齐次方程的通解是什么？
令u＝y/x，则y＝xu，y'＝u＋xu'。方程化为：
u＋xu'＝(u－1)/(4u＋1)。
分离变量，得：(4u＋1)/(1＋4u^2)du＝－dx。
两边积分，得：1/2×ln(1＋4u^2)＋1/2×arctan(2u)＝－x＋1/2×C。
即 ln(1＋4u^2)＋arctan(2u)＋2x＝C。
带入u＝y/x，得原方程的通解：
ln(1＋4y^2/x^2)＋arctan(2y/x)＋2x＝C。
应用
"齐次"从词面上解释是"次数相等"的意思。
微分方程中有两个地方用到"齐次"的叫法：
1、形如y'=f(y/x)的方程称为"齐次方程"，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是"齐次方程"。
2、形如y''+py'+qy=0(其中p和q为关于x的函数)的方程称为"齐次线性方程"，这里"线性"是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的(都是一次)，"齐次"是指方程中没有自由项(不包含y及其导数的项)，方程y''+py'+qy=x就不是"齐次"的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为"非齐次线性方程"。
另外在线性代数里也有"齐次"的叫法，例如f=ax+bxy+cy^2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。
高等数学中通解和特解分别是什么?
通解就是对所有的条件都适用，特解就是在一个或者多个条件限制下得到的解。通解是这个方程所有解的集合，也叫作解集。特解是这个方程的所有解当中的某一个，也就是解集中的某一个元素。例如，通解得y=kx（通解），y=2x（特解）。举例：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方...
什么是通解?如何求通解?
通解就是找到一个满足方程的解.用小学初中的知识来做的话,这个时候我们就是要消元.把x1用其他未知量表示出来带入其它方程化简,这个时候就少了一个未知量,少了一个方程.再亦同理,把x2,x3...带入其它方程化简,最后就剩下了一个方程,里面可能有多个量.因为我们只要一个任意的解就可以了,所以这个...
什么是方程的通解?
通解可以运用特征线法，分离变量法和特殊函数法。通解是线性方程组的解的一般形式，又称为一般解。方程依靠等式各部分的关系，和加减乘除各部分的关系（加数+加数=和，和-其中一个加数=另一个加数，差+减数=被减数，被减数-减数=差，被减数-差=减数，因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，被除数...
通解的解释是什么?
通解的解释是：对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特...
一元二次方程的通解是什么?
一元二次方程的通解是指能满足方程的所有实数解的表达式形式。一元二次方程一般表示为：ax^2 + bx + c = 0。为了求解一元二次方程的通解，我们可以使用公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) \/ (2a)其中，±表示两种可能的解，√表示平方根。这个公式称为二次方程的求根公式。下面举个例子...
什么是通解?
这里的解、通解、特解是指微分方程的，通解一般是指非齐次微分方程的特解加上齐次微分方程的通解，特解是指非齐次微分方程的特解。1、微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理...
方程的通解是什么?
方程的通解是y=e^Cx，可以用分离变量法解得。xy'-ylny=0，可以得知dy\/(ylny)-dx\/x=0，即d(lny)\/lny-dx\/x=0∫d(lny)\/lny-∫dx\/x=0ln│lny│-ln│x│=ln│C│ (C是非零常数)lny\/x=C,即y=e^Cx
...方程,为何是解?解、通解、特解、所有解都是什么意思?
通解和特解都是解，解就是满足方程的向量，所有这些向量就是“所有”解，这些所有解构成一个解的集合。特解是这个解集合中的任意一个特定向量 通解用一个不定参数表示的向量，通过改变不定参数可以表示解集合中任意一个向量 因为含有不定参数，所以不是特解，特解必须是一个固定的向量 因为不能表示...
什么是通解?什么是特解?二者有何区别?
（1）通解 通解通常是由微分方程自身的特性所决定的。对于n阶线性齐次微分方程（其中n为正整数），它的通解一般由n个线性无关的函数的线性组合构成。而对于非齐次方程，它的通解一般等于对应齐次方程的通解加上一个特解。通解的一个显著特点是它可以表示出微分方程的所有解。因此，通解被广泛应用于物理...
什么是通解,有什么作用?
