【高中数学-三角函数】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω是正整数，0≤φ≤π。f(x)是R上的偶
楼上有点复杂
已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称，且在区间[0,π/2]上是单调函数,求φ和ω的值，和递增区间
解析：∵函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数
∴f(x)=sin(ωx+φ)=cosωx= sin(ωx+π/2)
∵其图像关于点M(3π/4,0)对称,在区间[0,π/2]上是单调函数
f(x)= sin(ωx+π/2)==> f(3π/4)= sin(ω3π/4+π/2)=0
ω3π/4+π/2=0==>ω=2/3，或ω3π/4+π/2=π==>ω=2
∴f(x)= sin(2/3x+π/2)==>ω=2/3，φ=π/2
单调增区间：2kπ-π/23kπ-3π/2<=x<=3kπ
或f(x)= sin(2x+π/2)==>ω=2，φ=π/2
单调增区间：2kπ-π/2kπ-π/2<=x<=kπ
∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，∴φ=π2，f（x）=cosωx．f（x）相邻两个最值点间的距离为π2+4，则π2+4=22+(πω)2，解得ω=1，故f（x）=cosx，故答案为：cosx．
（1）f为偶函数，f（-x）=f（x），得出 SinwxCosφ==0，由于Sinwx不恒等于0，因此只有Cosφ=0故φ=π/2；
由于f过 M点：代入可得cos（3wπ/4）=0，所以w=2+4k；且w为正整数。
经验证，仅当k=0时即w=2时f在区间【0，π/2】上才是单调函数
因此w=2，φ=π/2为所求。
（2）由于函数f（x）=cos2x,周期为π，且a<π/2<b。
结合图形，无论a、b如何变化，最小值x=π/2处都是m= - 1；从而最大值M=--1/2;而且最大值必须在a点或b点，若最大值在a点得出：a=π/3且π/2<b<2π/3,
若最大值在b点得出：π/2>a>π/3且b=2π/3
.第二题问一定要结合图形来分析。！！！
f(x)是R上的偶函数；所以图像关于y轴对称：w×0+φ=kπ+π/2; φ=kπ+π/2
0≤φ≤π; φ=π/2
其图像过点M(3/4π,0)，即对称中心为3/4π,0)，w×(3π/4)+φ=kπ; w=4k/3-2/3
ω是正整数; k=1; w=2/3; k=2; w=2;
k=3,w=10/3;k=4;w=14/3;,k=5,w=6
这里只有w=2, w=6符合正整数；
w=2时，f(x)=sin(2x+π/2)=cos2x满足[0,π/2]上是单调函数；
w=6时； f(x)=sin(6x+π/2)=cos6x不符合[0,π/2]上是单调函数；
w>6时都不符合[0,π/2]上是单调函数
所以w=2, φ=π/2
(2)f(x)=sin(2x+π/2)=cos2x 在[0,π/2]上是单调减函数；在[π/2，π]上是单调增函数
所以：a<π/2<b，若f(x)在区间[a,b]上的最大值是M，最小值是m，且M-m=1/2，
则：m=f(π/2)=-1, M=-1/2;
所以有：a=π/3, π/2<b≤2π/3;或π/3≤a<π/2,b=2π/3
f(0)必为最值，所以|f(0)|=|sinφ|=1; φ=kπ+π/2. 又0≤φ≤π，所以φ=π/2.
f(x)=sin(ωx+π/2). 又f(3/4π)=0, 所以（3/4π)*ω+π/2=kπ. ω=(4k-2)/3
且在区间[0,π/2]上是单调函数，所以周期T不小于π. 即ω≤2.
所以0<=(4k-2)/3≤2. 1/2≤k≤2
所以k=1或k=2.进一步确定k是1还是2
回归图形特点f(x)=Asin(ωx+φ)+B。
其中A导致图形上下拉伸，不影响上下移动，B影响上下移动，不影响左右移动；A,B不影响周期A、B共同影响峰值
ω影响波间距，影响左右拉伸不影响左右移动，影响周期；φ影响左右移动，不影响周期
知道这些之后
（1）f(x)是R上的偶函数，回归典型的正弦函数图，由于ω是正整数，变化φ，左右移动，使图像关于Y轴对称即可。只需φ=φ=π/2+nπ或-3π/2+nπ,又0≤φ≤π，所以φ=π/2，带入点M(3/4π,0)坐标得cos3πω/4=0.....1；且在区间[0,π/2]上是单调函数，只需2π/4ω>=π/2......2
由1，2且ω是正整数解出ω=1
所以ω=1；φ=π/2
（2）所以f(x)=cosx
a，b处不能达到峰谷，否则减去-1导致M-m>1/2与题意矛盾，所以得保证π/2<b<π
当0<a<π/2有cosa-cosb=1/2
或当-π<a<=0有1-cosb=1/2
当a<=-π时，导致出现封顶，峰谷，所以M-m=2，矛盾
分析到此，解出即可。
解：由题得
1 因为f(x)=sin(ωx+φ)是偶函数，0≤φ≤π
所以f(0)=sinφ=1
所以φ=π/2
因为过点M(3π/4,0)
所以sin(ω3π/4+π/2）=0
所以ω=2
2 M-m=1/2
所以|cos2a|>|cos2b|
1/2<= |cos2a|<=1
0<= |cos2b|<=1/2
解得a【0,75】b【90，150】
F（x）是偶函数，则必定过点（-3/4π，0).且过(0,0)点。
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