正三角形ABC中,D,E分别为AB,BC上的一个三等分点,且AE,CD交于点P,求证:BP垂直CD,用向量来证
取B为坐标原点,BC为x轴,BE=2。
则有:B(0,0),A(3,3√3),D(2,2√2),E(2,0),C(6,0).
AE方程:3√3/1=y/(x-2).
CD方程:2√3/(-4)=y/(x-6).
解得交点P(18/7,12√3/7).
BP斜率=12√3/18=2√3/3.
CD斜率=2√3/(-4)=-√3/2.
∵(2√3/3)(-√3/2)=-1.
∴BP⊥CD
你好!!
证明:∵D E为AB BC上的三等分点,△ABC为正三角形
∴BD=2BE,DE⊥BC,△CAD≌△ABE
∴∠BDE=30°,∠ADC=∠AEB
∴BDPE共圆
∴∠BPE=∠BDE=30°,∠EPC=∠ABC=60°
∴∠BPC=90°
∴BP⊥CD
http://hi.baidu.com/%D2%D7%CB%AE%D0%A1%D9%E2/album/item/bbbb15f50ad162d937fe6d5011dfa9ec8b13cd9b.html
三等分点有两个,应该指出是哪个,不然结论就不对了。
设 AD=1/3*AB ,BE=1/3*BC 。
为书写方便,记 AB=a ,AC=b ,并设 |a|=|b|=1 。
因为 C、D、P 三点共线,因此 AP=xAD+(1-x)AC=x/3*a+(1-x)b ,
而 AE=AB+BE=AB+1/3*(AC-AB)=2/3*a+1/3*b ,
因为 AP、AE 共线,因此 x/3=2(1-x) ,
解得 x=6/7 ,
所以 BP=AP-AB= -5/7*a+1/7*b ,
而 CD=AD-AC=1/3*a-b ,
且 a*b=AB*AC=cos60°=1/2 ,
所以,BP*CD=(-5/7*a+1/7*b)*(1/3*a-b)
= -5/21-1/7+(1/21+5/7)/2
=0 ,
所以,BP丄CD 。
把点A放在坐标原点,设三角形的边长为6,则点B为(6,0),点C为(3,3v3),点D为(2,0),
设点E为(x1,y1) 3* BE=(BC), 3*(X1-6,Y1)=(-3,3V3) 3X1-18=-3, 3Y1=3V3 所以x1=5, y1=v3
即点E(5,v3), AE=(5,V3),
直线AE的方程为y=v3x/5, CD的斜率=(3v3-0)/(3-2)=3v3,CD的方程为y=3v3(x-2)
y=v3x/5联立y=3v3(x-2) 解得x=15/7, y=3v3/7, 点P(15/7,3v3/7)
BP=(15/7-6,3v3/7-0)=(-27/7,3v3/7), CD=(-1,-3v3)
BP*CD=-27/7*(-1)+3V3/7*(-3V3)=0, 所以BP ⊥CD
连接ED,角CPD等于角ACD等于60度,也等于角EBD,所以PEBD四点共圆,所以角DPB等于角DEB,因为2EB等于BD,角ABC等于60度,所以角DEB等于角DPB等于90度。
在三角形ABC中,D为AC边上一点,若AD=2,DC=1,BD为∠ABC的角平分线,三角形...
B点轨迹为圆心在AC延长线上,距D2,并以2为半径的圆,三角形ABC面积最大值=3X2\/2=3 角平分线性质, AB\/BC=2:1 再据圆的第二定义可得圆。
如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别是E,F,BE=CF...
证明:AD是△ABC的角平分线,∵D是BC的中点∴BD=CD又∵DE⊥AB DF⊥AC BE=CF∴在Rt△EDB和Rt△FDC中(BD=DC(EB=FC所以Rt△EDB≌Rt△FDC(HL)∴ED=DF所以AD是三角形ABC的角平分线(角平分线的性质)(角平分线上的点到角的两边距离相等)祝你寒假快乐,学习进步!如果不明白,请再问;...
在三角形abc中,点d为三角形abc的内心,角a=60度,cd=2,bd=4,则三角形dbc...
解∵在三角形ABC中,角A+角ABC+角ACB=180度 角A=60度 ∴角ABC+角ACB=120度 ∴三角形BCD的面积=1\/2xBDⅹCDSⅰn120度=2倍的根号3
如图,在三角形abc中,d、e分别是ab、ac边上的点,沿着de折叠三角形,定点...
三角形为直角三角形 证明:∵DE是折线,点A对折后与C点重合 ∴DE是△ADC的中垂线 ∴AD=DC ∴∠A=∠DCA △ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180° ∴∠ACD+∠BCD=90° ∴△ABC为直角三角形 2、∵△ABC是RT△ ∴BC⊥AC 又∵DE是△ADC的中垂线 ∴DE⊥AC ∴DE\/...
等边△ABC中,D在AC上,延长BC至E,使CE=AD,DF⊥BC于F
所以 三角形BGD全等于三角形DCE,所以 DB=DE,又因为PF垂直于BC于F,所以 BF=EF.(3) 若D是边AC延长线上任意一点,(2)中的结论仍然成立.证明:因为 三角形ABC是等边三角形,所以 角ACB=60度,AC=BC,因为 DF垂直于BC于F,角CFD=90度,所以 角CDF=90度--角DCF =90度--角ACB =30度...
如图在三角形abc中,d是bc的中点,de垂直于ab,df垂直于ac,垂足分别是ef...
