在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4)B(1,0)C（5,0）抛物线对称轴与X轴交于M.(1）求抛物线解析式
抛物线经过点B(1,0),C(5,0), 显然其解析式可表达为y = a(x-1)(x-5)的形式。 代入A(0,4)的坐标，可得a= 4/5 y = 4(x-1)(x-5)/5 （a） AC的长度是确定的，要使△NCA的面积，只需使AC上的高最大，过N点的抛物线的切线必然与AC平行。 AC的斜率为(4-0)/(0-5) = -4/5 设AC的方程为y = (-4/5)x +n （b） 联立(a)(b), 4x�0�5 -20x + 20 -5n = 0 △ = (-20)�0�5 -4*4(20-5n) = 80 + 80n = 0 n = -1 x = 5/2 y = (-4/5)(2/5) -1 = -3 N(5/2, -3)
（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 ， 把点A（0，4）代入上式得： ， ∴ ， ∴抛物线的对称轴是： ．（2）由已知，可求得P（6，4）． 提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中 ，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中， ，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线 的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）．⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为 ，此时点N （ ，过点N作NG∥ 轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为： ；把 代入得： ，则G ，此时：NG= -（ ）， = ． ∴ ∴当 时，△CAN面积的最大值为 ，由 ，得： ，∴N（ ， -3）． 法二：提示：过点N作 轴的平行线交 轴于点E，作CF⊥EN于点F，则 （1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t， ）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），把点A（0，4）代入上式得：a=45，
∴y=45（x-1）（x-5）=45x2-245x+4=45（x-3）2-165，
∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM=OA2+OM2=42+32=5，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，45t2-245t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-45x+4；
把x=t代入得：y=-45x+4，则G（t，-45t+4），
此时：NG=-45x+4-（45t2-245t+4）=-45t2+4t，
∵AM+CF=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=12AM×NG+12NG×CF=12NG•OC=12（-45t2+4t）×5=-2t2+10t=-2（t-52）2+252，
∴当t=52时，△CAN面积的最大值为252，
由t=52，得：y=45t2-245t+4=-3，
∴N（52，-3）．
1. M 为BC中点(3,0)
y = a(x-3)^2 - b
x = 1 or 5, 4a-b = 0
x = 0, y = 4, 9a - b = 4
a = 4/5
b = 16/5
2。AO=4， OM = 3， MP = 5，PA = 6
所以Py^2 + (Px-3)^2 = 25, Py = 4/5 (Px-3)^2 - 16/5
(Px-3)^2 = 4 + 5/4 Py
Py^2 + 4 + 5/4 Py = 25
Py = 4, Px = 6
PA = 6
3. 设N坐标为(x,y), y = 4/5 (x-3)^2 - 16/5
求NAC面积取极值
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