常微分方程求通解

微分方程的通解怎么求~

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。
例如：

其解为：

其中C是待定常数；

如果知道

则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：
对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解
对于方程：


可知其通解：


其特征方程：


根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解
一般的通解形式为：
若

则有


若

则有


在共轭复数根的情况下：

r=α±βi


扩展资料
一阶微分方程的普遍形式
一般形式：F（x,y,y'）=0
标准形式：y'=f(x,y)
主要的一阶微分方程的具体形式
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

唯一性
存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
参考资料来源：百度百科-常微分方程
参考资料来源：百度百科-微分方程

1）特征方程为r²-5r+6=0, 即(r-2)(r-3)=0, 得r=2, 3
设特解y*=a, 代入方程得：6a=7, 得a=7/6
故通解y=C1e^(2x)+C2e^(3x)+7/6
2) 特征方程为2r²+r-1=0, 即(2r-1)(r+1)=0, 得r=1/2, -1
设特解y*=ae^x, 代入方程得：
2a+a-a=2, 得a=1
因此通解y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
拓展资料:微分方程论是数学的重要分支之一。大致和微积分同时产生，并随实际需要而发展。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。
介绍
含有未知函数的导数，如

的方程都是微分方程。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。
概述
大致与微积分同时产生。事实上，求y′=f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
参考资料:百度百科

解：∵齐次方程u"+4u=0的特征方程是r^2+4=0，则r=±2i（复根）
∴此特征方程的通解是u=C1cos(2x)+C2sin(2x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为u=Ae^x，则代入原方程得
Ae^x+4Ae^x=e^x
==>A=1/5
∴u=e^x/5是原方程的一个特解
故原方程的通解是u=C1cos(2x)+C2sin(2x)+e^x/5。

写出特征方程，解出特征值，发现特征值为共轭复根，代入通解公式即可

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台前县15140481946： 常微分方程求通解 - ？
仍逄富欣： (d)的解答: 微分方程 dy/dx=e^(-y^2)/(y(2x+x^2)) 分离变量 ye^(y^2)dy=dx/(x(x+2)) 1/2e^(y^2)d(y^2)=1/2(1/x-1/(x+2))dx e^(y^2)d(y^2)=(1/x-1/(x+2))dx 两边积分∫e^(y^2)d(y^2)=∫(1/x-1/(x+2))dx 得 e^(y^2)=lnx-ln(x+2)+C1=C1-ln((x+2)/x) 两边取对数 y^2=ln(C1-ln(...

台前县15140481946： 一个常微分方程求通解 - ？
仍逄富欣：[答案] dy/dx = x(1-2y) ∫dy/(1-2y) = ∫xdx -0.5ln(1-2y) = 0.5x²+0.5C ln(1-2y) = -x²-C 1-2y = exp(-x²-C) y = -0.5 exp(-x²-C) + 0.5 y = C e^(-x²) + 0.5

台前县15140481946： 常微分方程通解公式 ？
仍逄富欣： 常微分方程通解公式:y'+P(x)y=Q(x),Q(x)称为自由项.一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数.线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1.一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法,通过常数变易法,可求出一阶线性微分方程的通解.

台前县15140481946： 求常微分方程的通解Y''+√(1 - 〖(y')〗^2 )=0 - ？
仍逄富欣： 解:y''=-√[1-(y')^2]≤0 不妨设y'=dy/dx=p(x),则有: p'=dp/dx=-√(1-p^2) dx=-dp/[√(1-p^2)] 两边积分,得: x=arccos(p) p=dy/dx=cosx dy=cosxdx 两边再积分一次,得: y=sinx 又因为y''=-sinx≥0≤0 得sinx≥0 即x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z) 综上所述,微分方程的通解为y=sinx,x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)

台前县15140481946： 求常微分方程的通解y'=2xy求高手帮忙谢谢求常微分方程的通解y'+y=e–x求常微分方程的通解y＂ - y'+10y=0 - ？
仍逄富欣：[答案] 1、dy/dx=2xy dy/y=2xdx 两边积分:ln|y|=x^2+C y=Ce^(x^2) 2、e^x(y'+y)=1 (ye^x)'=1 两边积分:ye^x=x+C y=(x+C)e^(-x) 3、(我怀疑你题抄错了……) 特征方程为r^2-r+10=0,r=(1±√39i)/2 所以y=e^(x/2)*(C1sin(√39/2*x)+C2cos(√39/2*x))

台前县15140481946： 求常微分方程的通解? - ？
仍逄富欣： 第一题:原式左= (2xydx + x^2dy) + cosydy = d(x^2 * y) + d(Siny) = d(X^2 * y + Siny) = 0 所以通解为x^2 * y + siny = C, C为常数 第二问:变形为 dy / dx = (y^2 - y) * sinx dy / (y-1)y = dx * sinx [1/(y-1) - 1/y] dy = sinx * dx 两边积分,得ln(y-1) - lny = -cosx + C 即ln(1-1/y) = -cosx + C y = 1/(1-Cexp(-cosx)) 解方程时两边除了y(y-1),故要补回特解y = 0 和y = 1

台前县15140481946： 求常微分方程的通解？
仍逄富欣： 这个方程是属于可分离变量的微分方程: 分离变量得到: ydy/√(1-y²)=dx/(3x²) 两边积分得到: (-1/2)*(2/3)(1-y²)^(3/2)=-1/(3x)+C1 整理得到: (1-y²)^(3/2)=1/x+C 其中C=-3C1 这就是原方程的通解.

台前县15140481946： 怎样求微分方程的通解? - ？
仍逄富欣：[答案] 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程 例如求未知函数y=y(x) 其满足y”+y'+y=x 要了解更多内容可参考任何一本巜常微分方程》

台前县15140481946： 高等数学常微分方程求通解 - ？
仍逄富欣： y '' + y = 0 的通解 y = C1 cosx + C2 sinx y '' + y = 2 e^x 有一个特解 e^x 其通解: y = C1 cosx + C2 sinx + e^x

台前县15140481946： 求解常微分方程(x^2+y^2)dx - 2xydy=0的通解. - ？
仍逄富欣：[答案] 由(x^2+y^2)dx-2xydy=0 得到dy/dx=(x^2+y^2)/2xy=0.5(x/y+y/x) 设y/x=z,则y=zx dy/dx=xdz/dx+z=0.5(1/z+z) 化为zdz/(1-z^2)=dx/2x 积分后整理得到通解为 y^2-x^2+Cx=0