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠AED=∠AFD=90, ∠BED=∠CFD=90 ∵D是BC的中点 ∴BD=CD ∵BE=CF ∴△BDE≌△CDF (HL)∴DE=DF ∵AD=AD ∴△ADE≌△ADF (HL)∴∠BAD=∠CAD ∴AD平分∠BAC ∴AD是三角形ABC的角平分线
在三角形abc中,D是ab的中点,角dac=2角dca,角dcb=30度,求角b 的度数
解:设∠DCA=α,则∠DAC=2α,根据正弦定理:在△ACD中,CD\/sin2α=AD\/sinα...①,在△BCD中,CD\/sinB=BD\/sin30°...②,∵AD=BD,①\/②得,sin2α\/sinB=2sinα,根据倍角公式:sin2α=2sinαcosα,sinB=cosα,则B=90°-α或B=90°+α,代入3α+B+30°=180°中,得 α...
如图,在三角形ABC中,D是边AC上的点,且AB=CD,2AB=根号3BD,BC=2BD,则s...
(1)因为 BH+CH=BC=2BD, (2)(2)--(1)得: 2CH=17BD\/8, CH=17BD\/16,在直角三角形CDH中,DH平方=CD平方--CH平方 =(3\/4)BD平方--(289\/256)BD平方 = 你题中的数字条件有错,BC=2BD,DC小于BD,这样三条线段BC,BD,CD不能构成三角形的。
等边三角形abc中d在三角形abc内部
作AE⊥BC ∵ΔABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC=1 ∵∠ BDC=90° BD=CD ∴ΔBDC是等腰直角三角形 ∴AE平分∠BAC、∠BDC 且E是BC边上的中点 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∴DE=BE=0.5 有勾股定理得;AB²-BE²=AE²即 1-0.25=AE²=[(√3)/2...
如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF...
1 三角形BDE和三角形CDF中,直角,两条边对应相等,根据HL定理,三角形全等 所以角B等于角C 三角形ADB和三角形ADC中,直角,角B=角C,AD=AD,也全等,说明是叫平分线 2 因为BE=CF CF+AF=BE+EA(等量代换)所以∠B=∠C(等边对等角)在三角形ABC中{AD=AD(公共边)AC=AB已证,∠B=∠C...
詹态头孢:[答案] 证ace全等于cbd得角cae=bcd,所以角caf+fca=60度,所以外角afg=60度,又因为AG⊥CD,所以角afg+fga=150度,所以角fag=30度.知道了吧
威海市18691346461: 如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G ,则 的值为( ). - ?
詹态头孢:[答案]
威海市18691346461: 正三角形ABC中,D、E分别是AB、BC、上的一个三等分点 - ?
詹态头孢: 取B为坐标原点,BC为x轴,BE=2.则有:B(0,0),A(3,3√3),D(2,2√2),E(2,0),C(6,0).AE方程:3√3/1=y/(x-2).CD方程:2√3/(-4)=y/(x-6).解得交点P(18/7,12√3/7).BP斜率=12√3/18=2√3/3.CD斜率=2√3/(-4)=-√3/2.∵(2√3/3)(-√3/2)=-1.∴BP⊥CD
威海市18691346461: 如图,在等边△ABC中,点D、E分别为AB、AC边的中点,点F为BC边上一点,CF=1,连接DF,以DF为边作等边△DFG,连接AG,且∠DAG=90°,则线... - ?
詹态头孢:[答案] 连接DE, ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC,∠B=∠C=∠BAC=60°, ∵D、E分别为AB、AC中点, ∴AD= 1 2AB,AE= 1 2AC, ∴DE∥BC,AD=AE, ∴△ADE是等边三角形, ∴AD=DE,∠ADE=∠AED=∠DAE=60°, ∴∠ADG+∠GDE=60°, ∵△...
威海市18691346461: 如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD相交于点F,AG⊥CD,垂足为G.求证:AF=2FG. - ?
詹态头孢:[答案] 证明:∵等边三角形ABC,∴AB=CA,∠ABE=∠CAD=60°,在△ABE和△CAD中,AB=AC∠ABE=∠CAD=60°AD=BE,∴△ABE≌△CAD(SAS).∴∠AEB=∠CDA,又∠EAD为公共角,∴△ADF∽△ABE.∴∠AFD=∠B=60°.∵AG垂直CD...
威海市18691346461: 如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G, 若AG=2,则AF的值是() - ?
詹态头孢:[选项] A. 5 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 43 3
威海市18691346461: 等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F - ?
詹态头孢: 解:∵△ABC是等边三角形 ∴BA = AC ∠B = ∠DAE = 60 ∵BE = AD ∴△ADC≌△BEA ∴∠BAE = ∠ACD ∵∠BAE+∠EAC = 60 ∴∠ACD+∠EAC = ∠AED = 60 ∴AG/AF = sin∠AFG = 根号3
威海市18691346461: 如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=12BC,连接CD和EF,求证:四边形DEFC是平行四边形. - ?
詹态头孢:[答案] 证明:∵在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点, ∴DE∥BC且DE= 1 2BC. 又∵CF= 1 2BC, ∴DE=CF, ∴四边形DEFC是平行四边形.
威海市18691346461: 正三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F,G分别是DE,BC的中点,已知BD=8厘米,CE=6厘米,则FG=( )厘米?
詹态头孢: 填空题,最简单的办法: 正三角形边长大于等于8后均符合题意 故设正三角形边长为8,则点D与A重合,则在三角形FCG中 FG^2=GC^2+FC^2-2*GC*FC*COS60=37 则FG=根号下37厘米 如果你想要大题那样严格的证明,可以设边长为a,根据三角形余弦定理慢慢计算吧
威海市18691346461: 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连结DE,则△ADE是等边三角形.请说明理由. - ?
詹态头孢:[答案] DE//BC(中位线定理) ∠ADE=∠ABC=60° AED=ACB=60°(同位角相等) ∴△ADE是等边三角形(一角为60°之等腰三角形等边)