正三角形ABC中，D,E分别为AB,BC上的一个三等分点，且AE,CD交于点P,求证：BP垂直CD，用向量来证

在正三角形ABC中,D,E分别是边AB,BC上的一个三等分点,且AE,CD交于点P，求证BP垂直DC 求详细过程，谢谢 （用~

取B为坐标原点，BC为x轴,BE＝2。
则有：B（0,0）,A（3,3√3）,D（2,2√2）,E（2,0）,C（6,0）.
AE方程:3√3／1＝y/（x-2）.
CD方程：2√3/（-4）＝y/（x-6）.
解得交点P（18/7,12√3/7）.
BP斜率＝12√3/18＝2√3/3.
CD斜率＝2√3/（-4）＝-√3/2.
∵（2√3/3）（-√3/2）＝-1.
∴BP⊥CD

你好！！

证明：∵D E为AB BC上的三等分点，△ABC为正三角形
∴BD=2BE,DE⊥BC，△CAD≌△ABE
∴∠BDE=30°，∠ADC=∠AEB
∴BDPE共圆
∴∠BPE=∠BDE=30°，∠EPC=∠ABC=60°
∴∠BPC=90°
∴BP⊥CD
http://hi.baidu.com/%D2%D7%CB%AE%D0%A1%D9%E2/album/item/bbbb15f50ad162d937fe6d5011dfa9ec8b13cd9b.html

三等分点有两个，应该指出是哪个，不然结论就不对了。

设 AD=1/3*AB ，BE=1/3*BC 。

为书写方便，记 AB=a ，AC=b ，并设 |a|=|b|=1 。

因为 C、D、P 三点共线，因此 AP=xAD+(1-x)AC=x/3*a+(1-x)b ，

而 AE=AB+BE=AB+1/3*(AC-AB)=2/3*a+1/3*b ，

因为 AP、AE 共线，因此 x/3=2(1-x) ，

解得 x=6/7 ，

所以 BP=AP-AB= -5/7*a+1/7*b ，

而 CD=AD-AC=1/3*a-b ，

且 a*b=AB*AC=cos60°=1/2 ，

所以，BP*CD=(-5/7*a+1/7*b)*(1/3*a-b)

= -5/21-1/7+(1/21+5/7)/2

=0 ，

所以，BP丄CD 。

把点A放在坐标原点，设三角形的边长为6，则点B为(6,0),点C为(3,3v3),点D为(2,0),
设点E为(x1,y1) 3* BE=(BC), 3*(X1-6,Y1)=(-3,3V3) 3X1-18=-3, 3Y1=3V3 所以x1=5, y1=v3
即点E(5,v3), AE=(5,V3),
直线AE的方程为y=v3x/5, CD的斜率=(3v3-0)/(3-2)=3v3,CD的方程为y=3v3(x-2)
y=v3x/5联立y=3v3(x-2) 解得x=15/7, y=3v3/7, 点P(15/7,3v3/7)
BP=(15/7-6,3v3/7-0)=(-27/7,3v3/7), CD=(-1,-3v3)
BP*CD=-27/7*(-1)+3V3/7*(-3V3)=0, 所以BP ⊥CD

连接ED，角CPD等于角ACD等于60度，也等于角EBD，所以PEBD四点共圆，所以角DPB等于角DEB，因为2EB等于BD，角ABC等于60度，所以角DEB等于角DPB等于90度。

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威海市18691346461： 一道图形题.如图,已知在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD相交于F,AG⊥CD,垂足为点G,说明∠FAG=30° - ？
詹态头孢：[答案] 证ace全等于cbd得角cae=bcd,所以角caf+fca=60度,所以外角afg=60度,又因为AG⊥CD,所以角afg+fga=150度,所以角fag=30度.知道了吧

威海市18691346461： 如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G ,则 的值为(    ). - ？
詹态头孢：[答案]

威海市18691346461： 正三角形ABC中,D、E分别是AB、BC、上的一个三等分点 - ？
詹态头孢： 取B为坐标原点,BC为x轴,BE=2.则有:B(0,0),A(3,3√3),D(2,2√2),E(2,0),C(6,0).AE方程:3√3/1=y/(x-2).CD方程:2√3/(-4)=y/(x-6).解得交点P(18/7,12√3/7).BP斜率=12√3/18=2√3/3.CD斜率=2√3/(-4)=-√3/2.∵(2√3/3)(-√3/2)=-1.∴BP⊥CD

威海市18691346461： 如图,在等边△ABC中,点D、E分别为AB、AC边的中点,点F为BC边上一点,CF=1,连接DF,以DF为边作等边△DFG,连接AG,且∠DAG=90°,则线... - ？
詹态头孢：[答案] 连接DE, ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC,∠B=∠C=∠BAC=60°, ∵D、E分别为AB、AC中点, ∴AD= 1 2AB,AE= 1 2AC, ∴DE∥BC,AD=AE, ∴△ADE是等边三角形, ∴AD=DE,∠ADE=∠AED=∠DAE=60°, ∴∠ADG+∠GDE=60°, ∵△...

威海市18691346461： 如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD相交于点F,AG⊥CD,垂足为G.求证:AF=2FG. - ？
詹态头孢：[答案] 证明:∵等边三角形ABC,∴AB=CA,∠ABE=∠CAD=60°,在△ABE和△CAD中,AB=AC∠ABE=∠CAD=60°AD=BE,∴△ABE≌△CAD(SAS).∴∠AEB=∠CDA,又∠EAD为公共角,∴△ADF∽△ABE.∴∠AFD=∠B=60°.∵AG垂直CD...

威海市18691346461： 如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G, 若AG=2,则AF的值是() - ？
詹态头孢：[选项] A. 5 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 43 3

威海市18691346461： 等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F - ？
詹态头孢： 解:∵△ABC是等边三角形 ∴BA = AC ∠B = ∠DAE = 60 ∵BE = AD ∴△ADC≌△BEA ∴∠BAE = ∠ACD ∵∠BAE+∠EAC = 60 ∴∠ACD+∠EAC = ∠AED = 60 ∴AG/AF = sin∠AFG = 根号3

威海市18691346461： 如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=12BC,连接CD和EF,求证:四边形DEFC是平行四边形. - ？
詹态头孢：[答案] 证明:∵在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点, ∴DE∥BC且DE= 1 2BC. 又∵CF= 1 2BC, ∴DE=CF, ∴四边形DEFC是平行四边形.

威海市18691346461： 正三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F,G分别是DE,BC的中点,已知BD=8厘米,CE=6厘米,则FG=( )厘米？
詹态头孢： 填空题,最简单的办法: 正三角形边长大于等于8后均符合题意 故设正三角形边长为8,则点D与A重合,则在三角形FCG中 FG^2=GC^2+FC^2-2*GC*FC*COS60=37 则FG=根号下37厘米 如果你想要大题那样严格的证明,可以设边长为a,根据三角形余弦定理慢慢计算吧

威海市18691346461： 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连结DE,则△ADE是等边三角形.请说明理由. - ？
詹态头孢：[答案] DE//BC(中位线定理) ∠ADE=∠ABC=60° AED=ACB=60°(同位角相等) ∴△ADE是等边三角形(一角为60°之等腰三角形等边)