形的周长，我们可以想办法通过折一折、滚一滚、围一围、量一量等办法把它们一周的边线化曲为直测量出它的周长。
【教学片断】2：新授设计测量树叶、树干的周长，充分体会 “化曲为直”思想。
谈话：秋天到了，树叶凋零了，今天树叶成了我们学习的好帮手。能用你手中的工具来测量出你准备的树叶的周长吗？
师：老师想知道这片树叶的周长，你有什么好办法？
生：我可以先用线围一围树叶的周长，再用尺量一量线的长度就可以知道树叶的周长了。
师：谁来说说我们在用毛线测量树叶周长的时候需要注意些什么？
生1：毛线要拉直量；生2：围的时候要从起点量到终点。
师：请同学拿出课前准备好的物品开始测量,并记录结果，很快得到了答案。
师：如果要测量一棵大树的树干有多宽，你想怎么办？能用尽可能多的方法吗？先在4人小组里讨论一下，再在小组里交流。
生1：绳子围；生2：软尺量；生3：一柞量；生4：同学手拉手围圈。
小结：像这样由曲线围成的图形的周长，我们可以想办法把它们一周的边线化曲为直测量出它的周长。
【设计意图】本案例中探索测量方法分两个层面展开，由易到难，比较贴近学生知识发展的最近区域，充分体会“化曲为直”的数学思想。学生在经历“化曲为直”探索过程中，不仅明白了知识的形成过程，还培养了他们的探索乐趣，领略了数学王国里的奥秘，更进一步激发了他们的探索精神和创新精神。
【教学片断】3：作业设计计算不同形状书签的周长，加深认识 “化曲为直”思想。
师：瞧！（出示书签）多漂亮的书签啊，特别是在它的一周围上金线后，书签显得更精美了。那么围一个书签至少需要多长的金线呢？金线的长也就是什么？生1：书签的周长。
师：你能想办法计算出书签的周长吗？同桌两人合作完成。（学生动手操作，教师指导）
生1：我们研究的是长方形书签的周长，我们用尺量出它的一条长是11厘米和一条宽是5厘米，合起来就是16厘米，再乘2，就是32厘米。
生2：我们研究的是菱形的书签，我们用尺量出它的一条边是6厘米，因为四条边都相等，所以乘4就是24厘米，就是它的周长。
生3：我们研究的是椭圆形的书签，我们先用绳子围着它绕一圈，作个记号，再放在尺上量一量，周长是30厘米。
生4：我们研究的是心形的书签，也是先用绳子绕一圈，再放在尺上量一量，它的周长是36厘米。
师：同学们真了不起，针对不同形状的书签想出了不同的方法。
【设计意图】本片段设计，通过创设问题情境“给书签的一周围上金线，问：至少需要多长的金线？”引发学生的探究。老师为学生的学习活动提供了不同的学习材料，既有直接可以用尺测量出周长的书签（长方形、菱形），也有需要先用绳子绕一周，再借助尺子量一量的书签（椭圆形、心形），由此加深对“化曲为直”数学思想的认识，在交流的过程中让学生结合形状不同的书签，体验测量方法的多样化。在课堂上我们可喜地看到，学生完全有能力来合作解决这样的实际问题，而且在活动中学生的潜能又一次得到了充分的发挥。
回顾本课设计时，我先通过预习作业让学生自主探索测量圆一周边线的长，让学生初步感知“化曲为直”的思想，得出周长定义之后让学生尝试测量不规则图形树叶，合作交流探索这一类型的周长测量方法。之后再把规则和不规则的书签进行测算，做到水到渠成，顺理成章逐级提炼“化曲为直”的数学思想。
3、在多种数学思想方法的综合运用中，让不同层次的学生体验数学思想方法。
《数学课程标准》指出：数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。因此学生学习起点的不同要求我们在教学中不同对待。“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采取生动有趣的事例呈现出来。”这也是新课标总体设想之一。
以《长方形正方形的周长计算》复习课为例谈谈如何在每一个单元整理与复习时，除了帮助学生系统整理数学知识点外，更注重多种数学思想方法的综合运用，从而让不同层次的学生体验运用不同数学思想方法解决实际问题的乐趣。
【教学片段】：
1、让学生通过观察、验证、有序列举体会长方形周长知识的内在联系。
（1）观察：我们每个同学都拿到了这样的两个长方形（1号：长5宽4）（2号：长7，宽2），它们的长宽都不一样，这两个图形的周长相比你感觉怎样？
