【高中数学-三角函数】已知函数f(x)=sin(ωx+φ),ω是正整数,0≤φ≤π。f(x)是R上的偶
楼上有点复杂
已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/2]上是单调函数,求φ和ω的值,和递增区间
解析:∵函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数
∴f(x)=sin(ωx+φ)=cosωx= sin(ωx+π/2)
∵其图像关于点M(3π/4,0)对称,在区间[0,π/2]上是单调函数
f(x)= sin(ωx+π/2)==> f(3π/4)= sin(ω3π/4+π/2)=0
ω3π/4+π/2=0==>ω=2/3,或ω3π/4+π/2=π==>ω=2
∴f(x)= sin(2/3x+π/2)==>ω=2/3,φ=π/2
单调增区间:2kπ-π/23kπ-3π/2<=x<=3kπ
或f(x)= sin(2x+π/2)==>ω=2,φ=π/2
单调增区间:2kπ-π/2kπ-π/2<=x<=kπ
∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,∴φ=π2,f(x)=cosωx.f(x)相邻两个最值点间的距离为π2+4,则π2+4=22+(πω)2,解得ω=1,故f(x)=cosx,故答案为:cosx.
(1)f为偶函数,f(-x)=f(x),得出 SinwxCosφ==0,由于Sinwx不恒等于0,因此只有Cosφ=0故φ=π/2;
由于f过 M点:代入可得cos(3wπ/4)=0,所以w=2+4k;且w为正整数。
经验证,仅当k=0时即w=2时f在区间【0,π/2】上才是单调函数
因此w=2,φ=π/2为所求。
(2)由于函数f(x)=cos2x,周期为π,且a<π/2<b。
结合图形,无论a、b如何变化,最小值x=π/2处都是m= - 1;从而最大值M=--1/2;而且最大值必须在a点或b点,若最大值在a点得出:a=π/3且π/2<b<2π/3,
若最大值在b点得出:π/2>a>π/3且b=2π/3
.第二题问一定要结合图形来分析。!!!
f(x)是R上的偶函数;所以图像关于y轴对称:w×0+φ=kπ+π/2; φ=kπ+π/2
0≤φ≤π; φ=π/2
其图像过点M(3/4π,0),即对称中心为3/4π,0),w×(3π/4)+φ=kπ; w=4k/3-2/3
ω是正整数; k=1; w=2/3; k=2; w=2;
k=3,w=10/3;k=4;w=14/3;,k=5,w=6
这里只有w=2, w=6符合正整数;
w=2时,f(x)=sin(2x+π/2)=cos2x满足[0,π/2]上是单调函数;
w=6时; f(x)=sin(6x+π/2)=cos6x不符合[0,π/2]上是单调函数;
w>6时都不符合[0,π/2]上是单调函数
所以w=2, φ=π/2
(2)f(x)=sin(2x+π/2)=cos2x 在[0,π/2]上是单调减函数;在[π/2,π]上是单调增函数
所以:a<π/2<b,若f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,且M-m=1/2,
则:m=f(π/2)=-1, M=-1/2;
所以有:a=π/3, π/2<b≤2π/3;或π/3≤a<π/2,b=2π/3
f(0)必为最值,所以|f(0)|=|sinφ|=1; φ=kπ+π/2. 又0≤φ≤π,所以φ=π/2.
f(x)=sin(ωx+π/2). 又f(3/4π)=0, 所以(3/4π)*ω+π/2=kπ. ω=(4k-2)/3
且在区间[0,π/2]上是单调函数,所以周期T不小于π. 即ω≤2.
所以0<=(4k-2)/3≤2. 1/2≤k≤2
所以k=1或k=2.进一步确定k是1还是2
回归图形特点f(x)=Asin(ωx+φ)+B。
其中A导致图形上下拉伸,不影响上下移动,B影响上下移动,不影响左右移动;A,B不影响周期A、B共同影响峰值
ω影响波间距,影响左右拉伸不影响左右移动,影响周期;φ影响左右移动,不影响周期
知道这些之后
(1)f(x)是R上的偶函数,回归典型的正弦函数图,由于ω是正整数,变化φ,左右移动,使图像关于Y轴对称即可。只需φ=φ=π/2+nπ或-3π/2+nπ,又0≤φ≤π,所以φ=π/2,带入点M(3/4π,0)坐标得cos3πω/4=0.....1;且在区间[0,π/2]上是单调函数,只需2π/4ω>=π/2......2
由1,2且ω是正整数解出ω=1
所以ω=1;φ=π/2
(2)所以f(x)=cosx
a,b处不能达到峰谷,否则减去-1导致M-m>1/2与题意矛盾,所以得保证π/2<b<π
当0<a<π/2有cosa-cosb=1/2
或当-π<a<=0有1-cosb=1/2
当a<=-π时,导致出现封顶,峰谷,所以M-m=2,矛盾
分析到此,解出即可。
解:由题得
1 因为f(x)=sin(ωx+φ)是偶函数,0≤φ≤π
所以f(0)=sinφ=1
所以φ=π/2
因为过点M(3π/4,0)
所以sin(ω3π/4+π/2)=0
所以ω=2
2 M-m=1/2
所以|cos2a|>|cos2b|
1/2<= |cos2a|<=1
0<= |cos2b|<=1/2
解得a【0,75】b【90,150】
F(x)是偶函数,则必定过点(-3/4π,0).且过(0,0)点。
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