2、多个线性无关解构成通解空间：叠加原理告诉我们，如果我们找到了n个线性无关的特解，那么这n个特解的线性组合将构成方程的通解空间。这意味着我们可以通过调整各个特解的系数，得到方程的所有解。这种通解的表示方式简洁明了，方便我们对微分方程进行分析和求解。
离贾地喹： 通解公式如下:齐次线性方程组AX=0:若X1,X2,Xn-r为基础解系,则X=k1X1+k2X2+kn-rXn-r,即为AX=0的全部解(或称方程组的通解).求齐次线性方程组通解要先求基础解系:1、写出齐次方程组的系数矩阵A;2、将A通过初等行变换化为阶梯阵;3、把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元(n–r个);d令自由元中一个为1,其余为0,求得n–r个解向量,即为一个基础解系.
秦淮区15015411512： 齐次线性微分方程通解是什么? - ？
离贾地喹： 齐次线性微分方程的通解是指能够满足方程所有特解的一般解.齐次线性微分方程的标准形式如下:dy/dx + p(x)y = 0其中,p(x) 是关于自变量 x 的连续函数.齐次线性微分方程的通解可以表示为:y = Ce^(-∫p(x)dx)其中,C 是任意常数.这个通解表明,齐次线性微分方程的解可以通过指数函数的形式来表示,其中指数的底数是自然常数 e.通过将任意常数 C 加入通解中,我们可以得到方程的所有特解.需要注意的是,这里的齐次线性微分方程只考虑了一阶的情况.对于更高阶的齐次线性微分方程,通解的形式会有所不同,但基本的思想仍然是类似的.
秦淮区15015411512： (x^3+y^3)dx - 3xy^2dy=0, 齐次方程的通解? - ？
离贾地喹： (x³+y³)dx-3xy²dy=0, 齐次方程的通解?解:dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)] 令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入上式得:u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u] 故有x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u=(1-2u³)/(3u²) 分离变量得x/dx=(1...
秦淮区15015411512： 常系数齐次线性方程组的通解有哪几种求法? - ？
离贾地喹： 较常用的几个: 1、Ay''+By'+Cy=e^mx特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n特解 y=ax 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区...
秦淮区15015411512： 求齐次方程的通解 - ？
离贾地喹：[答案] (1)令y=xt,则y'=xt'+t 代入原方程,得y'=(y/x)ln(y/x) ==>xt'+t=tlnt ==>xt'=t(lnt-1) ==>dt/[t(lnt-1)]=dx/x ==>d(lnt-1)/(lnt-1)=dx/x ==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数) ==>lnt-1=Cx ==>lnt=Cx+1 ==>ln(y/x)=Cx+1 ==>lny=lnx+Cx+1 故原方程的通解是lny=...
秦淮区15015411512： 求:高阶齐次微分方程通解形式? - ？
离贾地喹：[答案] 高阶线性齐次微分方程通解形式? y(x)=C1e^(s1x)+C2e^(s2x)+.+Cne^(snx) 其中:s1,s2,...,sn 为n阶齐次方程的n个特征值.
秦淮区15015411512： 求齐次方程的通解 - ？
离贾地喹： 原式 <=> 2xsin(y/x) dx + 3ycos(y/x) dx - 3xcos(y/x) dy = 0<=> 2xtan(y/x) dx = 3xdy-3ydx 令 v=y/x<=> 2x tan(v) dx = 3x^2 dv<=> 2dx/x = 3cot(v) dv 两边积分<=> 2 ln|x| +C' = 3 ln|sin(v)|<=> sin(v) = C x^(2/3) 大概就是这样,最后那个积分产生的绝对值什么的你再调整一下就可以了.
秦淮区15015411512： 对于二阶齐次线性常微分方程方程的通解是其所有解的集合吗? - ？
离贾地喹： 不一定是所有解的集合,高阶微分方程仍然有奇解或者奇点问题,例如你提到的齐次线性常微分方程,y==c/b就是它的一个奇解.奇解问题在利亚普诺夫稳定性理论当中有异常重要的地位,高阶微分方程或者微分方程组的奇解与其通解稳定性有至关重要的联系. 可以说,一般情况下只要存在奇解的方程通解就不是所有解,我记得我考研的时候好像做过一道证明题是说满足柯西问题的齐次线性常微分方程通解必不包含所有解.