（2）怎样才能知道这两个图形的周长是多少呢？（量出长和宽，再计算）
（3）学生量，汇报：（为了我们能看清楚，老师把这两个长方形放大贴在黑板上）板书（5+4求的是什么？7+2求的是什么？）
（4）质疑：这两个长方形的长和宽明明都不一样，为什么它们的周长都是18厘米呢？ （一条长和一条宽的和都是9）
2、有序列举。
那还有没有像这样长宽都是整理米数的，周长也是18的长方形呢，怎样想就能不重复也不遗漏地把这样的长方形都都找出来呢？
（1）问：自己先想想，再和同桌小朋友商量商量！
（2）学生讨论汇报：（有没有重复，有没有遗漏）（电脑出示）
（3）从中你发现长方形的周长是由什么决定的呢？
小结：对，当长加宽的和确定了，这个长方形的周长也确定了。
3、从长方形上剪下最大的正方形，并会计算相应图形的周长，体会画草图的好处。
（1）复习正方形的特征：正方形的周长又是由什么决定的呢？为什么？
（2）剪：你能从1号长方形上剪下一个最大的正方形吗？
展示：把你剪的正方形举起来，谁愿意告诉大家你剪的正方形边长是多少？有没有谁剪的正方形边长比4厘米大，为什么从1号长方形上剪下的正方形边长最长只能是4呢？
（3）研究剩下的小长方形：还剩下一个小长方形呢？它的周长你也能求出来吗？试试看。
汇报：你是怎么求的？有没有不用尺也算出它的周长的？（不用尺也能知道它的长和宽）
（4）用画草图的方法研究2号长方形
如果也想从2号长方形上剪下一个最大的正方形，边长应该是几？正方形的边长是由原长方形的什么决定的？
这次不剪，老师把2号长方形画在黑板上，你能不能在图上表示出这个最大的正方形呢？
看着这幅草图你能求剩下长方形的周长了吗？
还有没有更巧妙的方法来求这个小长方形的周长了呢？老师给你点启发：观察这里长加宽的和与原长方形的长有什么关系？
【设计意图】老师通过让学生先猜一猜两个形状不同的长方形周长是否相等，一方面：唤起学生对长方形周长计算方法的回忆；另一方面：渗透观察、猜想、验证的解题策略。到这里老师的教学没有结束，而是提出质疑：这两个长方形的长和宽明明都不一样，为什么它们的周长都是18厘米呢？还有没有像这样长宽都是整理米数的，周长也是18的长方形呢？怎样想就能不重复也不遗漏地把这样的长方形都找出来？让学生通过自己想一想，同桌议一议，运用一一列举的解题策略将答案不重复、不遗漏的都找了出来，向学生有效渗透一一列举的解题策略。接下来，老师要求学生从长方形上剪下一个最大的正方形，追问：剩下一个小长方形的周长怎样求？当学生用尺量出小长方形的周长后，老师没有停下探索的脚步，而是指导学生用画草图的方法将文字转化成图形，推算出剩下小长方形的周长；紧接着又追问：剩下小长方形的周长和原长方形的长有什么关系？这时，学生思维受阻，课堂上没有一只小手举起来，老师指着黑板上画好的草图，用红粉笔轻轻一描，适时点拨，引导学生找到剩下小长方形的周长就是原长方形长的2倍这一规律，帮助学生进一步体会画图解决问题的好处。
本教学片段中：老师从刚开始的长方形、正方形的周长计算的基本知识点切入，综合运用观察、猜测、验证，一一列举、画图等数学思想方法，既让学生的思维水平在不知不觉中达到了一个新的高度，也让不同层次的学生得到不同的发展。
4、在反思中领悟，在领悟中运用，在运用中成长。
数学思想方法的获得，一方面要求教师在教学中有意识地渗透和训练，但是更多的是要靠学生在学习反思中领悟，这是他人无法代替的。因此，教学中教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等等。在解决实际问题的过程中，往往需要多种方法同时运用才能奏效。
我经常在班内组织一些小型跟踪调查，组织学生交流合理运用一些数学思想方法解决问题的优化策略，并将一些好地方法通过出数学小报、向小数报投稿等方式，帮助学生不断反思，合理运用，品尝成功的乐趣。我也经常在平行班和实验班中同时进行利用数学思想方法解决实际问题的针对性练习，不断反思自己的教学行为，提高对如何有效渗透数学思想方法的认识。

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