在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4)B(1,0)C(5,0)抛物线对称轴与X轴交于M.(1)求抛物线解析式
抛物线经过点B(1,0),C(5,0), 显然其解析式可表达为y = a(x-1)(x-5)的形式。 代入A(0,4)的坐标,可得a= 4/5 y = 4(x-1)(x-5)/5 (a) AC的长度是确定的,要使△NCA的面积,只需使AC上的高最大,过N点的抛物线的切线必然与AC平行。 AC的斜率为(4-0)/(0-5) = -4/5 设AC的方程为y = (-4/5)x +n (b) 联立(a)(b), 4x�0�5 -20x + 20 -5n = 0 △ = (-20)�0�5 -4*4(20-5n) = 80 + 80n = 0 n = -1 x = 5/2 y = (-4/5)(2/5) -1 = -3 N(5/2, -3)
(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为 , 把点A(0,4)代入上式得: , ∴ , ∴抛物线的对称轴是: .(2)由已知,可求得P(6,4). 提示:由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又知点P的坐标中 ,所以,MP>2,AP>2;因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,在Rt△AOM中, ,因为抛物线对称轴过点M,所以在抛物线 的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,即P(6,4).⑶法一:在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大. 设N点的横坐标为 ,此时点N ( ,过点N作NG∥ 轴交AC于G;由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为: ;把 代入得: ,则G ,此时:NG= -( ), = . ∴ ∴当 时,△CAN面积的最大值为 ,由 ,得: ,∴N( , -3). 法二:提示:过点N作 轴的平行线交 轴于点E,作CF⊥EN于点F,则 (1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴;(2)由已知,可求得P(6,4),由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又知点P的坐标中x>5,所以MP>2,AP>2;因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,则分析求解即可求得答案;(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(t, )(0<t<5),再求得直线AC的解析式,即可求得NG的长与△ACN的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案.
解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),把点A(0,4)代入上式得:a=45,
∴y=45(x-1)(x-5)=45x2-245x+4=45(x-3)2-165,
∴抛物线的对称轴是:x=3;
(2)P点坐标为:(6,4),
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,
又∵点P的坐标中x>5,
∴MP>2,AP>2;
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,
在Rt△AOM中,AM=OA2+OM2=42+32=5,
∵抛物线对称轴过点M,
∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,
即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,
即P(6,4);
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.
设N点的横坐标为t,此时点N(t,45t2-245t+4)(0<t<5),
过点N作NG∥y轴交AC于G;作AM⊥NG于M,
由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:y=-45x+4;
把x=t代入得:y=-45x+4,则G(t,-45t+4),
此时:NG=-45x+4-(45t2-245t+4)=-45t2+4t,
∵AM+CF=CO,
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=12AM×NG+12NG×CF=12NG•OC=12(-45t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-52)2+252,
∴当t=52时,△CAN面积的最大值为252,
由t=52,得:y=45t2-245t+4=-3,
∴N(52,-3).
1. M 为BC中点(3,0)
y = a(x-3)^2 - b
x = 1 or 5, 4a-b = 0
x = 0, y = 4, 9a - b = 4
a = 4/5
b = 16/5
2。AO=4, OM = 3, MP = 5,PA = 6
所以Py^2 + (Px-3)^2 = 25, Py = 4/5 (Px-3)^2 - 16/5
(Px-3)^2 = 4 + 5/4 Py
Py^2 + 4 + 5/4 Py = 25
Py = 4, Px = 6
PA = 6
3. 设N坐标为(x,y), y = 4/5 (x-3)^2 - 16/5
求NAC面积取极值
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